ln, the inverse of eˣ · The ln function and its study · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפרק על $e^x$ פתרתם משוואות כמו $e^x = 5$ , וכתבתם $x = \ln 5$ . שם $\ln$ היה כלי לפתרון.

כאן $\ln x$ הופכת לפונקציה בפני עצמה, עם גרף, נגזרת ואסימפטוטה. נתחיל מהקשר שלה ל- $e^x$ .

מה $\ln$ עושה

$\ln b$ הוא המעריך: באיזו חזקה צריך להעלות את $e$ כדי לקבל $b$ ?

2 \;\xrightarrow{\;e^{x}\;}\; e^{2} \approx 7.39

$e^x$ לוקחת מעריך ונותנת מספר.

7.39 \;\xrightarrow{\;\ln x\;}\; 2

$\ln$ לוקחת את המספר ומחזירה את המעריך.

כל פונקציה מבטלת את מה שהשנייה עשתה. לכן אומרים ש- $\ln x$ היא הפונקציה ההפוכה של $e^x$ .

בלי מחשבון: כמה זה $\ln e^{3}$ ? וכמה זה $\ln 1$ ?

Show the answer and the solution

$\ln e^3 = 3$ , כי המעריך שמביא את $e$ ל- $e^3$ הוא $3$ . ו- $\ln 1 = 0$ , כי $e^0 = 1$ .

הגרף: שיקוף בישר $y = x$

אם $(a, b)$ על הגרף של $e^x$ , אז $e^a = b$ . לכן $\ln b = a$ , והנקודה $(b, a)$ על הגרף של $\ln x$ .

החלפת $x$ ו- $y$ היא שיקוף בישר $y = x$ . כך כל תכונה של $e^x$ עוברת ל- $\ln x$ .

ל- $e^x$ יש אסימפטוטה אופקית $y = 0$ (משמאל). למה היא הופכת בשיקוף?

Show the answer and the solution

בשיקוף, ישר אופקי $y = 0$ הופך לישר אנכי $x = 0$ . לכן ל- $\ln x$ יש אסימפטוטה אנכית $x = 0$ : הגרף יורד ל- $-\infty$ כאשר $x$ מתקרב ל- $0$ מימין.

מה עובר מ- $e^x$ ל- $\ln x$

y > 0 \;\longrightarrow\; x > 0

הערכים של $e^x$ (כל המספרים החיוביים) הופכים לתחום ההגדרה של $\ln x$ .

(0, 1) \;\longrightarrow\; (1, 0)

$\ln x$ חותכת את ציר ה- $x$ ב- $x = 1$ .

(1, e) \;\longrightarrow\; (e, 1)

$\ln e = 1$ .

\begin{aligned}y &= 0 \;\longrightarrow\; x \\ &= 0\end{aligned}

האסימפטוטה האופקית הופכת לאנכית.

שתי הפונקציות עולות. אבל $e^x$ עולה מהר יותר ויותר, ו- $\ln x$ עולה לאט יותר ויותר.

שתי זהויות

\begin{aligned}e^{\ln x} &= x \;\; (x > 0) \qquad \ln\left(e^{x}\right) \\ &= x\end{aligned}

כל פונקציה מבטלת את השנייה. הזהות השנייה נכונה לכל $x$ .

הזהות $e^{\ln x} = x$ נכונה רק כאשר $x > 0$ .

e^{\ln(-2)} = -2

e^{\ln 2} = 2 \quad (2 > 0)

אין מעריך שמביא את $e$ למספר שלילי, ולכן $\ln$ של מספר שלילי לא מוגדר. גם $\ln 0$ לא מוגדר.

חוקי הלוגריתמים מהפרק על אי-שוויונים לוגריתמיים נכונים גם ל- $\ln$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ , ו- $\ln a^n = n\ln a$ , כאשר $a, b > 0$ .

Exercises

Exercise 1

חשבו בלי מחשבון: $\ln e^{4}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\ln e^{4} = 4

המעריך שמביא את $e$ ל- $e^4$ הוא $4$ .

