The Gauss plane

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

למספר מרוכב יש שני מספרים ממשיים: החלק הממשי והחלק המדומה. שני מספרים הם בדיוק מה שצריך כדי לסמן נקודה במישור. כך כל מספר מרוכב מקבל מקום, ואפשר לראות את החשבון.

המישור הזה נקרא מישור גאוס. המספרים הממשיים יושבים על הציר האופקי, והמספרים המדומים הטהורים על הציר האנכי.

באיזה רביע נמצא המספר −2+5i-2 + 5i?

Show the answer and the solution

החלק הממשי שלילי (שמאלה) והחלק המדומה חיובי (למעלה): ברביע השני.

הערך המוחלט: המרחק מראשית הצירים

∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2\begin{aligned}|z| &= |a + bi| \\ &= \sqrt{a^2 + b^2}\end{aligned}

הערך המוחלט של zz (נקרא גם המודול) הוא המרחק של הנקודה מראשית הצירים.

∣z∣2=z⋅zˉ|z|^2 = z \cdot \bar{z}

הקשר לצמוד

∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|

ערך מוחלט של מכפלה

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}

וגם של מנה

חשבו ערך מוחלט של מכפלה בלי לכפול. ∣(3+4i)(1−i)∣=∣3+4i∣⋅∣1−i∣=52|(3 + 4i)(1 - i)| = |3 + 4i| \cdot |1 - i| = 5\sqrt{2}. כך חוסכים את פתיחת הסוגריים.

הצמוד הוא שיקוף

החיבור הוא מקבילית

המרחק בין שני מספרים

d=∣z1−z2∣d = |z_1 - z_2|

המרחק בין הנקודות של z1z_1 ושל z2z_2 במישור הוא הערך המוחלט של ההפרש.

מרחק בין שתי נקודות

מה המרחק בין z1=5+3iz_1 = 5 + 3i ל-z2=2−iz_2 = 2 - i?

z1−z2=3+4iz_1 - z_2 = 3 + 4i

מחסרים

∣3+4i∣=9+16=5\begin{aligned}|3 + 4i| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

זה בדיוק המרחק בין (5,3)(5, 3) ל-(2,−1)(2, -1)

הטעות של הערך המוחלט.

∣3−4i∣=32−42|3 - 4i| = \sqrt{3^2 - 4^2}
∣3−4i∣=32+(−4)2=5\begin{aligned}|3 - 4i| &= \sqrt{3^2 + (-4)^2} \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע את החלק המדומה, בלי ii ועם הסימן: הריבוע תמיד חיובי.

Exercises

Exercise 1

באיזה רביע נמצא המספר z=−3−2iz = -3 - 2i?

  1. השלישי
  2. הרביעי
  3. הראשון
  4. השני
Show the answer and the solution

Answer: A השלישי

Worked solution:

Re(z)=−3<0 Im(z)=−2<0\begin{aligned}\mathrm{Re}(z) &= -3 < 0 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= -2 < 0\end{aligned}

שמאלה ולמטה

שני החלקים שליליים: הרביע השלישי.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את ∣6−8i∣|6 - 8i|.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

∣6−8i∣=36+64=100\begin{aligned}|6 - 8i| &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100}\end{aligned}
=10= 10

מעלים בריבוע את −8-8, לא את −8i-8i: (−8)2=64(-8)^2 = 64.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את ∣5i∣|5i|.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

5i=0+5i5i = 0 + 5i

הנקודה (0,5)(0, 5)

∣5i∣=0+25=5\begin{aligned}|5i| &= \sqrt{0 + 25} \\ &= 5\end{aligned}

מספר מדומה טהור יושב על הציר המדומה, והמרחק שלו מהראשית הוא 55.

Check the answer on elev

Exercise 4

מה המרחק בין הנקודות שמייצגות את z1=5+3iz_1 = 5 + 3i ואת z2=2−iz_2 = 2 - i?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

z1−z2=3+4iz_1 - z_2 = 3 + 4i
∣3+4i∣=5|3 + 4i| = 5

המרחק הוא ∣z1−z2∣|z_1 - z_2|: מחסרים, ואז לוקחים ערך מוחלט.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את ∣(3+4i)(1−i)∣|(3 + 4i)(1 - i)|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 7.07

Worked solution:

∣3+4i∣⋅∣1−i∣=5⋅2|3 + 4i| \cdot |1 - i| = 5 \cdot \sqrt{2}

ערך מוחלט של מכפלה

52≈7.075\sqrt{2} \approx 7.07

אין צורך לכפול את המספרים: כופלים את הערכים המוחלטים.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את ∣6+8i1+i3∣\left|\frac{6 + 8i}{1 + i\sqrt{3}}\right|.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

∣6+8i∣=10∣1+i3∣=1+3=2\begin{aligned}|6 + 8i| &= 10 \\ \quad |1 + i\sqrt{3}| &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}
102=5\frac{10}{2} = 5

הערך המוחלט של מנה הוא מנת הערכים המוחלטים.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודה AA מייצגת את zz. איזו פעולה מעבירה את AA לשיקוף שלה בציר הממשי?

  1. zˉ\bar{z}
  2. −zˉ-\bar{z}
  3. −z-z
  4. iziz
Show the answer and the solution

Answer: A zˉ\bar{z}

Worked solution:

a+bi↦a−bia + bi \mapsto a - bi

החלק הממשי נשאר, המדומה מחליף סימן

zˉ\bar{z} משקף בציר הממשי; −zˉ-\bar{z} משקף בציר המדומה; −z-z משקף בראשית.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון z1=3+iz_1 = 3 + i ו-z2=1+3iz_2 = 1 + 3i. הנקודות OO, z1z_1, z1+z2z_1 + z_2, z2z_2 הן קדקודים של מקבילית. מהו אורך האלכסון שיוצא מ-OO? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 5.66

Worked solution:

z1+z2=4+4iz_1 + z_2 = 4 + 4i

האלכסון מ-OO הוא הסכום

∣4+4i∣=32=42≈5.66\begin{aligned}|4 + 4i| &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

האלכסון השני של המקבילית הוא ∣z1−z2∣=∣2−2i∣=22|z_1 - z_2| = |2 - 2i| = 2\sqrt{2}.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון ∣z∣=3|z| = 3. חשבו את z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

z⋅zˉ=∣z∣2z \cdot \bar{z} = |z|^2
=32=9= 3^2 = 9

אין צורך לדעת את zz עצמו: מספיק הערך המוחלט שלו.

Check the answer on elev

Exercise 10

אם ∣z1∣=∣z2∣|z_1| = |z_2|, אז z1=z2z_1 = z_2.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∣3+4i∣=∣5∣=5\begin{aligned}|3 + 4i| &= |5| \\ &= 5\end{aligned}

דוגמה נגדית: 3+4i≠53 + 4i \ne 5

כל הנקודות שהמרחק שלהן מהראשית הוא 55 נמצאות על מעגל: יש אינסוף מספרים עם אותו ערך מוחלט.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתון z=a+6iz = a + 6i, כאשר a>0a > 0, ו-∣z∣=10|z| = 10. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

a2+36=10\sqrt{a^2 + 36} = 10
a2=64⇒a=8\begin{aligned}a^2 &= 64 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a>0a > 0

בלי התנאי a>0a > 0 היו שני פתרונות, 88 ו-−8-8: שתי נקודות סימטריות לציר המדומה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade