Geometric problems

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כל מה שלמדנו מתחבר כאן לגאומטריה: ∣z1−z2∣|z_1 - z_2| הוא מרחק, כפל ב-cis α\text{cis}\,\alpha הוא סיבוב, ופתרונות של zn=wz^n = w הם מצולע. שאלות הבגרות בנויות בדיוק על החיבורים האלה.

מקום גאומטרי: מעגל

אילו נקודות zz מקיימות ∣z−(2+i)∣=2|z - (2 + i)| = 2? ∣z−z0∣|z - z_0| הוא המרחק של zz מ-z0z_0. אלה כל הנקודות שהמרחק שלהן מ-2+i2 + i הוא 22: מעגל.

∣z−z0∣=r|z - z_0| = r

כל הנקודות האלה יוצרות מעגל שמרכזו z0z_0 והרדיוס שלו rr.

הסימן של המרכז.

∣z+3−i∣=2⇒z0=3−i\begin{aligned}|z + 3 - i| &= 2 \Rightarrow z_0 \\ &= 3 - i\end{aligned}
∣z−(−3+i)∣=2⇒z0=−3+i\begin{aligned}|z - (-3 + i)| &= 2 \Rightarrow z_0 \\ &= -3 + i\end{aligned}

כותבים קודם בצורה ∣z−z0∣|z - z_0|: המרכז הוא מה שמחסרים.

מקום גאומטרי: האנך האמצעי

אילו נקודות zz מקיימות ∣z∣=∣z−(2+2i)∣|z| = |z - (2 + 2i)|? אלה הנקודות שנמצאות באותו מרחק מ-00 ומ-2+2i2 + 2i: האנך האמצעי של הקטע ביניהן.

האם z=2iz = 2i נמצא על הישרה ∣z∣=∣z−(2+2i)∣|z| = |z - (2 + 2i)|?

Show the answer and the solution

כן. ∣2i∣=2|2i| = 2, ו-∣2i−2−2i∣=∣−2∣=2|2i - 2 - 2i| = |-2| = 2. המרחקים שווים. (וגם x+y=0+2=2x + y = 0 + 2 = 2.)

סיבוב סביב הראשית

כפל ב-r cis αr\,\text{cis}\,\alpha מסובב ב-α\alpha ומותח פי rr. כדי לסובב נקודה zz ב-60∘60^\circ סביב הראשית, כופלים אותה ב-cis 60∘\text{cis}\,60^\circ. בשאלות על משולש שווה צלעות זה הכלי: הקדקוד השלישי הוא סיבוב של השני ב-60∘60^\circ.

סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים

בסדרה הנדסית כל איבר הוא הקודם כפול qq. כש-q=r cis αq = r\,\text{cis}\,\alpha, כל צעד הוא סיבוב ב-α\alpha ומתיחה פי rr. האיברים יוצרים ספירלה, ממש כמו החזקות של zz.

zn=z1qn−1z_n = z_1 q^{n-1}

האיבר הכללי

Sn=z1(qn−1)q−1S_n = \frac{z_1(q^n - 1)}{q - 1}

סכום nn איברים ראשונים, כש-q≠1q \ne 1

∣zn∣=∣z1∣⋅∣q∣n−1|z_n| = |z_1| \cdot |q|^{n-1}

הערכים המוחלטים: סדרה הנדסית ממשית

כש-qn=1q^n = 1, הסכום מתאפס

הסדרה 1,i,−1,−i,…1, i, -1, -i, \ldots (q=iq = i). מה הסכום של שמונה האיברים הראשונים?

S8=1⋅(i8−1)i−1S_8 = \frac{1 \cdot (i^8 - 1)}{i - 1}
i8=1⇒S8=0\begin{aligned}i^8 &= 1 \Rightarrow S_8 \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס

Exercises

Exercise 1

ראשית הצירים נמצאת על המעגל ∣z−(3+4i)∣=5|z - (3 + 4i)| = 5.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

∣0−(3+4i)∣=∣3+4i∣=5\begin{aligned}|0 - (3 + 4i)| &= |3 + 4i| \\ &= 5\end{aligned}

מציבים z=0z = 0

המרחק של 00 מהמרכז 3+4i3 + 4i שווה בדיוק לרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו המרכז של המעגל ∣z+2−i∣=3|z + 2 - i| = 3?

  1. (−2,1)(-2, 1)
  2. (2,1)(2, 1)
  3. (−2,−1)(-2, -1)
  4. (2,−1)(2, -1)
Show the answer and the solution

Answer: A (−2,1)(-2, 1)

Worked solution:

∣z−(−2+i)∣=3|z - (-2 + i)| = 3

כותבים בצורה ∣z−z0∣|z - z_0|

z+2−i=z−(−2+i)z + 2 - i = z - (-2 + i): המרכז הוא −2+i-2 + i.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הרדיוס של המעגל ∣2z−6i∣=8|2z - 6i| = 8?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

∣2(z−3i)∣=2∣z−3i∣=8\begin{aligned}|2(z - 3i)| &= 2|z - 3i| \\ &= 8\end{aligned}

מוציאים את 22 מהערך המוחלט

∣z−3i∣=4|z - 3i| = 4

קודם מחלקים ב-22: המקדם של zz חייב להיות 11.

Check the answer on elev

Exercise 4

המקום הגאומטרי ∣z−2∣=∣z−4i∣|z - 2| = |z - 4i| הוא ישר. באיזו נקודה (0,y)(0, y) הוא חותך את הציר המדומה? מצאו את yy.

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

(x−2)2+y2=x2+(y−4)2(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y - 4)^2

מציבים z=x+yiz = x + yi

−4x+4=−8y+16⇒x−2y=−3\begin{aligned}-4x + 4 &= -8y + 16 \Rightarrow x - 2y \\ &= -3\end{aligned}
x=0⇒y=1.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1.5\end{aligned}

בודקים: (0,1.5)(0, 1.5) רחוקה 2.52.5 גם מ-(2,0)(2, 0) וגם מ-(0,4)(0, 4).

Check the answer on elev

Exercise 5

מסובבים את z=4+2iz = 4 + 2i ב-90∘90^\circ נגד כיוון השעון סביב הראשית. מהו החלק הממשי של התמונה?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

iz=i(4+2i)=4i−2\begin{aligned}iz &= i(4 + 2i) \\ &= 4i - 2\end{aligned}

סיבוב ב-90∘90^\circ הוא כפל ב-ii

סיבוב ב-90∘90^\circ שולח (a,b)(a, b) ל-(−b,a)(-b, a).

Check the answer on elev

Exercise 6

במה צריך לכפול את zz כדי לסובב אותו ב-60∘60^\circ סביב הראשית, בלי לשנות את המרחק שלו ממנה?

  1. 60i60i
  2. 6060
  3. 2 cis 60∘2\,\text{cis}\,60^\circ
  4. cis 60∘\text{cis}\,60^\circ
Show the answer and the solution

Answer: D cis 60∘\text{cis}\,60^\circ

Worked solution:

z⋅cis 60∘=r cis(θ+60∘)z \cdot \text{cis}\,60^\circ = r\,\text{cis}(\theta + 60^\circ)

2 cis 60∘2\,\text{cis}\,60^\circ מסובב, אבל גם מכפיל את המרחק.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודות 3+i3 + i, −1+3i-1 + 3i, −3−i-3 - i, 1−3i1 - 3i הן קדקודים של ריבוע. מהו השטח שלו?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

a=∣(3+i)−(−1+3i)∣=∣4−2i∣=20\begin{aligned}a &= |(3 + i) - (-1 + 3i)| \\ &= |4 - 2i| \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

צלע

S=a2=20\begin{aligned}S &= a^2 \\ &= 20\end{aligned}

או דרך האלכסונים: כל אחד באורך 2∣3+i∣=2102|3 + i| = 2\sqrt{10}, ו-d22=20\frac{d^2}{2} = 20.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה הנדסית z1=2z_1 = 2 ו-q=iq = i. מהו z5z_5?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

z5=2⋅i4=2\begin{aligned}z_5 &= 2 \cdot i^4 \\ &= 2\end{aligned}

ארבעה סיבובים של 90∘90^\circ הם סיבוב שלם.

Check the answer on elev

Exercise 9

בסדרה הנדסית z1=1+iz_1 = 1 + i ו-q=1+iq = 1 + i. מהו החלק הממשי של z3z_3?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

z3=z1q2=(1+i)3\begin{aligned}z_3 &= z_1 q^2 \\ &= (1 + i)^3\end{aligned}
(1+i)2=2i⇒(1+i)3=2i(1+i)=−2+2i\begin{aligned}(1 + i)^2 &= 2i \Rightarrow (1 + i)^3 \\ &= 2i(1 + i) \\ &= -2 + 2i\end{aligned}

z3=z1q2z_3 = z_1 q^{2}, לא z1q3z_1 q^3.

Check the answer on elev

Exercise 10

בסדרה הנדסית z1=1z_1 = 1 ו-q=cis 45∘q = \text{cis}\,45^\circ. מהו סכום שמונת האיברים הראשונים?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

q8=cis 360∘=1\begin{aligned}q^8 &= \text{cis}\,360^\circ \\ &= 1\end{aligned}
S8=q8−1q−1=0\begin{aligned}S_8 &= \frac{q^8 - 1}{q - 1} \\ &= 0\end{aligned}

שמונת האיברים הם קדקודים של מתומן משוכלל: הם הפתרונות של z8=1z^8 = 1, והסכום שלהם 00.

Check the answer on elev

Exercise 11

הנקודות שמקיימות ∣z∣=2|z| = 2 וגם Re(z)=1\mathrm{Re}(z) = 1 הן שתי נקודות. מהו הארגומנט הקטן מבין השניים (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

1+y2=4⇒y=±3\begin{aligned}1 + y^2 &= 4 \Rightarrow y \\ &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}
1+i3=2 cis 60∘1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ
1−i3=2 cis 300∘1 - i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,300^\circ

החיתוך של המעגל ∣z∣=2|z| = 2 עם הישר x=1x = 1.

Check the answer on elev

Exercise 12

הנקודות zz, iziz, −z-z ו-−iz-iz (כאשר z≠0z \ne 0) הן קדקודים של:

  1. מעוין שאינו ריבוע
  2. מלבן שאינו ריבוע
  3. ריבוע
  4. דלתון
Show the answer and the solution

Answer: C ריבוע

Worked solution:

∣z∣=∣iz∣=∣−z∣=∣−iz∣\begin{aligned}|z| &= |iz| \\ &= |-z| \\ &= |-iz|\end{aligned}

כולן על מעגל אחד

90∘90^\circ

וביניהן סיבובים של 90∘90^\circ

ארבעה קדקודים במרווחים של 90∘90^\circ על מעגל: מצולע משוכלל עם ארבע צלעות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade