The derivative of ln

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אתם יודעים ש-(ex)′=ex(e^x)' = e^x. עכשיו נשאל: מהו השיפוע של ln⁡x\ln x בכל נקודה?

נמדוד אותו ישירות על הגרף: משיק בנקודה, ומשולש שבו מתקדמים 11 ימינה. הגובה של המשולש הוא השיפוע.

בטבלה כל שיפוע הוא ההפכי של xx: ב-x=2x = 2 השיפוע 12\frac{1}{2}, וב-x=4x = 4 השיפוע 14\frac{1}{4}.

(ln⁡x)′=1x(x>0)\left(\ln x\right)' = \frac{1}{x} \qquad (x > 0)

הנגזרת של ln⁡x\ln x.

מה השיפוע של ln⁡x\ln x ב-x=10x = 10? והאם יש נקודה שבה השיפוע שלילי?

Show the answer and the solution

ב-x=10x = 10 השיפוע 110=0.1\frac{1}{10} = 0.1. כיוון ש-x>0x > 0 בכל התחום, 1x>0\frac{1}{x} > 0 תמיד: ln⁡x\ln x עולה בכל תחום ההגדרה, ואין לה קיצון.

השיפוע חיובי, אבל קטן ככל ש-xx גדל. לכן הגרף עולה לאט יותר ויותר, ויש לו קעירות כלפי מטה.

ln⁡\ln של ביטוי: כלל השרשרת

(ln⁡f(x))′=f′(x)f(x)\left(\ln f(x)\right)' = \frac{f'(x)}{f(x)}

הנגזרת של הביטוי שבפנים, חלקי הביטוי עצמו.

גזרו את f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)

הביטוי שבפנים הוא x2+1x^2 + 1.

(x2+1)′=2x\left(x^2 + 1\right)' = 2x

גוזרים את הביטוי שבפנים.

f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}

מחלקים בביטוי שבפנים.

(ln⁡(x−2))′=1x−2\left(\ln(x - 2)\right)' = \frac{1}{x - 2}

הנגזרת של x−2x - 2 היא 11.

(ln⁡(ex+1))′=exex+1\left(\ln\left(e^{x} + 1\right)\right)' = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

הנגזרת של ex+1e^x + 1 היא exe^x.

(ln⁡(5x))′=55x=1x\begin{aligned}\left(\ln(5x)\right)' &= \frac{5}{5x} \\ &= \frac{1}{x}\end{aligned}

ה-55 מצטמצם.

למה הנגזרת של ln⁡(5x)\ln(5x) שווה בדיוק לנגזרת של ln⁡x\ln x?

Show the answer and the solution

כי ln⁡(5x)=ln⁡5+ln⁡x\ln(5x) = \ln 5 + \ln x. ln⁡5\ln 5 הוא מספר קבוע, והנגזרת שלו 00. לכן הגרף של ln⁡(5x)\ln(5x) הוא הגרף של ln⁡x\ln x מוזז למעלה, עם אותם שיפועים.

אל תשכחו לגזור את הביטוי שבפנים.

(ln⁡(x2+1))′=1x2+1\left(\ln\left(x^2 + 1\right)\right)' = \frac{1}{x^2 + 1}
(ln⁡(x2+1))′=2xx2+1\left(\ln\left(x^2 + 1\right)\right)' = \frac{2x}{x^2 + 1}

1x\frac{1}{x} היא הנגזרת של ln⁡x\ln x בלבד. כשבפנים יש ביטוי, המונה הוא הנגזרת שלו.

מכפלה ומנה עם ln⁡\ln

גזרו את f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x

זו מכפלה: כלל המכפלה.

f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1xf'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}

הנגזרת של הגורם הראשון כפול השני, ועוד הראשון כפול הנגזרת של השני.

f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1

x⋅1x=1x \cdot \frac{1}{x} = 1.

גזרו את g(x)=ln⁡xxg(x) = \frac{\ln x}{x}

זו מנה: כלל המנה.

g′(x)=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}

נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, חלקי המכנה בריבוע.

g′(x)=1−ln⁡xx2g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}

1x⋅x=1\frac{1}{x} \cdot x = 1.

איפה g′(x)=1−ln⁡xx2g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} מתאפסת?

Show the answer and the solution

המכנה x2x^2 חיובי, ולכן רק המונה קובע: 1−ln⁡x=01 - \ln x = 0, כלומר ln⁡x=1\ln x = 1 ו-x=ex = e. שם יש ל-gg נקודה שבה המשיק אופקי.

משיק לגרף

המשיק ל-y=ln⁡xy = \ln x בנקודה שבה x=ex = e

צריך נקודה ושיפוע.

y(e)=ln⁡e=1\begin{aligned}y(e) &= \ln e \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה: (e,1)(e, 1).

y′(e)=1ey'(e) = \frac{1}{e}

השיפוע.

y−1=1e(x−e)⇒y=xe\begin{aligned}y - 1 &= \frac{1}{e}(x - e) \Rightarrow y \\ &= \frac{x}{e}\end{aligned}

משוואת ישר. המשיק עובר דרך ראשית הצירים.

לפני שגוזרים, כדאי לפשט עם חוקי הלוגריתמים: ln⁡x−1x+1=ln⁡(x−1)−ln⁡(x+1)\ln\frac{x - 1}{x + 1} = \ln(x - 1) - \ln(x + 1) כאשר x>1x > 1. שתי נגזרות פשוטות במקום כלל המנה.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x. חשבו את f′(5)f'(5).

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}

הנגזרת של ln⁡x\ln x.

f′(5)=15=0.2\begin{aligned}f'(5) &= \frac{1}{5} \\ &= 0.2\end{aligned}

מציבים.

0.20.2. הטעות: ln⁡5≈1.609\ln 5 \approx 1.609. מציבים בנגזרת, לא בפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי הנגזרת של f(x)=ln⁡(3x+1)f(x) = \ln(3x + 1)?

  1. 13x+1\frac{1}{3x + 1}
  2. 3ln⁡(3x+1)3\ln(3x + 1)
  3. 33x+1\frac{3}{3x + 1}
  4. 3x\frac{3}{x}
Show the answer and the solution

Answer: C 33x+1\frac{3}{3x + 1}

Worked solution:

(3x+1)′=3(3x + 1)' = 3

נגזרת הביטוי שבפנים.

f′(x)=33x+1f'(x) = \frac{3}{3x + 1}

חלקי הביטוי שבפנים.

33x+1\frac{3}{3x + 1}. התשובה 13x+1\frac{1}{3x + 1} שוכחת את נגזרת הביטוי שבפנים.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=ln⁡(x2+4)f(x) = \ln\left(x^2 + 4\right). חשבו את f′(2)f'(2).

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

f′(x)=2xx2+4f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 4}

כלל השרשרת.

f′(2)=48=0.5\begin{aligned}f'(2) &= \frac{4}{8} \\ &= 0.5\end{aligned}

מציבים.

0.50.5. מי שכותב f′(x)=1x2+4f'(x) = \frac{1}{x^2 + 4} מקבל 0.1250.125: הנגזרת 2x2x של הביטוי שבפנים חסרה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x. חשבו את f′(e)f'(e).

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1

כלל המכפלה.

f′(e)=ln⁡e+1=2\begin{aligned}f'(e) &= \ln e + 1 \\ &= 2\end{aligned}

ln⁡e=1\ln e = 1.

22. הטעות הנפוצה: f′(x)=1⋅1xf'(x) = 1 \cdot \frac{1}{x}, כלומר לגזור כל גורם לבד ולכפול. במכפלה יש שני מחוברים.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה g(x)=ln⁡xxg(x) = \frac{\ln x}{x}. חשבו את g′(1)g'(1).

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

g′(x)=1−ln⁡xx2g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}

כלל המנה.

g′(1)=1−01=1\begin{aligned}g'(1) &= \frac{1 - 0}{1} \\ &= 1\end{aligned}

ln⁡1=0\ln 1 = 0.

11. בכלל המנה הסדר חשוב: נגזרת המונה כפול המכנה פחות המונה כפול נגזרת המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 6

הנגזרת של ln⁡(7x)\ln(7x) היא 1x\frac{1}{x}.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(ln⁡(7x))′=77x=1x\begin{aligned}\left(\ln(7x)\right)' &= \frac{7}{7x} \\ &= \frac{1}{x}\end{aligned}

כלל השרשרת.

ln⁡(7x)=ln⁡7+ln⁡x\ln(7x) = \ln 7 + \ln x

או: חוק המכפלה של הלוגריתמים, ו-ln⁡7\ln 7 קבוע.

נכון. מי שעונה 7x\frac{7}{x} גוזר את המונה ושוכח לחלק ב-77 שבמכנה.

Check the answer on elev

Exercise 7

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • ln⁡(x−4)\ln(x - 4)
  • ln⁡(x2−4)\ln\left(x^2 - 4\right)
  • ln⁡(ex+4)\ln\left(e^{x} + 4\right)
  • xln⁡x−xx\ln x - x
  • 1x−4\frac{1}{x - 4}
  • 2xx2−4\frac{2x}{x^2 - 4}
  • exex+4\frac{e^{x}}{e^{x} + 4}
  • ln⁡x\ln x
Show the answer and the solution

Answer: ln⁡(x−4)\ln(x - 4) — 1x−4\frac{1}{x - 4} · ln⁡(x2−4)\ln\left(x^2 - 4\right) — 2xx2−4\frac{2x}{x^2 - 4} · ln⁡(ex+4)\ln\left(e^{x} + 4\right) — exex+4\frac{e^{x}}{e^{x} + 4} · xln⁡x−xx\ln x - x — ln⁡x\ln x

Worked solution:

(xln⁡x−x)′=ln⁡x+1−1=ln⁡x\begin{aligned}\left(x\ln x - x\right)' &= \ln x + 1 - 1 \\ &= \ln x\end{aligned}

כלל המכפלה, ואז הנגזרת של −x-x.

ב-ln⁡\ln של ביטוי, המונה הוא נגזרת הביטוי. השורה האחרונה מראה ש-xln⁡x−xx\ln x - x היא פונקציה קדומה של ln⁡x\ln x: נשתמש בזה באינטגרלים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו השיפוע של המשיק לגרף של f(x)=ln⁡(2x−3)f(x) = \ln(2x - 3) בנקודה שבה x=2x = 2?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=22x−3f'(x) = \frac{2}{2x - 3}

כלל השרשרת.

f′(2)=21=2\begin{aligned}f'(2) &= \frac{2}{1} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים.

22. השיפוע הוא הערך של הנגזרת בנקודה. f(2)=ln⁡1=0f(2) = \ln 1 = 0 הוא שיעור ה-yy של נקודת ההשקה, לא השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 9

מצאו את משוואת המשיק לגרף של y=ln⁡xy = \ln x בנקודה שבה x=1x = 1. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-yy?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

y(1)=ln⁡1=0\begin{aligned}y(1) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת ההשקה: (1,0)(1, 0).

y′(1)=1y'(1) = 1

השיפוע.

y=x−1y = x - 1

משוואת המשיק. הוא חותך את ציר ה-yy ב-(0,−1)(0, -1).

−1-1. המשיק y=x−1y = x - 1 נמצא מעל הגרף של ln⁡x\ln x בכל נקודה אחרת, ולכן ln⁡x≤x−1\ln x \le x - 1 לכל x>0x > 0.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x−3ln⁡xf(x) = x - 3\ln x. עבור איזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x) = 0?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=1−3xf'(x) = 1 - \frac{3}{x}

גוזרים כל מחובר.

1−3x=0⇒x=3\begin{aligned}1 - \frac{3}{x} &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

x=3>0x = 3 > 0, ולכן בתחום.

x=3x = 3. בדקו תמיד שהפתרון בתחום ההגדרה x>0x > 0: פתרון שלילי היה נפסל.

Check the answer on elev

Exercise 11

מהי הנגזרת של f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2?

  1. 1x2\frac{1}{x^2}
  2. 2ln⁡x2\ln x
  3. 2ln⁡xx\frac{2\ln x}{x}
  4. 2x\frac{2}{x}
Show the answer and the solution

Answer: C 2ln⁡xx\frac{2\ln x}{x}

Worked solution:

(u2)′=2u⋅u′\left(u^2\right)' = 2u \cdot u'

כלל השרשרת עם u=ln⁡xu = \ln x.

f′(x)=2ln⁡x⋅1xf'(x) = 2\ln x \cdot \frac{1}{x}

מציבים.

2ln⁡xx\frac{2\ln x}{x}. אל תבלבלו בין (ln⁡x)2(\ln x)^2 לבין ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln\left(x^2\right) = 2\ln x, שהנגזרת שלה 2x\frac{2}{x}.

Check the answer on elev

Exercise 12

לגרף של y=ln⁡xy = \ln x יש קעירות כלפי מטה בכל תחום ההגדרה שלו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

y′=1xy′′=−1x2\begin{aligned}y' &= \frac{1}{x} \qquad y'' \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{aligned}

גוזרים פעמיים.

−1x2<0-\frac{1}{x^2} < 0

לכל x>0x > 0.

נכון. הנגזרת השנייה שלילית: השיפוע יורד כל הזמן, כמו שראיתם בטבלה של השיפועים.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתונה f(x)=ln⁡x−1x+1f(x) = \ln\frac{x - 1}{x + 1}, כאשר x>1x > 1. חשבו את f′(3)f'(3).

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

f(x)=ln⁡(x−1)−ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x - 1) - \ln(x + 1)

חוק המנה של הלוגריתמים.

f′(x)=1x−1−1x+1f'(x) = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

שתי נגזרות פשוטות.

f′(3)=12−14=0.25\begin{aligned}f'(3) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

מציבים.

0.250.25. פירוק לפני הגזירה חוסך את כלל המנה, וגם את רוב טעויות החשבון.

Check the answer on elev

Exercise 14

סדרו את שלבי הגזירה של f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2\ln x.

  • f′(x)=2xln⁡x+x=x(2ln⁡x+1)f'(x) = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)
  • f′(x)=2xln⁡x+x2⋅1xf'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}
  • u′=2xu' = 2x ו-v′=1xv' = \frac{1}{x}
  • מזהים מכפלה: u=x2u = x^2 ו-v=ln⁡xv = \ln x
Show the answer and the solution

Answer: מזהים מכפלה: u=x2u = x^2 ו-v=ln⁡xv = \ln x · u′=2xu' = 2x ו-v′=1xv' = \frac{1}{x} · f′(x)=2xln⁡x+x2⋅1xf'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} · f′(x)=2xln⁡x+x=x(2ln⁡x+1)f'(x) = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)

Worked solution:

f′(x)=x(2ln⁡x+1)f'(x) = x(2\ln x + 1)

מוציאים גורם משותף, כדי שיהיה קל לבדוק סימן.

השלב האחרון, הוצאת גורם משותף, הוא זה שמכין את בדיקת הסימן של f′f' בחקירה.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונה f(x)=ln⁡(x2−3x)f(x) = \ln\left(x^2 - 3x\right). חשבו את f′(4)f'(4).

Show the answer and the solution

Answer: 1.25

Worked solution:

f′(x)=2x−3x2−3xf'(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 3x}

כלל השרשרת.

f′(4)=54=1.25\begin{aligned}f'(4) &= \frac{5}{4} \\ &= 1.25\end{aligned}

מציבים: 16−12=416 - 12 = 4.

1.251.25. ודאו קודם ש-x=4x = 4 בתחום: 16−12=4>016 - 12 = 4 > 0. ב-x=2x = 2, למשל, הפונקציה לא מוגדרת.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade