Approaching a bagrut question · Complex numbers · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבחינה, השאלה על מספרים מרוכבים היא כמעט תמיד שאלה 3, והיא בנויה מסעיפים שנשענים זה על זה: פותרים משוואה $z^n = w$ , מזהים את המצולע שהפתרונות יוצרים, ואז מחשבים שטח, מסובבים, או מעלים בחזקה. נעבור על שאלה שלמה, סעיף אחרי סעיף.

Interactive activity

שאלה לדוגמה: $z^6 = -64$

z^6 = -64

לחצו «להתחיל». א. פתרו את המשוואה. ב. הראו שהפתרונות הם קדקודים של משושה משוכלל, וחשבו את שטחו. ג. $w$ הוא הפתרון ברביע הראשון: חשבו את $w^3$ .

א. אגף ימין

-64 = 64\,\text{cis}\,180^\circ

כותבים את אגף ימין בהצגה קוטבית. תמיד הצעד הראשון.

א. הנוסחה

\begin{aligned}z_k &= \sqrt[6]{64}\,\text{cis}\,\frac{180^\circ + 360^\circ k}{6} \\ &= 2\,\text{cis}(30^\circ + 60^\circ k)\end{aligned}

$k = 0, 1, \ldots, 5$ : שישה פתרונות.

א. הרשימה

2\,\text{cis}\,30^\circ, \ 2\,\text{cis}\,90^\circ, \ 2\,\text{cis}\,150^\circ, \ 2\,\text{cis}\,210^\circ, \ 2\,\text{cis}\,270^\circ, \ 2\,\text{cis}\,330^\circ

כותבים את כל הפתרונות. אם מבקשים הצגה אלגברית: $\pm\sqrt{3} \pm i$ ו- $\pm 2i$ .

ב. המצולע

\begin{aligned}|z_k| &= 2 \\ \quad \alpha_{k+1} - \alpha_k &= 60^\circ\end{aligned}

כולם על המעגל $|z| = 2$ , והזוויות המרכזיות בין שכנים שוות: לכן גם הצלעות שוות, והמשושה משוכלל.

ב. השטח

\begin{aligned}S &= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

שישה משולשים שווים עם קדקוד בראשית.

ג. הפתרון ברביע הראשון

\begin{aligned}w &= 2\,\text{cis}\,30^\circ \\ &= \sqrt{3} + i\end{aligned}

הזווית בין $0^\circ$ ל- $90^\circ$ .

ג. החזקה

\begin{aligned}w^3 &= 2^3\,\text{cis}\,90^\circ \\ &= 8i\end{aligned}

דה-מואבר. בדיקה: $(w^3)^2 = (8i)^2 = -64 \ \checkmark$

התבנית חוזרת בכל שנה: הצגה קוטבית של אגף ימין, הנוסחה עם $360^\circ k$ , רשימה מלאה, ורק אז גאומטריה.

Do the activity on elev

איך כותבים בבחינה. זוויות כותבים במעלות ( $\text{cis}\,30^\circ$ ), ומשאירים ערכים מדויקים ( $\sqrt{3}$ , לא $1.73$ ). מצולע «משוכלל» מוכיחים בשני נימוקים: כל הקדקודים על מעגל אחד, וגם הזוויות המרכזיות שוות.

נקודות שהולכות לאיבוד בבחינה.

\begin{aligned}z^6 &= -64 \Rightarrow z \\ &= 2\,\text{cis}\,30^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}z_k &= 2\,\text{cis}(30^\circ + 60^\circ k) \\ \ k &= 0 \\ \ldots \\ 5\end{aligned}

פתרון אחד במקום שישה: כל השאלה שאחריו נופלת.

\sqrt[6]{-64} = -2

\sqrt[6]{64} = 2

מוציאים שורש מהערך המוחלט של $w$ , שהוא תמיד חיובי.

Exercises

Exercise 1

נתונה המשוואה $z^4 = -4$ . א. מהי ההצגה הקוטבית של $-4$ ?

$-4\,\text{cis}\,0^\circ$
$4\,\text{cis}\,180^\circ$
$4\,\text{cis}\,0^\circ$
$4\,\text{cis}\,90^\circ$

Show the answer and the solution

Answer: B $4\,\text{cis}\,180^\circ$

Worked solution:

-4 = 4\,\text{cis}\,180^\circ

החלק השלילי של הציר הממשי

בהצגה קוטבית $r$ תמיד חיובי: הסימן עובר לזווית.

Check the answer on elev

Exercise 2

$z^4 = -4$ . ב. מהו הערך המוחלט של הפתרונות? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 1.41

Worked solution:

\sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \approx 1.41

$\sqrt[4]{4} = 4^{1/4} = 2^{1/2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

$z^4 = -4$ . ג. מהו החלק הממשי של הפתרון שנמצא ברביע הראשון?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

z_k = \sqrt{2}\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)

\begin{aligned}z_0 &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ \\ &= 1 + i\end{aligned}

בדיקה: $(1 + i)^2 = 2i$ , ו- $(2i)^2 = -4 \ \checkmark$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

$z^4 = -4$ . ד. הפתרונות הם הקדקודים של:

טרפז
מעוין שאינו ריבוע
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע

Show the answer and the solution

Answer: C ריבוע

Worked solution:

\pm 1 \pm i

ארבעת הפתרונות

\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ

על מעגל אחד, במרווחים שווים

מצולע משוכלל עם ארבעה קדקודים הוא ריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 5

$z^4 = -4$ . ה. מהו השטח של המצולע שהפתרונות יוצרים?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}a &= |(1 + i) - (-1 + i)| \\ &= 2\end{aligned}

הצלע

\begin{aligned}S &= a^2 \\ &= 4\end{aligned}

או בנוסחה: $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \sin 90^\circ = 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

$z^4 = -4$ . ו. מהו ההיקף של המצולע?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

4 \cdot 2 = 8

ארבע צלעות באורך $2$

הצלע היא המרחק בין שני קדקודים סמוכים, לא בין קדקודים נגדיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

$z^4 = -4$ , ו- $w = 1 + i$ הוא הפתרון ברביע הראשון. ז. חשבו את $w^{10}$ . מהו החלק המדומה?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

w^{10} = (\sqrt{2})^{10}\,\text{cis}\,450^\circ

= 32\,\text{cis}\,90^\circ = 32i

$450^\circ - 360^\circ = 90^\circ$

$(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

$z^4 = -4$ . ח. מהו סכום ארבעת הפתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

(1 + i) + (-1 + i) + (-1 - i) + (1 - i) = 0

הסכום של כל הפתרונות של $z^n = w$ הוא תמיד $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

$z^4 = -4$ . ט. כופלים כל פתרון ב- $\text{cis}\,45^\circ$ . הנקודות החדשות הן הפתרונות של $z^4 = c$ . מצאו את $c$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

(z \cdot \text{cis}\,45^\circ)^4 = z^4 \cdot \text{cis}\,180^\circ

= -4 \cdot (-1) = 4

הסיבוב ב- $45^\circ$ מעביר את הריבוע לקדקודים $\sqrt{2}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}, -\sqrt{2}i$ : הפתרונות של $z^4 = 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

$z^4 = -4$ . י. כל הפתרונות נמצאים על המעגל $|z| = \sqrt{2}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}|z|^4 &= |-4| \\ &= 4 \Rightarrow |z| \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}

הערך המוחלט של כל פתרון הוא $\sqrt[4]{|w|}$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev