Set 2: quadratics and quotients · Logarithmic inequalities · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים ברמת הספר: ביטוי ריבועי בתוך הלוגריתם, השוואה שנותנת אי-שוויון ריבועי, ולוגריתם של מנה.

Exercises

Exercise 1

פתרו את אי-השוויון $\log_2(x^2 + 7) > 4$ , והשלימו את הפתרון.

$x <$ ____ או $x >$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x <$ -3 או $x >$ 3

Worked solution:

x^2 + 7 > 0

תמיד: אין תנאי תחום

x^2 + 7 > 16 \Rightarrow x^2 > 9

$4 = \log_2 16$

x < -3 \ \text{או} \ x > 3

$x^2 > 9$ נותן שני חלקים. מי שכתב רק $x > 3$ איבד את המספרים השליליים.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את אי-השוויון $\log_4 x^2 < 1$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

ו- $x \neq$ ____

Show the answer and the solution

Answer: -2 $< x <$ 2

ו- $x \neq$ 0

Worked solution:

x \neq 0

תחום: $x^2 > 0$

x^2 < 4 \Rightarrow -2 < x < 2

$1 = \log_4 4$

-2 < x < 2 \ , \ x \neq 0

הנקודה $x = 0$ יוצאת מהקטע: $\log_4 0$ לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו את אי-השוויון $\log_3(x^2 - 2x) < 1$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

או ____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: -1 $< x <$ 0

או 2 $< x <$ 3

Worked solution:

x(x - 2) > 0 \Rightarrow x < 0 \ \text{או} \ x > 2

תחום

x^2 - 2x < 3 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) < 0

-1 < x < 3

-1 < x < 0 \ \text{או} \ 2 < x < 3

חותכים

התחום מוציא את האמצע $0 \leq x \leq 2$ מתוך הקטע $-1 < x < 3$ . נשארים שני קטעים.

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה מספרים שלמים מקיימים $\log_3(x^2 - 6x) \leq 3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x < 0 \ \text{או} \ x > 6

תחום: $x(x - 6) > 0$

x^2 - 6x \leq 27 \Rightarrow -3 \leq x \leq 9

$3 = \log_3 27$

-3 \leq x < 0 \ \text{או} \ 6 < x \leq 9

x \in \{-3, -2, -1, 7, 8, 9\}

$0$ ו- $6$ לא נספרים: שם $x^2 - 6x = 0$ . בלי התחום הייתם סופרים $13$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו את אי-השוויון $\log(x^2 + 3) > \log 4x$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

או $x >$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 0 $< x <$ 1

או $x >$ 3

Worked solution:

x > 0

תחום: $4x > 0$

x^2 + 3 > 4x \Rightarrow (x - 1)(x - 3) > 0

בסיס $10$

x < 1 \ \text{או} \ x > 3

0 < x < 1 \ \text{או} \ x > 3

חותכים

החלק $x \leq 0$ נופל: שם $\log 4x$ לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את אי-השוויון $\log_7(x^2 + 2) > \log_7(x + 8)$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

או $x >$ ____

Show the answer and the solution

Answer: -8 $< x <$ -2

או $x >$ 3

Worked solution:

x > -8

תחום

x^2 + 2 > x + 8 \Rightarrow (x - 3)(x + 2) > 0

x < -2 \ \text{או} \ x > 3

-8 < x < -2 \ \text{או} \ x > 3

חותכים

בדיקה: $x = -9$ נותן $\log_7(-1)$ , ולכן הוא לא בפתרון.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את אי-השוויון $\log_{0.5}(x^2 + 3) > \log_{0.5} 4x$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 1 $< x <$ 3

Worked solution:

x > 0

תחום

x^2 + 3 < 4x

בסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך

(x - 1)(x - 3) < 0 \Rightarrow 1 < x < 3

אותם ביטויים כמו בתרגיל עם $\log$ , ובסיס אחר: התשובה היא ההפך של מה שיצא שם, בתוך התחום.

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה מספרים שלמים מקיימים $\log(x^2 - 2x) \leq \log(x + 4)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x < 0 \ \text{או} \ x > 2

תחום, ו- $x > -4$

x^2 - 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq 4

-1 \leq x < 0 \ \text{או} \ 2 < x \leq 4

x \in \{-1, 3, 4\}

$0$ , $1$ ו- $2$ מקיימים את ההשוואה, אבל לא את התחום.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו את אי-השוויון $\log_4 \frac{x}{x + 3} > -\frac12$ , והשלימו את הפתרון.

$x <$ ____ או $x >$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x <$ -3 או $x >$ 3

Worked solution:

\frac{x}{x + 3} > 0 \Rightarrow x < -3 \ \text{או} \ x > 0

תחום

-\tfrac12 = \log_4 \tfrac12

$4^{-\frac12} = \frac12$

\frac{x}{x + 3} > \frac12 \Rightarrow \frac{x - 3}{2(x + 3)} > 0

מעבירים אגף, לא כופלים

x < -3 \ \text{או} \ x > 3

כבר בתוך התחום

מי שכפל ב- $x + 3$ קיבל רק $x > 3$ , ואיבד את $x < -3$ , שבו $x + 3$ שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו את אי-השוויון $\log_3 \frac{x - 1}{x + 2} < -1$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 1 $< x <$ 2.5

Worked solution:

x < -2 \ \text{או} \ x > 1

תחום: מנה חיובית

\frac{x - 1}{x + 2} < \frac13

$-1 = \log_3 \frac13$

\frac{2x - 5}{3(x + 2)} < 0 \Rightarrow -2 < x < 2.5

מעבירים אגף

1 < x < 2.5

חותכים

התשובה היא חיתוך של שני דברים שונים: התחום של המנה, והסימן של השבר החדש.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev