Roots and regular polygons

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

למשוואה z3=8z^3 = 8 יש פתרון ממשי אחד: z=2z = 2. אבל במספרים המרוכבים יש לה שלושה פתרונות. איפה מסתתרים השניים האחרים?

נחפש z=ρ cis αz = \rho\,\text{cis}\,\alpha. לפי דה-מואבר z3=ρ3 cis 3αz^3 = \rho^3\,\text{cis}\,3\alpha, וזה צריך להיות שווה ל-8=8 cis 0∘8 = 8\,\text{cis}\,0^\circ. האורך: ρ3=8\rho^3 = 8, ולכן ρ=2\rho = 2. והזווית: 3α3\alpha צריכה להיות 0∘0^\circ, או 360∘360^\circ, או 720∘720^\circ — כל זווית שהיא סיבוב שלם.

zn=R cis φ⟹zk=Rn cis φ+360∘knk=01…n−1\begin{aligned}z^n &= R\,\text{cis}\,\varphi \quad \Longrightarrow \quad z_k \\ &= \sqrt[n]{R}\,\text{cis}\,\frac{\varphi + 360^\circ k}{n} \\ \quad k &= 0 \\ 1 \\ \ldots \\ n - 1\end{aligned}

למשוואה יש בדיוק nn פתרונות.

התכונות של הפתרונות

∣zk∣=Rn|z_k| = \sqrt[n]{R}

כולם על מעגל אחד, שמרכזו בראשית

αk+1−αk=360∘n\alpha_{k+1} - \alpha_k = \frac{360^\circ}{n}

במרווחים שווים: מצולע משוכלל

z0+z1+…+zn−1=0z_0 + z_1 + \ldots + z_{n-1} = 0

הסכום שלהם הוא אפס (כש-n≥2n \ge 2)

השטח של המצולע. המצולע מתחלק ל-nn משולשים שווים, שלכל אחד שתי צלעות ρ\rho וזווית 360∘n\frac{360^\circ}{n} ביניהן: S=n⋅12ρ2sin⁡360∘nS = n \cdot \frac{1}{2}\rho^2 \sin\frac{360^\circ}{n}. למשושה של z6=64z^6 = 64: S=6⋅12⋅4⋅sin⁡60∘=63S = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 6\sqrt{3}.

מה הסכום של כל הפתרונות של z5=32z^5 = 32?

Show the answer and the solution

00. החצים מתפזרים באופן שווה סביב הראשית ומבטלים זה את זה. אין צורך לחשב אף פתרון.

הפתרונות שנעלמים.

z3=8i⇒z=2 cis 30∘\begin{aligned}z^3 &= 8i \Rightarrow z \\ &= 2\,\text{cis}\,30^\circ\end{aligned}
zk=2 cis(30∘+120∘k)z_k = 2\,\text{cis}(30^\circ + 120^\circ k)

מי שמחלק את הזווית בלי להוסיף 360∘k360^\circ k מוצא פתרון אחד במקום nn.

Exercises

Exercise 1

כמה פתרונות יש למשוואה z6=5iz^6 = 5i?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

zn=w w≠0⇒n\begin{aligned}z^n &= w \\ \ w \ne 0 \Rightarrow n\end{aligned}

למשוואה zn=wz^n = w יש תמיד nn פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הערך המוחלט של הפתרונות של z4=81z^4 = 81?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

ρ=814=3\begin{aligned}\rho &= \sqrt[4]{81} \\ &= 3\end{aligned}

לכל הפתרונות אותו ערך מוחלט.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהם הארגומנטים של הפתרונות של z3=8iz^3 = 8i?

  1. 30∘,150∘,270∘30^\circ, 150^\circ, 270^\circ
  2. 0∘,120∘,240∘0^\circ, 120^\circ, 240^\circ
  3. 90∘,210∘,330∘90^\circ, 210^\circ, 330^\circ
  4. 30∘30^\circ בלבד
Show the answer and the solution

Answer: A 30∘,150∘,270∘30^\circ, 150^\circ, 270^\circ

Worked solution:

8i=8 cis 90∘8i = 8\,\text{cis}\,90^\circ
αk=90∘+360∘k3=30∘+120∘k\begin{aligned}\alpha_k &= \frac{90^\circ + 360^\circ k}{3} \\ &= 30^\circ + 120^\circ k\end{aligned}

90∘90^\circ היא הזווית של 8i8i, לא של הפתרונות: מחלקים אותה ב-33.

Check the answer on elev

Exercise 4

אחד הפתרונות של z3=8iz^3 = 8i נמצא על הציר המדומה. מהו החלק המדומה שלו?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

z2=2 cis 270∘=−2i\begin{aligned}z_2 &= 2\,\text{cis}\,270^\circ \\ &= -2i\end{aligned}

k=2k = 2

(−2i)3=−8i3=8i ✓\begin{aligned}(-2i)^3 &= -8i^3 \\ &= 8i \ \checkmark\end{aligned}

זה הפתרון −2i-2i, לא 2i2i: בדקו, (2i)3=−8i(2i)^3 = -8i.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהי הזווית בין שני פתרונות סמוכים של z9=3−4iz^9 = 3 - 4i (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

360∘9=40∘\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ

הזווית בין פתרונות סמוכים תלויה רק ב-nn, לא ב-ww.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הארגומנט הקטן ביותר (במעלות, בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ) של פתרון של z5=−32z^5 = -32?

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

−32=32 cis 180∘-32 = 32\,\text{cis}\,180^\circ
αk=36∘+72∘k\alpha_k = 36^\circ + 72^\circ k
k=0⇒36∘k = 0 \Rightarrow 36^\circ

הפתרון הממשי, −2-2, הוא 2 cis 180∘2\,\text{cis}\,180^\circ: הוא k=2k = 2, לא הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו החלק הממשי של הפתרון הממשי של z3=−27z^3 = -27?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

(−3)3=−27(-3)^3 = -27
z1=3 cis 180∘=−3\begin{aligned}z_1 &= 3\,\text{cis}\,180^\circ \\ &= -3\end{aligned}

αk=60∘+120∘k\alpha_k = 60^\circ + 120^\circ k

לשני הפתרונות האחרים יש חלק מדומה שונה מאפס.

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה מהפתרונות של z4=−16z^4 = -16 נמצאים מימין לציר המדומה (חלק ממשי חיובי)?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

αk=45∘135∘225∘315∘\begin{aligned}\alpha_k &= 45^\circ \\ 135^\circ \\ 225^\circ \\ 315^\circ\end{aligned}
45∘,315∘45^\circ , 315^\circ

חלק ממשי חיובי

ציירו את הריבוע: שני קדקודים מימין, ושניים משמאל.

Check the answer on elev

Exercise 9

הפתרונות של z4=16z^4 = 16 הם קדקודים של ריבוע. מהו השטח שלו?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

ρ=2\rho = 2
S=4⋅12⋅22⋅sin⁡90∘=8\begin{aligned}S &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 90^\circ \\ &= 8\end{aligned}

ארבעה משולשים ישרי זווית

הקדקודים הם 2,2i,−2,−2i2, 2i, -2, -2i: האלכסונים באורך 44, ו-4⋅42=8\frac{4 \cdot 4}{2} = 8.

Check the answer on elev

Exercise 10

הפתרונות של z6=64z^6 = 64 הם קדקודים של משושה משוכלל. מהו השטח שלו? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 10.39

Worked solution:

ρ=2\rho = 2
S=6⋅12⋅4⋅sin⁡60∘=63\begin{aligned}S &= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}
≈10.39\approx 10.39

המשושה מתחלק לשישה משולשים שווי צלעות שצלעם 22.

Check the answer on elev

Exercise 11

מהו החלק הממשי של סכום כל הפתרונות של z7=1+iz^7 = 1 + i?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

z0+z1+…+z6=0z_0 + z_1 + \ldots + z_6 = 0

הסכום של כל הפתרונות של zn=wz^n = w הוא 00 לכל n≥2n \ge 2.

Check the answer on elev

Exercise 12

הפתרונות של zn=wz^n = w (כאשר w≠0w \ne 0 ו-n≥3n \ge 3) הם תמיד קדקודים של מצולע משוכלל.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

∣zk∣=∣w∣nΔα=360∘n\begin{aligned}|z_k| &= \sqrt[n]{|w|} \\ \quad \Delta\alpha &= \frac{360^\circ}{n}\end{aligned}

כולם על מעגל אחד ובמרווחים שווים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade