The domain of ln f(x) · The ln function and its study · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

$\ln$ מקבלת רק מספרים חיוביים: $\ln 0$ ו- $\ln(-3)$ לא מוגדרים.

לכן ב- $\ln f(x)$ השאלה היא תמיד אחת: עבור אילו $x$ הביטוי שבפנים חיובי?

\ln f(x) \;:\; f(x) > 0

תחום ההגדרה של $\ln f(x)$ : כל ה- $x$ שעבורם $f(x) > 0$ , ושבהם $f$ עצמה מוגדרת.

ביטוי קווי בפנים

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(x - 3)$

דורשים שהביטוי שבפנים יהיה חיובי.

x - 3 > 0

הביטוי שבתוך $\ln$ חיובי.

x > 3

זה כל התחום. הגרף מתחיל ליד הישר $x = 3$ .

מהו תחום ההגדרה של $\ln(5 - x)$ ?

Show the answer and the solution

$5 - x > 0$ , כלומר $x < 5$ . שימו לב: כאן התחום משמאל למספר, כי $x$ מופיע עם סימן מינוס.

ביטוי ריבועי בפנים

כאשר בפנים יש ביטוי ריבועי, פותרים אי-שוויון ריבועי: מוצאים את השורשים ובודקים את הסימן בין השורשים ומחוצה להם.

\ln(x^2 - 4)

הפרבולה $x^2 - 4$ חיובית מחוץ לשורשים $\pm 2$ . התחום: $x < -2$ או $x > 2$ .

\ln(9 - x^2)

הפרבולה $9 - x^2$ חיובית בין השורשים $\pm 3$ . התחום: $-3 < x < 3$ .

\ln(x^2 + 1)

$x^2 + 1 \ge 1 > 0$ לכל $x$ : התחום הוא כל המספרים.

בקו המקווקו

u = 4 - x^2

, ובקו המלא

f(x) = \ln(4 - x^2)

. הגרף של

f

קיים רק איפה ש-

u

מעל ציר ה-

x

: בין

-2

ל-

2

. בשורשים של

u

יש ל-

f

אסימפטוטות אנכיות.

מהו תחום ההגדרה של $\ln\left(x^2\right)$ ?

Show the answer and the solution

$x^2 > 0$ לכל $x$ חוץ מ- $x = 0$ . התחום: $x \ne 0$ .

$\ln\left(x^2\right)$ ו- $2\ln x$ הן לא אותה פונקציה.

\ln\left(x^2\right) = 2\ln x

\ln\left(x^2\right) = 2\ln|x| \;\; (x \ne 0)

ל- $2\ln x$ התחום הוא $x > 0$ בלבד, ול- $\ln\left(x^2\right)$ התחום הוא $x \ne 0$ . החוק $\ln a^n = n\ln a$ דורש $a > 0$ .

שבר בפנים

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\frac{x - 1}{x + 2}$

שבר חיובי כאשר למונה ולמכנה יש אותו סימן. בונים טבלת סימנים.

\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \qquad x + 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

הנקודות שבהן המונה או המכנה מתאפסים מחלקות את הציר לשלושה תחומים.

x < -2 : \; \frac{-}{-} > 0 \qquad -2 < x < 1 : \; \frac{-}{+} < 0 \qquad x > 1 : \; \frac{+}{+} > 0

בודקים את הסימן בכל תחום.

x < -2 \;\text{או}\; x > 1

זה התחום. $x = 1$ לא בתחום ( $\ln 0$ ), וגם $x = -2$ לא (מכנה $0$ ).

האם $x = 0$ שייך לתחום ההגדרה של $\ln\frac{x - 1}{x + 2}$ ?

Show the answer and the solution

לא. $\frac{0 - 1}{0 + 2} = -\frac{1}{2} < 0$ , ו- $\ln$ של מספר שלילי לא מוגדר.

$e^x$ בפנים, ושני תנאים יחד

\ln\left(e^{x} - 1\right) : \; e^{x} > 1 \Rightarrow x > 0

כמו במשוואות מהפרק על $e^x$ : $e^x > 1$ בדיוק כאשר $x > 0$ .

\ln x + \ln(4 - x) : \; 0 < x < 4

סכום של שני $\ln$ : שני הביטויים חיוביים. לוקחים את החיתוך.

\frac{1}{\ln x} : \; x > 0, \; x \ne 1

$\ln$ במכנה: גם $\ln x \ne 0$ , ולכן מוציאים את $x = 1$ .

את תחום ההגדרה כותבים תמיד בסעיף הראשון. כל סעיף אחר (אסימפטוטות, קיצון, סקיצה) נשען עליו: נקודת קיצון מחוץ לתחום נפסלת.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(2x - 6)$ ?

$x > 6$
$x > 3$
$x > \frac{1}{3}$
$x \ge 3$

Show the answer and the solution

Answer: B $x > 3$

Worked solution:

2x - 6 > 0

הביטוי שבפנים חיובי.

x > 3

מחלקים ב- $2$ .

$x > 3$ . התשובה $x \ge 3$ טועה: ב- $x = 3$ מקבלים $\ln 0$ , שלא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(4 - x)$ ?

$x > -4$
$x > 4$
$x < 4$
$x \ne 4$

Show the answer and the solution

Answer: C $x < 4$

Worked solution:

4 - x > 0

הביטוי שבפנים חיובי.

x < 4

מעבירים אגף.

$x < 4$ . מי שעונה $x > 4$ מעביר את $x$ אגף ושוכח שהסימן שלו מינוס.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(x^2 - 9\right)$ ?

$x < -3$ או $x > 3$
$x > 3$
$-3 < x < 3$
$x \ne \pm 3$

Show the answer and the solution

Answer: A $x < -3$ או $x > 3$

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - 9 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

השורשים.

x^2 - 9 > 0 \Rightarrow x < -3 \;\text{או}\; x > 3

פרבולה מחייכת: חיובית מחוץ לשורשים.

$x < -3$ או $x > 3$ . התשובה $x > 3$ שוכחת את הענף השמאלי: גם $x = -4$ נותן $16 - 9 = 7 > 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(16 - x^2\right)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

16 - x^2 > 0 \Rightarrow -4 < x < 4

פרבולה בוכה: חיובית בין השורשים.

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

הקצוות $\pm 4$ לא בתחום.

$7$ . מי שסופר $9$ כולל את $\pm 4$ , אבל שם $16 - x^2 = 0$ , ו- $\ln 0$ לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x) = \ln\frac{x + 1}{x - 3}$ . מהו המספר השלם החיובי הקטן ביותר שנמצא בתחום ההגדרה?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -1 \quad \\ \quad x &= 3\end{aligned}

המונה והמכנה מתאפסים.

\frac{x+1}{x-3} > 0 \Rightarrow x < -1 \;\text{או}\; x > 3

טבלת סימנים: אותו סימן למונה ולמכנה.

x = 4

השלם החיובי הראשון אחרי $3$ .

$4$ . $x = 1$ ו- $x = 2$ נותנים שבר שלילי, ו- $x = 3$ מאפס את המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(e^{x} - e^{2}\right)$ ?

$x > 2$
$x > 0$
כל $x$
$x > e^2$

Show the answer and the solution

Answer: A $x > 2$

Worked solution:

e^{x} - e^{2} > 0 \Rightarrow e^{x} > e^{2}

הביטוי שבפנים חיובי.

x > 2

$e^x$ עולה, ולכן משווים את המעריכים.

$x > 2$ . התשובה $x > e^2$ משווה את $x$ ל- $e^2$ במקום להשוות מעריך למעריך.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה $f(x) = \ln x + \ln(6 - x)$ . כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x > 0 \;\text{וגם}\; 6 - x > 0

שני הביטויים חיוביים יחד.

0 < x < 6 : \; 1, 2, 3, 4, 5

חיתוך של שני התחומים.

$5$ . בסכום של שני $\ln$ לוקחים את החיתוך של התחומים, ולא את האיחוד.

Check the answer on elev

Exercise 8

לפונקציות $f(x) = \ln\left(x^2\right)$ ו- $g(x) = 2\ln x$ יש אותו תחום הגדרה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0

התחום של $f$ .

x > 0

התחום של $g$ .

\begin{aligned}f(-1) &= \ln 1 \\ &= 0 \; \\ \; g(-1) \; \text{לא מוגדרת}\end{aligned}

דוגמה: $x = -1$ בתחום של $f$ בלבד.

לא נכון. החוק $\ln a^2 = 2\ln a$ נכון רק כאשר $a > 0$ . לכן הפונקציות שוות רק כאשר $x > 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \frac{3}{\ln x}$ ?

$x > 0$ ו- $x \ne 1$
$x > 1$
$x > 0$
$x \ne 0$

Show the answer and the solution

Answer: A $x > 0$ ו- $x \ne 1$

Worked solution:

x > 0

התנאי של $\ln$ .

\ln x \ne 0 \Rightarrow x \ne 1

התנאי של המכנה.

$x > 0$ ו- $x \ne 1$ . מי שעונה $x > 0$ שוכח את המכנה: ב- $x = 1$ מקבלים $\frac{3}{0}$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

$\ln(x + 2)$
$\ln(2 - x)$
$\ln\left(x^2 + 2\right)$
$\ln\left(4 - x^2\right)$

$-2 < x < 2$
$x < 2$
$x > -2$
כל $x$

Show the answer and the solution

Answer: $\ln(x + 2)$ — $x > -2$ · $\ln(2 - x)$ — $x < 2$ · $\ln\left(x^2 + 2\right)$ — כל $x$ · $\ln\left(4 - x^2\right)$ — $-2 < x < 2$

Worked solution:

x^2 + 2 \ge 2 > 0

תמיד חיובי.

4 - x^2 > 0 \Rightarrow -2 < x < 2

פרבולה בוכה.

בכל שורה שואלים: מתי הביטוי שבפנים חיובי? הסימן של $x$ (פלוס או מינוס) קובע לאיזה כיוון פונה התחום.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה $f(x) = \ln\frac{3 - x}{x}$ . כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 3 \quad \\ \quad x &= 0\end{aligned}

נקודות האיפוס.

0 < x < 3

רק בתחום הזה למונה ולמכנה יש אותו סימן (שניהם חיוביים).

1, 2

המספרים השלמים.

$2$ . בשבר אי אפשר "לכפול במכנה" בלי לדעת את הסימן שלו. טבלת סימנים חוסכת את הטעות.

Check the answer on elev

Exercise 12

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(e^{x} - 3\right)$ הוא $x > k$ . מצאו את $k$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.099

Worked solution:

e^{x} - 3 > 0 \Rightarrow e^{x} > 3

הביטוי שבפנים חיובי.

x > \ln 3 \approx 1.099

מפעילים $\ln$ על שני האגפים. $\ln$ עולה, ולכן הסימן נשמר.

$k = \ln 3 \approx 1.099$ . כאן $\ln$ משמשת כלי (כמו במשוואות עם $e^x$ ), והגבול של התחום הוא $\ln 3$ , ולא $3$ .

Check the answer on elev

Exercise 13

$x = -5$ שייך לתחום ההגדרה של $f(x) = \ln\frac{x + 1}{x - 3}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{-5 + 1}{-5 - 3} &= \frac{-4}{-8} \\ &= \frac{1}{2} > 0\end{aligned}

מציבים ובודקים את הסימן.

נכון. מונה שלילי ומכנה שלילי נותנים שבר חיובי. אין צורך שכל אחד מהם יהיה חיובי בנפרד.

Check the answer on elev

Exercise 14

סדרו את השלבים למציאת תחום ההגדרה של $\ln\frac{x - 2}{x + 1}$ .

בודקים את סימן השבר בכל אחד משלושת התחומים
דורשים $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$
כותבים את התחום: $x < -1$ או $x > 2$
מוצאים את נקודות האיפוס: $x = 2$ ו- $x = -1$

Show the answer and the solution

Answer: דורשים $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$ · מוצאים את נקודות האיפוס: $x = 2$ ו- $x = -1$ · בודקים את סימן השבר בכל אחד משלושת התחומים · כותבים את התחום: $x < -1$ או $x > 2$

Worked solution:

\frac{x-2}{x+1} > 0

התנאי.

x < -1 \;\text{או}\; x > 2

התוצאה של טבלת הסימנים.

קודם התנאי, אחר כך הנקודות, אחר כך הסימנים. מי שקופץ לכתוב $x > 2$ בלי טבלה מאבד את התחום השמאלי.

Check the answer on elev

ביטוי קווי בפנים

ביטוי ריבועי בפנים

שבר בפנים

exe^xex בפנים, ושני תנאים יחד

Exercises

Keep practising on elev

$e^x$ בפנים, ושני תנאים יחד