$4$ . אין כאן מה לחשב: $\ln$ מבטלת את החזקה של $e$ ומחזירה את המעריך.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו בלי מחשבון: $e^{\ln 7}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

e^{\ln 7} = 7

$\ln 7$ הוא המעריך שמביא את $e$ ל- $7$ . מעלים את $e$ בדיוק בחזקה הזאת.

$7$ . מי שמחשב קודם $\ln 7 \approx 1.946$ ואחר כך $e^{1.946}$ מגיע לאותה תוצאה, אבל עם שגיאת עיגול.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו $\ln 1$ ?

$e$
$0$
לא מוגדר
$1$

Show the answer and the solution

Answer: B $0$

Worked solution:

\begin{aligned}e^{0} &= 1 \Rightarrow \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

המעריך שמביא את $e$ ל- $1$ הוא $0$ .

$\ln 1 = 0$ . הטעות הנפוצה היא $1$ : מבלבלים עם $\ln e = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו: $\ln \frac{1}{e^{2}}$ .

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

\frac{1}{e^{2}} = e^{-2}

כותבים את השבר כחזקה של $e$ .

\ln e^{-2} = -2

המעריך הוא $-2$ .

$-2$ . $\ln$ של מספר בין $0$ ל- $1$ הוא שלילי: הגרף של $\ln x$ מתחת לציר ה- $x$ כאשר $0 < x < 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הנקודה $(3, e^{3})$ נמצאת על הגרף של $y = e^x$ . איזו נקודה נמצאת בוודאות על הגרף של $y = \ln x$ ?

$(3, e^{-3})$
$(-3, e^{3})$
$(e^{-3}, 3)$
$(e^{3}, 3)$

Show the answer and the solution

Answer: D $(e^{3}, 3)$

Worked solution:

\ln\left(e^{3}\right) = 3

מחליפים בין $x$ ל- $y$ : הנקודה $(e^3, 3)$ .

$(e^3, 3)$ . השיקוף בישר $y = x$ מחליף בין השיעורים. הוא לא הופך סימן ולא הופך מספר להפכי שלו.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו תחום ההגדרה של $y = \ln x$ ?

$x > 0$
כל $x$
$x > 1$
$x \ge 0$

Show the answer and the solution

Answer: A $x > 0$

Worked solution:

e^{x} > 0

הערכים של $e^x$ הם כל המספרים החיוביים, ורק הם.

y = \ln x : \; x > 0

בשיקוף, הערכים האלה הופכים לתחום ההגדרה של $\ln x$ .

$x > 0$ . גם $x = 0$ לא בתחום: אין מעריך $c$ שעבורו $e^c = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את המשוואה $\ln x = 2$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 7.389

Worked solution:

\begin{aligned}\ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^{2}\end{aligned}

מעלים את $e$ בחזקת שני האגפים: $e^{\ln x} = x$ .

e^{2} \approx 7.389

מחשבון.

$x = e^2 \approx 7.389$ . הטעות הנפוצה: $x = 2e$ . $\ln$ היא פונקציה, לא מספר שכופלים או מחלקים בו.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו את המשוואה $\ln(x - 1) = 0$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}\ln(x-1) &= 0 \Rightarrow x - 1 \\ &= e^{0} \\ &= 1\end{aligned}

$\ln$ מתאפסת רק ב- $1$ .

x = 2

בדיקה: $x - 1 = 1 > 0$ , ולכן הפתרון בתחום.

$x = 2$ . מי שכותב $x - 1 = 0$ שוכח ש- $\ln$ מתאפסת ב- $1$ , לא ב- $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרפים של $y = e^x$ ושל $y = \ln x$ חותכים זה את זה בנקודה על הישר $y = x$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

e^{x} > x

לכל $x$ : הגרף של $e^x$ תמיד מעל הישר $y = x$ .

\ln x < x \;\; (x > 0)

ובשיקוף, הגרף של $\ln x$ תמיד מתחת לישר.

לא נכון. אם שני הגרפים נפגשו, הם היו נפגשים על הישר $y = x$ , כי השיקוף שומר רק את הנקודות שעליו. אבל $e^x$ לא מגיעה לישר הזה: היא תמיד מעליו. לכן לשני הגרפים אין נקודה משותפת.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל ביטוי את ערכו.

$\ln e$
$\ln 1$
$\ln \sqrt{e}$
$e^{\ln 5}$

$\frac{1}{2}$
$0$
$1$
$5$

Show the answer and the solution

Answer: $\ln e$ — $1$ · $\ln 1$ — $0$ · $\ln \sqrt{e}$ — $\frac{1}{2}$ · $e^{\ln 5}$ — $5$

Worked solution:

\begin{aligned}\ln\sqrt{e} &= \ln e^{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שורש הוא חזקה של $\frac{1}{2}$ .

e^{\ln 5} = 5

$e$ ו- $\ln$ מבטלות זו את זו.

בכל ביטוי שואלים: מה המעריך? $\ln\sqrt{e}$ מטעה, כי השורש מסתיר חזקה של $\frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 11

השוויון $\ln\left(e^{x}\right) = x$ נכון לכל $x$ , גם כאשר $x$ שלילי.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

e^{x} > 0

לכל $x$ , ולכן $\ln\left(e^x\right)$ מוגדר.

\ln\left(e^{x}\right) = x

המעריך שמביא את $e$ ל- $e^x$ הוא $x$ .

נכון. ההגבלה $x > 0$ שייכת לזהות השנייה, $e^{\ln x} = x$ : שם $x$ נמצא בתוך $\ln$ .

Check the answer on elev

Exercise 12

נתון $\ln 2 \approx 0.693$ ו- $\ln 3 \approx 1.099$ . חשבו את $\ln 12$ בעזרת חוקי הלוגריתמים בלבד.

Show the answer and the solution

Answer: 2.485

Worked solution:

12 = 2^{2} \cdot 3

מפרקים לגורמים.

\ln 12 = 2\ln 2 + \ln 3

חוק המכפלה וחוק החזקה.

2 \cdot 0.693 + 1.099 = 2.485

מציבים.

$\ln 12 \approx 2.485$ . הטעות: $\ln 12 = \ln 2 \cdot \ln 6$ . $\ln$ של מכפלה הוא סכום, לא מכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 13

סדרו מהקטן לגדול.

$\ln \frac{1}{2}$
$\ln 1$
$\ln 2$
$\ln 5$
$\ln e$

Show the answer and the solution

Answer: $\ln \frac{1}{2}$ · $\ln 1$ · $\ln 2$ · $\ln e$ · $\ln 5$

Worked solution:

\tfrac{1}{2} < 1 < 2 < e < 5

$\ln x$ עולה, ולכן מספיק לסדר את המספרים שבתוך $\ln$ .

הסדר של הערכים הוא הסדר של המספרים שבפנים, כי $\ln x$ עולה. אין צורך במחשבון. $\ln\frac{1}{2}$ שלילי, ולכן הוא ראשון.

Check the answer on elev

Exercise 14

עבור איזה $x$ מתקיים $\ln x = -1$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.368

Worked solution:

\begin{aligned}x &= e^{-1} \\ &= \frac{1}{e}\end{aligned}

מעלים את $e$ בחזקת שני האגפים.

\frac{1}{e} \approx 0.368

מחשבון.

$x = \frac{1}{e} \approx 0.368$ . ערך שלילי של $\ln$ לא אומר ש- $x$ שלילי: $x$ חיובי וקטן מ- $1$ .

Check the answer on elev

מה ln⁡\lnln עושה

הגרף: שיקוף בישר y=xy = xy=x

מה עובר מ-exe^xex ל-ln⁡x\ln xlnx

שתי זהויות

Exercises

Keep practising on elev

מה $\ln$ עושה

הגרף: שיקוף בישר $y = x$

מה עובר מ- $e^x$ ל- $\ln x$