The number i

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

נסו לפתור את המשוואה x2=−1x^2 = -1. אין מספר ממשי שמקיים אותה: ריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אפס או חיובי, ולכן הוא לא יכול לצאת −1-1. המתמטיקאים לא ויתרו. הם הוסיפו מספר חדש, ובנו סביבו עולם שלם של מספרים.

i2=−1i^2 = -1

ii הוא המספר שהריבוע שלו שווה ל-−1-1. האות ii באה מהמילה imaginary: מדומה.

מהו (−i)2(-i)^2?

Show the answer and the solution

(−i)2=(−1)2⋅i2=1⋅(−1)=−1(-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1. גם −i-i פותר את המשוואה x2=−1x^2 = -1: למשוואה יש שני פתרונות, ii ו-−i-i.

עכשיו אפשר להוציא שורש גם ממספר שלילי. למשל −9=3i\sqrt{-9} = 3i, כי (3i)2=9⋅i2=−9(3i)^2 = 9 \cdot i^2 = -9. ולכן גם למשוואה x2=−9x^2 = -9 יש שני פתרונות: x=3ix = 3i ו-x=−3ix = -3i.

החזקות של ii חוזרות על עצמן

i1=ii^1 = i

ההתחלה

i2=−1i^2 = -1

ההגדרה

i3=i2⋅i=−i\begin{aligned}i^3 &= i^2 \cdot i \\ &= -i\end{aligned}

כופלים שוב ב-ii

i4=i2⋅i2=1\begin{aligned}i^4 &= i^2 \cdot i^2 \\ &= 1\end{aligned}

וחוזרים ל-11

כדי לחשב ini^n, מחלקים את nn ב-4 ומסתכלים על השארית. שארית 00 נותנת 11, שארית 11 נותנת ii, שארית 22 נותנת −1-1, ושארית 33 נותנת −i-i. למשל i27i^{27}: 27=4⋅6+327 = 4 \cdot 6 + 3, ולכן i27=i3=−ii^{27} = i^3 = -i.

כמה זה i+i2+i3+i4i + i^2 + i^3 + i^4?

Show the answer and the solution

i+(−1)+(−i)+1=0i + (-1) + (-i) + 1 = 0. ארבע חזקות רצופות של ii מסתכמות תמיד ב-00 — נשתמש בזה בסכומים ארוכים.

מספר מרוכב: חלק ממשי וחלק מדומה

z=a+biab∈R\begin{aligned}z &= a + bi \qquad a \\ b \in \mathbb{R}\end{aligned}

זו ההצגה האלגברית של מספר מרוכב.

Re(z)=a\mathrm{Re}(z) = a

החלק הממשי: המספר שעומד לבד

Im(z)=b\mathrm{Im}(z) = b

החלק המדומה: המקדם של ii, בלי ה-ii

מזהים את שני החלקים

בכל מספר כותבים קודם את הצורה a+bia + bi, ורק אז קוראים את aa ואת bb.

z=3−5i⇒Re(z)=3 Im(z)=−5\begin{aligned}z &= 3 - 5i \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 3 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= -5\end{aligned}

הסימן שייך לחלק המדומה

z=4i⇒Re(z)=0 Im(z)=4\begin{aligned}z &= 4i \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 0 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= 4\end{aligned}

מספר מדומה טהור

z=7⇒Re(z)=7 Im(z)=0\begin{aligned}z &= 7 \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 7 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= 0\end{aligned}

כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב

הטעויות של המתחילים.

Im(3−4i)=−4i\mathrm{Im}(3 - 4i) = -4i
Im(3−4i)=−4\mathrm{Im}(3 - 4i) = -4

החלק המדומה הוא מספר ממשי: המקדם של ii, בלי ii.

−4⋅−9=36=6\begin{aligned}\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}
−4⋅−9=2i⋅3i=−6\begin{aligned}\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} &= 2i \cdot 3i \\ &= -6\end{aligned}

הכלל ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} נכון רק למספרים חיוביים. קודם מוציאים את ii, ואחר כך כופלים.

מתי שני מספרים מרוכבים שווים

שני מספרים מרוכבים שווים רק כשהחלקים הממשיים שלהם שווים, וגם החלקים המדומים שלהם שווים. משוואה אחת בין מספרים מרוכבים נותנת לכן שתי משוואות בין מספרים ממשיים.

מוצאים שני נעלמים ממשוואה אחת

נתון: (x+2)+3i=5+(y−1)i(x + 2) + 3i = 5 + (y - 1)i, כאשר x,yx, y ממשיים.

x+2=5⇒x=3\begin{aligned}x + 2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים את החלקים הממשיים

3=y−1⇒y=4\begin{aligned}3 &= y - 1 \Rightarrow y \\ &= 4\end{aligned}

משווים את החלקים המדומים

Exercises

Exercise 1

מהו i2i^2?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

i2=−1i^2 = -1

זו ההגדרה של ii

i2i^2 הוא מספר ממשי, −1-1, ולא ii ולא −i-i.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהם הפתרונות של המשוואה x2=−16x^2 = -16?

  1. x=4ix = 4i ו-x=−4ix = -4i
  2. x=4x = 4 ו-x=−4x = -4
  3. x=16ix = 16i
  4. אין פתרונות
Show the answer and the solution

Answer: A x=4ix = 4i ו-x=−4ix = -4i

Worked solution:

x2=−16=16⋅(−1)=16i2\begin{aligned}x^2 &= -16 \\ &= 16 \cdot (-1) \\ &= 16i^2\end{aligned}

כותבים את −1-1 בתור i2i^2

x=±4ix = \pm 4i

בודקים: (4i)2=16⋅(−1)=−16(4i)^2 = 16 \cdot (-1) = -16

42=164^2 = 16, לא −16-16. ובמספרים המרוכבים יש פתרונות: שניים, צמודים זה לזה.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את i23i^{23}.

  1. −i-i
  2. ii
  3. −1-1
  4. 11
Show the answer and the solution

Answer: A −i-i

Worked solution:

23=4⋅5+323 = 4 \cdot 5 + 3

מחלקים ב-4: השארית היא 33

i23=i3=−i\begin{aligned}i^{23} &= i^{3} \\ &= -i\end{aligned}

מה שקובע הוא השארית בחלוקה ב-4, ולא האם 2323 זוגי או אי-זוגי.

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו את i100i^{100}.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

100=4⋅25100 = 4 \cdot 25

השארית בחלוקה ב-4 היא 00

i100=(i4)25=125=1\begin{aligned}i^{100} &= (i^4)^{25} \\ &= 1^{25} \\ &= 1\end{aligned}

כל חזקה שהמעריך שלה מתחלק ב-4 שווה ל-11.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו החלק המדומה של z=7−2iz = 7 - 2i?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

z=7+(−2)iz = 7 + (-2)i

כותבים בצורה a+bia + bi

Im(z)=−2\mathrm{Im}(z) = -2

התשובה היא −2-2, בלי ii, ועם הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו החלק הממשי של z=6i−5z = 6i - 5?

Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

z=−5+6iz = -5 + 6i

מסדרים: קודם החלק הממשי

Re(z)=−5\mathrm{Re}(z) = -5

הסדר שבו המספר כתוב לא משנה: החלק הממשי הוא מה שעומד בלי ii.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו: i+i2+i3+…+i10i + i^2 + i^3 + \ldots + i^{10}. מהו החלק הממשי של התוצאה?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

(i+i2+i3+i4)+(i5+…+i8)=0+0(i + i^2 + i^3 + i^4) + (i^5 + \ldots + i^8) = 0 + 0

כל ארבעה איברים רצופים מסתכמים ב-00

i9+i10=i+(−1)=−1+i\begin{aligned}i^9 + i^{10} &= i + (-1) \\ &= -1 + i\end{aligned}

נשארים שני איברים

Re=−1\mathrm{Re} = -1

במקום לחשב עשרה איברים, מקבצים אותם ברביעיות: רק השארית נשארת.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון: (x+2)+3i=5+(y−1)i(x + 2) + 3i = 5 + (y - 1)i, כאשר xx ו-yy ממשיים. מצאו את x+yx + y.

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

x+2=5⇒x=3\begin{aligned}x + 2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

החלקים הממשיים שווים

y−1=3⇒y=4\begin{aligned}y - 1 &= 3 \Rightarrow y \\ &= 4\end{aligned}

החלקים המדומים שווים

x+y=7x + y = 7

משוואה אחת בין מספרים מרוכבים היא שתי משוואות: אחת לכל חלק.

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו: −4⋅−25\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-25}.

  1. 10i10i
  2. −10-10
  3. 1010
  4. −10i-10i
Show the answer and the solution

Answer: B −10-10

Worked solution:

−4=2i−25=5i\begin{aligned}\sqrt{-4} &= 2i \\ \quad \sqrt{-25} &= 5i\end{aligned}

קודם מוציאים את ii מכל שורש

2i⋅5i=10i2=−10\begin{aligned}2i \cdot 5i &= 10i^2 \\ &= -10\end{aligned}

(−4)(−25)=100=10\sqrt{(-4)(-25)} = \sqrt{100} = 10 זו הטעות: הכלל ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} לא עובד כששני המספרים שליליים.

Check the answer on elev

Exercise 10

כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

7=7+0i7 = 7 + 0i

החלק המדומה שלו הוא 00

המספרים הממשיים הם המספרים המרוכבים שהחלק המדומה שלהם הוא 00.

Check the answer on elev

Exercise 11

מצאו את הערך הממשי של mm שעבורו המספר z=(m−3)+(m+1)iz = (m - 3) + (m + 1)i הוא מדומה טהור.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

Re(z)=m−3=0\begin{aligned}\mathrm{Re}(z) &= m - 3 \\ &= 0\end{aligned}

מדומה טהור: החלק הממשי הוא 00

m=3⇒z=4i\begin{aligned}m &= 3 \Rightarrow z \\ &= 4i\end{aligned}

בודקים: החלק המדומה 4≠04 \ne 0

מדומה טהור פירושו חלק ממשי 00 וחלק מדומה שונה מ-00. אם גם החלק המדומה היה 00, היה יוצא המספר 00.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade