Set 3: substitution and base x

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים ברמת הספר: ריבוע של לוגריתם (הצבה t=log⁡axt = \log_a x), ובסיס xx.

Exercises

Exercise 1

פתרו את אי-השוויון (log⁡2x)2<4(\log_2 x)^2 < 4, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

Show the answer and the solution

Answer: 0.25 <x<< x < 4

Worked solution:

t=log⁡2x⇒t2<4t = \log_2 x \Rightarrow t^2 < 4
−2<t<2-2 < t < 2
2−2<x<222^{-2} < x < 2^2

בסיס גדול מ-11

14<x<4\tfrac14 < x < 4

−2<t<2-2 < t < 2 הוא פתרון ב-tt. התשובה ב-xx.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את אי-השוויון (log⁡3x)2≥1(\log_3 x)^2 \geq 1, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x≤< x \leq ____

או x≥x \geq ____

Show the answer and the solution

Answer: 0 <x≤< x \leq 0.3333333333333333

או x≥x \geq 3

Worked solution:

t2≥1⇒t≤−1 או t≥1t^2 \geq 1 \Rightarrow t \leq -1 \ \text{או} \ t \geq 1
0<x≤13 או x≥30 < x \leq \tfrac13 \ \text{או} \ x \geq 3

הגבול 00 בא מהתחום: t≤−1t \leq -1 נותן x≤13x \leq \frac13, אבל רק ל-xx חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה מספרים שלמים מקיימים (log⁡2x)2≤3log⁡2x(\log_2 x)^2 \leq 3\log_2 x?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

t2−3t≤0⇒0≤t≤3t^2 - 3t \leq 0 \Rightarrow 0 \leq t \leq 3

לא מחלקים ב-tt

1≤x≤81 \leq x \leq 8
x∈{1,…,8}x \in \{1, \ldots, 8\}

מי שחילק ב-tt קיבל t≤3t \leq 3, ואיבד את התנאי t≥0t \geq 0: אז גם x=12x = \frac12 נראה כפתרון.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את אי-השוויון (log⁡5x)2−log⁡5x−6>0(\log_5 x)^2 - \log_5 x - 6 > 0, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

או x>x > ____

Show the answer and the solution

Answer: 0 <x<< x < 0.04

או x>x > 125

Worked solution:

(t−3)(t+2)>0⇒t<−2 או t>3(t - 3)(t + 2) > 0 \Rightarrow t < -2 \ \text{או} \ t > 3
0<x<5−2 או x>530 < x < 5^{-2} \ \text{או} \ x > 5^3
0<x<125 או x>1250 < x < \tfrac{1}{25} \ \text{או} \ x > 125

5−2=125=0.045^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04, ולא −25-25.

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו את אי-השוויון (log⁡2x)2+2log⁡2x−3<0(\log_2 x)^2 + 2\log_2 x - 3 < 0, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

Show the answer and the solution

Answer: 0.125 <x<< x < 2

Worked solution:

(t+3)(t−1)<0⇒−3<t<1(t + 3)(t - 1) < 0 \Rightarrow -3 < t < 1
2−3<x<212^{-3} < x < 2^1
18<x<2\tfrac18 < x < 2

בין השורשים, כי הסימן הוא <<.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את אי-השוויון 2(log⁡9x)2−log⁡9x−1>02(\log_9 x)^2 - \log_9 x - 1 > 0, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

או x>x > ____

Show the answer and the solution

Answer: 0 <x<< x < 0.3333333333333333

או x>x > 9

Worked solution:

(2t+1)(t−1)>0⇒t<−12 או t>1(2t + 1)(t - 1) > 0 \Rightarrow t < -\tfrac12 \ \text{או} \ t > 1
0<x<9−12 או x>90 < x < 9^{-\frac12} \ \text{או} \ x > 9
9−12=19=13\begin{aligned}9^{-\frac12} &= \tfrac{1}{\sqrt9} \\ &= \tfrac13\end{aligned}

מעריך −12-\frac12: שורש, ואז הפוך. 9−12=139^{-\frac12} = \frac13.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את אי-השוויון (log⁡3x)2−6log⁡3x+9>0(\log_3 x)^2 - 6\log_3 x + 9 > 0, והשלימו את הפתרון.

x>x > ____, ו-x≠x \neq ____

Show the answer and the solution

Answer: x>x > 0, ו-x≠x \neq 27

Worked solution:

(t−3)2>0(t - 3)^2 > 0

ריבוע מושלם

t≠3⇒x≠27t \neq 3 \Rightarrow x \neq 27
x>0 , x≠27x > 0 \ , \ x \neq 27

ריבוע חיובי בכל מקום חוץ מהאפס שלו. ואל תשכחו את התחום x>0x > 0.

Check the answer on elev

Exercise 8

לאי-השוויון 9(log⁡13x)2+6log⁡13x+1≤09(\log_{\frac13} x)^2 + 6\log_{\frac13} x + 1 \leq 0 יש פתרון אחד בלבד. מצאו אותו, ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.442

Worked solution:

(3t+1)2≤0(3t + 1)^2 \leq 0

ריבוע מושלם

3t+1=0⇒t=−13\begin{aligned}3t + 1 &= 0 \Rightarrow t \\ &= -\tfrac13\end{aligned}

ריבוע אינו שלילי: רק שוויון

x=(13)−13=33≈1.442\begin{aligned}x &= \left(\tfrac13\right)^{-\frac13} \\ &= \sqrt[3]{3} \approx 1.442\end{aligned}

ריבוע לא יכול להיות שלילי, ולכן ≤0\leq 0 משאיר רק את האפס שלו.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו את אי-השוויון log⁡2x−2log⁡x2<1\log_2 x - 2\log_x 2 < 1, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

או ____ <x<< x < ____

Show the answer and the solution

Answer: 0 <x<< x < 0.5

או 1 <x<< x < 4

Worked solution:

x>0 , x≠1x > 0 \ , \ x \neq 1

תחום: xx הוא גם בסיס

t−2t<1⇒(t−2)(t+1)t<0t - \tfrac2t < 1 \Rightarrow \frac{(t - 2)(t + 1)}{t} < 0

log⁡x2=1t\log_x 2 = \frac1t; לא כופלים ב-tt

t<−1 או 0<t<2t < -1 \ \text{או} \ 0 < t < 2
0<x<12 או 1<x<40 < x < \tfrac12 \ \text{או} \ 1 < x < 4

הנקודה t=0t = 0 (כלומר x=1x = 1) מחלקת את הפתרון לשניים. מי שכפל ב-tt איבד את אחד החלקים.

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡93x+log⁡x81<3.5\log_9 3x + \log_x 81 < 3.5?

Show the answer and the solution

Answer: 71

Worked solution:

t=log⁡9x  log⁡93x=12+t  log⁡x81=2t\begin{aligned}t &= \log_9 x \ \\ \ \log_9 3x &= \tfrac12 + t \ \\ \ \log_x 81 &= \tfrac2t\end{aligned}

log⁡93=12\log_9 3 = \frac12, log⁡981=2\log_9 81 = 2

t+2t−3<0⇒(t−1)(t−2)t<0t + \tfrac2t - 3 < 0 \Rightarrow \frac{(t - 1)(t - 2)}{t} < 0
t<0 או 1<t<2t < 0 \ \text{או} \ 1 < t < 2
0<x<1 או 9<x<810 < x < 1 \ \text{או} \ 9 < x < 81
x∈{10,…,80}x \in \{10, \ldots, 80\}

80−10+1=7180 - 10 + 1 = 71

99 ו-8181 לא נספרים: הסימן חזק. והקטע 0<x<10 < x < 1 ריק משלמים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade