De Moivre’s theorem · Complex numbers · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפרק הקודם ראינו שבכפל מחברים את הזוויות. מה קורה כשכופלים מספר בעצמו שוב ושוב? כל כפל מוסיף את אותה זווית $\theta$ , ומכפיל שוב באותו אורך $r$ .

(r\,\text{cis}\,\theta)^n = r^n\,\text{cis}(n\theta)

משפט דה-מואבר: מעלים את האורך בחזקה, וכופלים את הזווית ב- $n$ .

חזקה גבוהה בלי לפתוח סוגריים

מחשבים את $(1 + i)^8$ .

1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ

קודם עוברים להצגה קוטבית

(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8\,\text{cis}(8 \cdot 45^\circ)

דה-מואבר

= 16\,\text{cis}\,360^\circ = 16

$(\sqrt{2})^8 = 2^4 = 16$ , ו- $\text{cis}\,360^\circ = 1$

זווית גדולה מ- $360^\circ$ ? מורידים סיבובים שלמים. $\text{cis}\,1800^\circ = \text{cis}(1800^\circ - 5 \cdot 360^\circ) = \text{cis}\,0^\circ = 1$ . סיבוב שלם מחזיר את החץ למקומו.

כמה זה $(\text{cis}\,30^\circ)^{12}$ ?

Show the answer and the solution

$\text{cis}(12 \cdot 30^\circ) = \text{cis}\,360^\circ = 1$ . שתים-עשרה פעמים $30^\circ$ הן סיבוב שלם.

מתי החזקה ממשית, ומתי מדומה טהורה?

\begin{aligned}n\theta &= 0^\circ \\ 180^\circ \\ 360^\circ \\ \ldots\end{aligned}

$z^n$ ממשי: החץ על הציר הממשי

\begin{aligned}n\theta &= 90^\circ \\ 270^\circ \\ 450^\circ \\ \ldots\end{aligned}

$z^n$ מדומה טהור: החץ על הציר המדומה

החזקה הקטנה ביותר שנותנת מספר ממשי

מהו ה- $n$ הטבעי הקטן ביותר שעבורו $(1 + i)^n$ ממשי?

(1 + i)^n = (\sqrt{2})^n\,\text{cis}(45^\circ n)

45^\circ n = 180^\circ k

הזווית צריכה להיות כפולה של $180^\circ$

\begin{aligned}n &= 4 \Rightarrow (1 + i)^4 \\ &= 4\,\text{cis}\,180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

הכפולה הראשונה

גם חזקות שליליות

\begin{aligned}z^{-n} &= \frac{1}{z^n} \\ &= r^{-n}\,\text{cis}(-n\theta)\end{aligned}

המשפט נכון גם למעריך שלילי.

הטעות הכי נפוצה.

\begin{aligned}(1 + i)^8 &= 1^8 + i^8 \\ &= 2\end{aligned}

(1 + i)^8 = 16

חזקה לא מתפזרת על סכום. עוברים קודם להצגה קוטבית, ורק אז מעלים בחזקה.

Exercises

Exercise 1

חשבו את $(1 + i)^8$ .

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

(\sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ)^8 = 16\,\text{cis}\,360^\circ

= 16

$(\sqrt{2})^8 = 2^4$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את $(1 + i\sqrt{3})^6$ .

Show the answer and the solution

Answer: 64

Worked solution:

1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ

2^6\,\text{cis}\,360^\circ = 64

הזווית $6 \cdot 60^\circ$ היא סיבוב שלם: התוצאה ממשית.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את $(\sqrt{3} + i)^3$ . מהו החלק המדומה של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\sqrt{3} + i = 2\,\text{cis}\,30^\circ

2^3\,\text{cis}\,90^\circ = 8i

התוצאה מדומה טהורה: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו את $(\text{cis}\,20^\circ)^9$ .

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

\begin{aligned}\text{cis}(9 \cdot 20^\circ) &= \text{cis}\,180^\circ \\ &= -1\end{aligned}

האורך הוא $1$ , ולכן גם כל החזקות על מעגל היחידה.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את $(1 - i)^{10}$ . מהו החלק המדומה של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: -32

Worked solution:

1 - i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,315^\circ

רביע רביעי

(\sqrt{2})^{10}\,\text{cis}\,3150^\circ = 32\,\text{cis}\,3150^\circ

3150^\circ - 8 \cdot 360^\circ = 270^\circ

מורידים סיבובים שלמים

32\,\text{cis}\,270^\circ = -32i

הזווית של $1 - i$ היא $315^\circ$ (או $-45^\circ$ ), לא $45^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו ה- $n$ הטבעי הקטן ביותר שעבורו $(1 + i)^n$ הוא מספר ממשי חיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

45^\circ n = 360^\circ k

ממשי חיובי: כפולה של $360^\circ$

n = 8

$n = 4$ נותן $-4$ : ממשי, אבל שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו ה- $n$ הטבעי הקטן ביותר שעבורו $(\sqrt{3} + i)^n$ הוא מדומה טהור?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\sqrt{3} + i = 2\,\text{cis}\,30^\circ

30^\circ n = 90^\circ + 180^\circ k

n = 3

מדומה טהור: הזווית היא $90^\circ$ או $270^\circ$ , ועוד סיבובים שלמים.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את $(2\,\text{cis}\,15^\circ)^4$ . מהו החלק הממשי של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

2^4\,\text{cis}\,60^\circ = 16\,\text{cis}\,60^\circ

16\cos 60^\circ = 8

האורך עולה בחזקה: $2^4 = 16$ , לא $2 \cdot 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו את $|(1 + 2i)^6|$ .

Show the answer and the solution

Answer: 125

Worked solution:

|1 + 2i| = \sqrt{5}

\begin{aligned}|(1 + 2i)^6| &= (\sqrt{5})^6 \\ &= 125\end{aligned}

לערך המוחלט לא צריך את הזווית.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את $(-1 + i)^4$ .

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

-1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,135^\circ

\begin{aligned}4\,\text{cis}\,540^\circ &= 4\,\text{cis}\,180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

$540^\circ$ הם סיבוב שלם ועוד $180^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 11

נתון $z = \text{cis}\,100^\circ$ . מהו הארגומנט של $z^5$ (במעלות, בין $0^\circ$ ל- $360^\circ$ )?

Show the answer and the solution

Answer: 140

Worked solution:

5 \cdot 100^\circ = 500^\circ

500^\circ - 360^\circ = 140^\circ

מורידים סיבובים שלמים עד שהזווית בין $0^\circ$ ל- $360^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 12

לכל $a$ ו- $b$ ממשיים: $(a + bi)^2 = a^2 + b^2 i^2$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

(a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2

חסר האיבר האמצעי

חזקה לא מתפזרת על סכום, גם לא במספרים מרוכבים.

Check the answer on elev

מתי החזקה ממשית, ומתי מדומה טהורה?

גם חזקות שליליות

Exercises

Keep practising on elev