Polar form

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו תיארנו נקודה בעזרת שני מרחקים: כמה ימינה (aa) וכמה למעלה (bb). אפשר לתאר אותה גם אחרת: כמה רחוק היא מהראשית, ובאיזה כיוון. זה כמו להסביר דרך: «לך 2 קילומטרים, בכיוון צפון-מזרח».

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r cis θ\begin{aligned}z &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= r\,\text{cis}\,\theta\end{aligned}

ההצגה הקוטבית של zz. הסימון cis\text{cis} הוא קיצור של cos⁡+isin⁡\cos + i\sin.

a=rcos⁡θa = r\cos\theta

מקוטבית לאלגברית

b=rsin⁡θb = r\sin\theta
r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}

מאלגברית לקוטבית

tan⁡θ=ba\tan\theta = \frac{b}{a}

ובודקים את הרביע!

מאלגברית לקוטבית

נכתוב את z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3} בהצגה קוטבית.

r=1+3=2\begin{aligned}r &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}

הערך המוחלט

tan⁡θ=31=3\begin{aligned}\tan\theta &= \frac{\sqrt{3}}{1} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

הנקודה ברביע הראשון

θ=60∘⇒z=2 cis 60∘\begin{aligned}\theta &= 60^\circ \Rightarrow z \\ &= 2\,\text{cis}\,60^\circ\end{aligned}

הזהירות של הרביע

תמיד מציירים קודם את הנקודה. הרביע קובע את הזווית: ברביע השני θ=180∘−α\theta = 180^\circ - \alpha, ברביע השלישי θ=180∘+α\theta = 180^\circ + \alpha, וברביע הרביעי θ=360∘−α\theta = 360^\circ - \alpha, כאשר α\alpha היא הזווית החדה שהמחשבון נותן.

1=cis 0∘1 = \text{cis}\,0^\circ
i=cis 90∘i = \text{cis}\,90^\circ
−1=cis 180∘-1 = \text{cis}\,180^\circ
−i=cis 270∘-i = \text{cis}\,270^\circ

כפל וחילוק: כאן ההצגה הקוטבית מנצחת

r1 cis θ1⋅r2 cis θ2=r1r2 cis(θ1+θ2)r_1\,\text{cis}\,\theta_1 \cdot r_2\,\text{cis}\,\theta_2 = r_1 r_2\,\text{cis}(\theta_1 + \theta_2)

בכפל כופלים את הערכים המוחלטים ומחברים את הזוויות.

r1 cis θ1r2 cis θ2=r1r2 cis(θ1−θ2)\frac{r_1\,\text{cis}\,\theta_1}{r_2\,\text{cis}\,\theta_2} = \frac{r_1}{r_2}\,\text{cis}(\theta_1 - \theta_2)

בחילוק מחלקים ומחסרים.

כמה זה (2 cis 40∘)(3 cis 50∘)(2\,\text{cis}\,40^\circ)(3\,\text{cis}\,50^\circ)?

Show the answer and the solution

6 cis 90∘=6i6\,\text{cis}\,90^\circ = 6i. כופלים 2⋅32 \cdot 3 ומחברים 40∘+50∘40^\circ + 50^\circ.

הצמוד וההופכי

zˉ=r cis(−θ)=r cis(360∘−θ)\begin{aligned}\bar{z} &= r\,\text{cis}(-\theta) \\ &= r\,\text{cis}(360^\circ - \theta)\end{aligned}

השיקוף בציר הממשי הופך את הזווית

1z=1r cis(−θ)\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)

ההופכי: הופכים את האורך וגם את הזווית

כפל בהצגה קוטבית.

2 cis 30∘⋅3 cis 60∘=6 cis 1800∘2\,\text{cis}\,30^\circ \cdot 3\,\text{cis}\,60^\circ = 6\,\text{cis}\,1800^\circ
=6 cis 90∘= 6\,\text{cis}\,90^\circ

את הזוויות מחברים, לא כופלים.

Exercises

Exercise 1

מהו הארגומנט θ\theta (במעלות, בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ) של z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3}?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

tan⁡θ=3\tan\theta = \sqrt{3}

רביע ראשון

θ=60∘\theta = 60^\circ

רביע ראשון: הזווית של המחשבון היא התשובה.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−2+2iz = -2 + 2i?

Show the answer and the solution

Answer: 135

Worked solution:

tan⁡θ=−1\tan\theta = -1
θ=180∘−45∘=135∘\begin{aligned}\theta &= 180^\circ - 45^\circ \\ &= 135^\circ\end{aligned}

רביע שני

−45∘-45^\circ היא התשובה של המחשבון, אבל היא ברביע הרביעי.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−3iz = -3i?

Show the answer and the solution

Answer: 270

Worked solution:

−3i=3 cis 270∘-3i = 3\,\text{cis}\,270^\circ

הנקודה על החלק השלילי של הציר המדומה

אין צורך בטנגנס: הנקודה (0,−3)(0, -3) יושבת על ציר.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

Show the answer and the solution

Answer: 240

Worked solution:

tan⁡θ=−3−1=3⇒α=60∘\begin{aligned}\tan\theta &= \frac{-\sqrt{3}}{-1} \\ &= \sqrt{3} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}
θ=180∘+60∘=240∘\begin{aligned}\theta &= 180^\circ + 60^\circ \\ &= 240^\circ\end{aligned}

רביע שלישי

tan⁡θ=3\tan\theta = \sqrt{3} גם ב-60∘60^\circ, אבל שני החלקים שליליים: הנקודה ברביע השלישי.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו הערך המוחלט של z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

r=1+3=2\begin{aligned}r &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}

הסימנים לא משפיעים על הערך המוחלט: מעלים בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון z=4 cis 150∘z = 4\,\text{cis}\,150^\circ. מהו החלק הממשי של zz? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: -3.46

Worked solution:

a=4cos⁡150∘=4⋅(−32)=−23\begin{aligned}a &= 4\cos 150^\circ \\ &= 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= -2\sqrt{3}\end{aligned}
≈−3.46\approx -3.46

150∘150^\circ ברביע השני: החלק הממשי שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו: (2 cis 70∘)(3 cis 50∘)(2\,\text{cis}\,70^\circ)(3\,\text{cis}\,50^\circ).

  1. 6 cis 120∘6\,\text{cis}\,120^\circ
  2. 6 cis 20∘6\,\text{cis}\,20^\circ
  3. 5 cis 120∘5\,\text{cis}\,120^\circ
  4. 6 cis 3500∘6\,\text{cis}\,3500^\circ
Show the answer and the solution

Answer: A 6 cis 120∘6\,\text{cis}\,120^\circ

Worked solution:

2⋅3=670∘+50∘=120∘\begin{aligned}2 \cdot 3 &= 6 \\ \quad 70^\circ + 50^\circ &= 120^\circ\end{aligned}

כופלים אורכים, מחברים זוויות.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו 8 cis 200∘2 cis 50∘\frac{8\,\text{cis}\,200^\circ}{2\,\text{cis}\,50^\circ}. מהו החלק המדומה של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

=4 cis 150∘= 4\,\text{cis}\,150^\circ

מחלקים ומחסרים

4sin⁡150∘=4⋅12=2\begin{aligned}4\sin 150^\circ &= 4 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

בחילוק מחסרים את הזוויות: 200∘−50∘200^\circ - 50^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון z=2 cis 40∘z = 2\,\text{cis}\,40^\circ. מהו zˉ\bar{z}?

  1. 12 cis 40∘\frac{1}{2}\,\text{cis}\,40^\circ
  2. 2 cis 140∘2\,\text{cis}\,140^\circ
  3. −2 cis 40∘-2\,\text{cis}\,40^\circ
  4. 2 cis 320∘2\,\text{cis}\,320^\circ
Show the answer and the solution

Answer: D 2 cis 320∘2\,\text{cis}\,320^\circ

Worked solution:

zˉ=2 cis(−40∘)=2 cis 320∘\begin{aligned}\bar{z} &= 2\,\text{cis}(-40^\circ) \\ &= 2\,\text{cis}\,320^\circ\end{aligned}

השיקוף בציר הממשי שומר על האורך והופך את הזווית.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון z=4 cis 60∘z = 4\,\text{cis}\,60^\circ. מהו 1z\frac{1}{z}?

  1. 14 cis 60∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,60^\circ
  2. 4 cis 300∘4\,\text{cis}\,300^\circ
  3. 14 cis 300∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ
  4. −4 cis 60∘-4\,\text{cis}\,60^\circ
Show the answer and the solution

Answer: C 14 cis 300∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ

Worked solution:

1 cis 0∘4 cis 60∘=14 cis(−60∘)\frac{1\,\text{cis}\,0^\circ}{4\,\text{cis}\,60^\circ} = \frac{1}{4}\,\text{cis}(-60^\circ)
=14 cis 300∘= \frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ

ההופכי הופך גם את האורך וגם את הזווית.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתון z=3 cis 100∘z = 3\,\text{cis}\,100^\circ. באיזה רביע נמצא iziz?

  1. השלישי
  2. הרביעי
  3. השני
  4. הראשון
Show the answer and the solution

Answer: A השלישי

Worked solution:

iz=3 cis 190∘iz = 3\,\text{cis}\,190^\circ

כפל ב-ii מוסיף 90∘90^\circ

180∘<190∘<270∘180^\circ < 190^\circ < 270^\circ

רביע שלישי

אין צורך לעבור להצגה אלגברית: מספיק לחבר את הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 12

מהו הארגומנט (במעלות) של (1+i)(1+i3)(1 + i)(1 + i\sqrt{3})?

Show the answer and the solution

Answer: 105

Worked solution:

1+i=2 cis 45∘1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ
1+i3=2 cis 60∘1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ
45∘+60∘=105∘45^\circ + 60^\circ = 105^\circ

בלי לפתוח סוגריים: הארגומנט של מכפלה הוא סכום הארגומנטים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade