Square roots and equations · Complex numbers · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במספרים הממשיים, למשוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה שלילית אין פתרון. במספרים המרוכבים יש לה תמיד פתרונות: מוציאים שורש מהמספר השלילי בעזרת $i$ , וממשיכים עם הנוסחה הרגילה.

משוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה שלילית

פותרים $z^2 + 2z + 5 = 0$ .

\begin{aligned}\Delta &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 \\ &= -16\end{aligned}

הדיסקרימיננטה שלילית

\sqrt{-16} = 4i

השורש של מספר שלילי

\begin{aligned}z_{1,2} &= \frac{-2 \pm 4i}{2} \\ &= -1 \pm 2i\end{aligned}

נוסחת השורשים, כרגיל

כשכל המקדמים ממשיים, הפתרונות המרוכבים באים בזוגות של צמודים. אם $3 + i$ פותר את המשוואה, גם $3 - i$ פותר אותה. נוסחאות וייטה עדיין נכונות: הסכום הוא $-\frac{b}{a}$ והמכפלה היא $\frac{c}{a}$ .

בנו משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים שאחד הפתרונות שלה הוא $3 + i$ .

Show the answer and the solution

הפתרון השני הוא $3 - i$ . הסכום הוא $6$ והמכפלה $(3 + i)(3 - i) = 10$ , ולכן $z^2 - 6z + 10 = 0$ .

שורש ריבועי של מספר מרוכב

מחפשים מספר $z = x + yi$ שהריבוע שלו שווה למספר נתון. פותחים את $(x + yi)^2$ , משווים חלק ממשי לחלק ממשי וחלק מדומה לחלק מדומה, ומקבלים שתי משוואות ממשיות.

Interactive activity

השורש של $3 + 4i$

z^2 = 3 + 4i

לחצו «להתחיל». מסמנים $z = x + yi$ , כאשר $x$ ו- $y$ ממשיים.

פותחים

(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi

כי $(yi)^2 = -y^2$ .

משווים

\begin{aligned}x^2 - y^2 &= 3 \quad \\ \quad 2xy &= 4\end{aligned}

שתי משוואות: אחת לכל חלק.

קיצור דרך

\begin{aligned}x^2 + y^2 &= |z|^2 \\ &= |3 + 4i| \\ &= 5\end{aligned}

הערך המוחלט של $z^2$ הוא $|z|^2$ : משוואה שלישית, נוחה מאוד.

מחברים

\begin{aligned}2x^2 &= 8 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

מחברים את $x^2 - y^2 = 3$ ואת $x^2 + y^2 = 5$ .

מוצאים את y

\begin{aligned}2xy &= 4 \Rightarrow y \\ &= \frac{2}{x}\end{aligned}

$x = 2$ נותן $y = 1$ , ו- $x = -2$ נותן $y = -1$ .

התשובה

z = \pm(2 + i)

בודקים: $(2 + i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i \ \checkmark$

לכל מספר מרוכב (חוץ מ- $0$ ) יש שני שורשים ריבועיים, והם נגדיים זה לזה: $w$ ו- $-w$ .

Do the activity on elev

משוואות עם $z$ ועם $\bar{z}$

כשבמשוואה מופיעים גם $z$ וגם $\bar{z}$ (או $|z|$ ), הנוסחה לא עוזרת. מציבים $z = x + yi$ , מכנסים את שני החלקים, ומשווים.

משוואה עם צמוד

פותרים $2z + \bar{z} = 6 - 2i$ .

2(x + yi) + (x - yi) = 6 - 2i

מציבים $z = x + yi$ ו- $\bar{z} = x - yi$

3x + yi = 6 - 2i

מכנסים

\begin{aligned}3x &= 6 \\ \quad y &= -2\end{aligned}

משווים חלקים

z = 2 - 2i

גם מקדמים מרוכבים

משוואה ריבועית עם מקדמים מרוכבים

פותרים $z^2 - (2 + 2i)z + 4i = 0$ .

\begin{aligned}\Delta &= (2 + 2i)^2 - 16i \\ &= 8i - 16i \\ &= -8i\end{aligned}

הדיסקרימיננטה היא מספר מרוכב

\sqrt{-8i} = \pm(2 - 2i)

שורש ריבועי של מספר מרוכב, כמו למעלה: $(2 - 2i)^2 = -8i$

z = \frac{(2 + 2i) \pm (2 - 2i)}{2}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}z_1 &= 2 \\ \quad z_2 &= 2i\end{aligned}

כאן הפתרונות לא צמודים: המקדמים לא ממשיים

הזוג הצמוד לא תמיד מגיע.

\begin{aligned}z_1 &= 2 \Rightarrow z_2 \\ &= \bar{z}_1 \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}z_1 &= 2 \\ \ z_2 &= 2i\end{aligned}

הכלל «הפתרונות צמודים» נכון רק כשכל המקדמים ממשיים.

Exercises

Exercise 1

מהם הפתרונות של $z^2 + 9 = 0$ ?

$z = \pm 3$
$z = 3i$ בלבד
$z = \pm 3i$
אין פתרונות

Show the answer and the solution

Answer: C $z = \pm 3i$

Worked solution:

z^2 = -9

\begin{aligned}z &= \pm\sqrt{-9} \\ &= \pm 3i\end{aligned}

כמו כל משוואה ריבועית, יש שני פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את $z^2 - 4z + 13 = 0$ . מהו החלק המדומה של הפתרון שהחלק המדומה שלו חיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 52 \\ &= -36\end{aligned}

\begin{aligned}z &= \frac{4 \pm 6i}{2} \\ &= 2 \pm 3i\end{aligned}

זכרו לחלק ב- $2a$ את שני החלקים: $\frac{4}{2}$ וגם $\frac{6i}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי מכפלת הפתרונות של $z^2 + 2z + 5 = 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}z_1 z_2 &= \frac{c}{a} \\ &= 5\end{aligned}

וייטה

\begin{aligned}(-1 + 2i)(-1 - 2i) &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה

נוסחאות וייטה עובדות גם כשהפתרונות מרוכבים.

Check the answer on elev

Exercise 4

למשוואה $z^2 + bz + 10 = 0$ (עם $b$ ממשי) יש פתרון $3 + i$ . מצאו את $b$ .

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

z_2 = 3 - i

מקדמים ממשיים: הפתרון השני הוא הצמוד

\begin{aligned}z_1 + z_2 &= 6 \\ &= -b\end{aligned}

וייטה

b = -6

הסכום הוא $-\frac{b}{a}$ : אל תשכחו את המינוס.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהם השורשים הריבועיים של $8 - 6i$ ?

$\pm(3 + i)$
$\pm(1 - 3i)$
$\pm(2\sqrt{2} - i\sqrt{6})$
$\pm(3 - i)$

Show the answer and the solution

Answer: D $\pm(3 - i)$

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - y^2 &= 8 \\ \quad 2xy &= -6\end{aligned}

משווים חלקים

\begin{aligned}x^2 + y^2 &= |8 - 6i| \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm 3 \\ \ y &= \mp 1\end{aligned}

$xy < 0$ : הסימנים הפוכים

\begin{aligned}(3 - i)^2 &= 9 - 6i - 1 \\ &= 8 - 6i \ \checkmark\end{aligned}

$2xy = -6$ שלילי, ולכן ל- $x$ ול- $y$ יש סימנים הפוכים.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו: $3z - \bar{z} = 4 + 8i$ .

$z = 2 + 4i$
$z = 1 + 4i$
$z = 2 - 2i$
$z = 2 + 2i$

Show the answer and the solution

Answer: D $z = 2 + 2i$

Worked solution:

3(x + yi) - (x - yi) = 2x + 4yi

מציבים ומכנסים

\begin{aligned}2x &= 4 \\ \ 4y &= 8\end{aligned}

משווים

z = 2 + 2i

$-\bar{z} = -x + yi$ : המינוס הופך את הסימן של שני החלקים של $\bar{z}$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו: $z + |z| = 2 + 8i$ . מהו החלק הממשי של $z$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -15

Worked solution:

\begin{aligned}x + \sqrt{x^2 + y^2} &= 2 \\ \quad y &= 8\end{aligned}

$|z|$ ממשי, ולכן הוא שייך לחלק הממשי

\sqrt{x^2 + 64} = 2 - x

\begin{aligned}x^2 + 64 &= 4 - 4x + x^2 \Rightarrow x \\ &= -15\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}\sqrt{225 + 64} &= 17 \\ &= 2 - (-15) \ \checkmark\end{aligned}

בודקים: אגף ימין לא שלילי

$|z|$ הוא מספר ממשי. אחרי העלאה בריבוע בודקים תמיד את הפתרון במשוואה המקורית.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו: $z \cdot \bar{z} + 2z = 7 + 4i$ . מצאו את סכום החלקים הממשיים של כל הפתרונות.

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

x^2 + y^2 + 2x + 2yi = 7 + 4i

$z\bar{z} = x^2 + y^2$

\begin{aligned}2y &= 4 \Rightarrow y \\ &= 2\end{aligned}

החלק המדומה

\begin{aligned}x^2 + 4 + 2x &= 7 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 \\ &= 0\end{aligned}

החלק הממשי

\begin{aligned}x &= 1 \quad \\ \quad x &= -3\end{aligned}

שני פתרונות: $1 + 2i$ ו- $-3 + 2i$

1 + (-3) = -2

למשוואה יש שני פתרונות. מי שעוצר אחרי הראשון מפסיד חצי מהנקודות.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהם הפתרונות של $z^2 - (2 + 2i)z + 4i = 0$ ?

$-2$ ו- $-2i$
$2$ ו- $2i$
$2 + 2i$ ו- $0$
$1 + i$ ו- $1 - i$

Show the answer and the solution

Answer: B $2$ ו- $2i$

Worked solution:

\begin{aligned}\Delta &= (2 + 2i)^2 - 16i \\ &= -8i\end{aligned}

\sqrt{-8i} = \pm(2 - 2i)

\begin{aligned}z &= \frac{(2 + 2i) \pm (2 - 2i)}{2} \\ &= 2 \\ \ 2i\end{aligned}

בדיקה מהירה בוייטה: $2 + 2i$ הוא הסכום, ו- $2 \cdot 2i = 4i$ היא המכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 10

אם $z_1$ פותר משוואה ריבועית שכל המקדמים שלה ממשיים, אז גם $\bar{z}_1$ פותר אותה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\overline{az^2 + bz + c} = a\bar{z}^2 + b\bar{z} + c

הצמוד של מספר ממשי הוא המספר עצמו

לכן הפתרונות הלא ממשיים של משוואה כזו באים תמיד בזוגות של צמודים.

Check the answer on elev

Exercise 11

פתרו: $z^2 = -5 + 12i$ . מהו החלק הממשי של הפתרון שהחלק הממשי שלו חיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - y^2 &= -5 \\ \quad 2xy &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 + y^2 &= |-5 + 12i| \\ &= 13\end{aligned}

\begin{aligned}2x^2 &= 8 \Rightarrow x \\ &= \pm 2 \\ \ y &= \pm 3\end{aligned}

z = \pm(2 + 3i)

בדיקה: $4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

המשוואה $x^2 + y^2 = |w|$ חוסכת פתרון של משוואה ממעלה רביעית.

Check the answer on elev

שורש ריבועי של מספר מרוכב

משוואות עם zzz ועם zˉ\bar{z}zˉ

גם מקדמים מרוכבים

Exercises

Keep practising on elev

משוואות עם $z$ ועם $\bar{z}$