The four operations

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עם מספרים מרוכבים מחשבים כמו עם ביטויים אלגבריים: ii מתנהג כמו משתנה, וההבדל היחיד הוא שבכל מקום שמופיע i2i^2, מחליפים אותו ב-−1-1.

חיבור וחיסור: כל חלק לחוד

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i

ממשי עם ממשי, מדומה עם מדומה.

חיבור וחיסור

נתון z1=3+2iz_1 = 3 + 2i ו-z2=1−5iz_2 = 1 - 5i.

z1+z2=(3+1)+(2−5)i=4−3i\begin{aligned}z_1 + z_2 &= (3 + 1) + (2 - 5)i \\ &= 4 - 3i\end{aligned}

מחברים את החלקים הממשיים, ואז את החלקים המדומים

z1−z2=(3−1)+(2−(−5))i=2+7i\begin{aligned}z_1 - z_2 &= (3 - 1) + (2 - (-5))i \\ &= 2 + 7i\end{aligned}

בחיסור, המינוס עובר על שני החלקים של z2z_2

כפל: פותחים סוגריים, ו-i2=−1i^2 = -1

כפל של שני מספרים מרוכבים

מחשבים את (2+3i)(4−i)(2 + 3i)(4 - i).

=8−2i+12i−3i2= 8 - 2i + 12i - 3i^2

פותחים סוגריים: כל איבר כפול כל איבר

=8+10i−3⋅(−1)= 8 + 10i - 3 \cdot (-1)

מחליפים את i2i^2 ב-−1-1

=11+10i= 11 + 10i

מכנסים: ממשי עם ממשי, מדומה עם מדומה

כמה זה (1+i)2(1 + i)^2?

Show the answer and the solution

(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i. התוצאה היא מספר מדומה טהור.

המספר הצמוד

z=a+bi⟹zˉ=a−bi\begin{aligned}z &= a + bi \quad \Longrightarrow \quad \bar{z} \\ &= a - bi\end{aligned}

הצמוד של zz: אותו חלק ממשי, והחלק המדומה מחליף סימן.

הצמוד חשוב בגלל תכונה אחת: מספר כפול הצמוד שלו הוא תמיד מספר ממשי, ואפילו לא שלילי.

z⋅zˉ=(a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2\begin{aligned}z \cdot \bar{z} &= (a + bi)(a - bi) \\ &= a^2 - b^2 i^2 \\ &= a^2 + b^2\end{aligned}
z+zˉ=2az + \bar{z} = 2a

גם הסכום ממשי

z−zˉ=2biz - \bar{z} = 2bi

וההפרש מדומה טהור

z1⋅z2‾=zˉ1⋅zˉ2\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2

הצמוד של מכפלה הוא מכפלת הצמודים

חילוק: כופלים בצמוד של המכנה

אי אפשר להשאיר ii במכנה. כדי להיפטר ממנו, כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה: המכנה הופך למספר ממשי, ואז מחלקים כל חלק לחוד.

ההופכי של ii. 1i=1⋅(−i)i⋅(−i)=−i1=−i\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{1} = -i. כדאי לזכור את זה: הוא מופיע הרבה.

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

(3+2i)2=9+4i2=5\begin{aligned}(3 + 2i)^2 &= 9 + 4i^2 \\ &= 5\end{aligned}
(3+2i)2=9+12i−4=5+12i\begin{aligned}(3 + 2i)^2 &= 9 + 12i - 4 \\ &= 5 + 12i\end{aligned}

ריבוע של סכום כולל את האיבר האמצעי 2ab2ab, גם במספרים מרוכבים.

4+6i2+3i=42+6i3i=4\begin{aligned}\frac{4 + 6i}{2 + 3i} &= \frac{4}{2} + \frac{6i}{3i} \\ &= 4\end{aligned}
4+6i2+3i=2\frac{4 + 6i}{2 + 3i} = 2

אי אפשר לחלק חלק בחלק. כאן במקרה 4+6i=2(2+3i)4 + 6i = 2(2 + 3i), ולכן התוצאה היא 22.

Exercises

Exercise 1

נתון z1=4−3iz_1 = 4 - 3i ו-z2=−1+7iz_2 = -1 + 7i. מהו החלק המדומה של z1+z2z_1 + z_2?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

z1+z2=(4−1)+(−3+7)i=3+4i\begin{aligned}z_1 + z_2 &= (4 - 1) + (-3 + 7)i \\ &= 3 + 4i\end{aligned}

חלק חלק

Im=4\mathrm{Im} = 4

מחברים את המקדמים של ii עם הסימנים שלהם: −3+7=4-3 + 7 = 4.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון z1=2+5iz_1 = 2 + 5i ו-z2=6−iz_2 = 6 - i. מהו החלק המדומה של z1−z2z_1 - z_2?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

z1−z2=(2−6)+(5−(−1))i=−4+6i\begin{aligned}z_1 - z_2 &= (2 - 6) + (5 - (-1))i \\ &= -4 + 6i\end{aligned}

המינוס עובר על שני החלקים

Im=6\mathrm{Im} = 6

התשובה 44 שוכחת שחיסור של −i-i הוא חיבור של ii.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את (2+3i)(4−i)(2 + 3i)(4 - i). מהו החלק הממשי של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

8−2i+12i−3i28 - 2i + 12i - 3i^2

פותחים סוגריים

=8+10i+3=11+10i= 8 + 10i + 3 = 11 + 10i

−3i2=+3-3i^2 = +3

התשובה 55 שוכחת ש-−3i2-3i^2 הוא פלוס 33.

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו את (3−2i)2(3 - 2i)^2. מהו החלק המדומה של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: -12

Worked solution:

(3−2i)2=9−12i+4i2(3 - 2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2

נוסחת הכפל המקוצר

=9−12i−4=5−12i= 9 - 12i - 4 = 5 - 12i

האיבר האמצעי 2⋅3⋅(−2i)=−12i2 \cdot 3 \cdot (-2i) = -12i הוא החלק המדומה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון z=5−2iz = 5 - 2i. חשבו את z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

Show the answer and the solution

Answer: 29

Worked solution:

zˉ=5+2i\bar{z} = 5 + 2i

הצמוד

z⋅zˉ=52+22=29\begin{aligned}z \cdot \bar{z} &= 5^2 + 2^2 \\ &= 29\end{aligned}

a2+b2a^2 + b^2

התוצאה ממשית, ושני הריבועים מתחברים: 25+425 + 4, לא 25−425 - 4.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הצמוד של z=−4+iz = -4 + i?

  1. −4−i-4 - i
  2. 4+i4 + i
  3. −4+i-4 + i
  4. 4−i4 - i
Show the answer and the solution

Answer: A −4−i-4 - i

Worked solution:

zˉ=−4−i\bar{z} = -4 - i

רק החלק המדומה מחליף סימן

הצמוד לא נוגע בחלק הממשי: −4-4 נשאר −4-4.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו את 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i}. מהו החלק הממשי של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

(5+5i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−5i5\frac{(5 + 5i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{15 - 5i}{5}

כופלים בצמוד של המכנה

=3−i= 3 - i

הדרך הבטוחה: כופלים בצמוד של המכנה, לא של המונה.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את 103−i\frac{10}{3 - i}. מהו החלק המדומה של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

10(3+i)(3−i)(3+i)=30+10i10\frac{10(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{30 + 10i}{10}

המכנה: 9+1=109 + 1 = 10

=3+i= 3 + i

גם כשהמונה ממשי, כופלים בצמוד של המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו את 1i\frac{1}{i}.

  1. −1-1
  2. 11
  3. ii
  4. −i-i
Show the answer and the solution

Answer: D −i-i

Worked solution:

1i⋅−i−i=−i−i2=−i1\begin{aligned}\frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} &= \frac{-i}{-i^2} \\ &= \frac{-i}{1}\end{aligned}

הצמוד של ii הוא −i-i

=−i= -i

בודקים: i⋅(−i)=−i2=1i \cdot (-i) = -i^2 = 1

ההופכי של ii הוא −i-i, לא ii: i⋅i=−1i \cdot i = -1, ולא 11.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון z=2+iz = 2 + i. חשבו את z2−4zz^2 - 4z. מהו החלק הממשי של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

z2=4+4i+i2=3+4i\begin{aligned}z^2 &= 4 + 4i + i^2 \\ &= 3 + 4i\end{aligned}

קודם הריבוע

4z=8+4i4z = 8 + 4i
z2−4z=−5+0i=−5\begin{aligned}z^2 - 4z &= -5 + 0i \\ &= -5\end{aligned}

החלק המדומה מתבטל

התוצאה היא מספר ממשי. זה לא מקרה: z=2+iz = 2 + i הוא פתרון של z2−4z+5=0z^2 - 4z + 5 = 0.

Check the answer on elev

Exercise 11

לכל מספר מרוכב zz, המספר z+zˉz + \bar{z} הוא מספר ממשי.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(a+bi)+(a−bi)=2a(a + bi) + (a - bi) = 2a

החלקים המדומים מתבטלים

הסכום שווה לפעמיים החלק הממשי של zz.

Check the answer on elev

Exercise 12

מצאו את הערך הממשי של mm שעבורו (m+2i)(3−i)(m + 2i)(3 - i) הוא מספר ממשי.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

(m+2i)(3−i)=3m−mi+6i−2i2(m + 2i)(3 - i) = 3m - mi + 6i - 2i^2

פותחים סוגריים

=(3m+2)+(6−m)i= (3m + 2) + (6 - m)i

מכנסים

6−m=0⇒m=6\begin{aligned}6 - m &= 0 \Rightarrow m \\ &= 6\end{aligned}

מספר ממשי: החלק המדומה הוא 00

מספר ממשי פירושו חלק מדומה 00. מכנסים קודם את כל האיברים עם ii.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade