Set 1: a number, two logarithms · Logarithmic inequalities · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים ברמת הספר: לוגריתם מול מספר, ושני לוגריתמים באותו בסיס. כותבים את הפתרון המלא, ומשלימים את הגבולות.

Exercises

Exercise 1

פתרו את אי-השוויון $\log_5 x < 2$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 0 $< x <$ 25

Worked solution:

x > 0

תחום

2 = \log_5 25 \Rightarrow x < 25

הבסיס $5$ גדול מ- $1$ : הסימן נשאר

0 < x < 25

חותכים

הגבול $0$ בא מהתחום, ולא מהחישוב. בלי התחום, גם $x = -1$ נראה כפתרון.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את אי-השוויון $\log_2 x > 4$ , והשלימו את הפתרון.

$x >$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x >$ 16

Worked solution:

4 = \log_2 16

$2^4 = 16$

x > 16

בסיס גדול מ- $1$

התחום $x > 0$ נבלע בפתרון: כל $x > 16$ כבר חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו את אי-השוויון $\log_{\frac12} x > -3$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 0 $< x <$ 8

Worked solution:

x > 0

תחום

-3 = \log_{\frac12} 8

$\left(\frac12\right)^{-3} = 2^3 = 8$

x < 8

בסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך

0 < x < 8

מי ששכח להפוך את הסימן כתב $x > 8$ . בדיקה: $\log_{\frac12} 16 = -4$ , וזה לא גדול מ- $-3$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את אי-השוויון $\log_{\frac15} x < -2$ , והשלימו את הפתרון.

$x >$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x >$ 25

Worked solution:

-2 = \log_{\frac15} 25

$\left(\frac15\right)^{-2} = 25$

x > 25

הסימן מתהפך

מעריך שלילי הופך את השבר: $\left(\frac15\right)^{-2} = 5^2$ , ולא $\frac{1}{25}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו את אי-השוויון $\log_3(x - 4) < 0$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 4 $< x <$ 5

Worked solution:

x > 4

תחום

0 = \log_3 1 \Rightarrow x - 4 < 1

x < 5

4 < x < 5

את $0$ כותבים כ- $\log_3 1$ . התשובה היא קטע באורך $1$ , בין התחום לבין $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את אי-השוויון $\log_{\frac13}(7 - x) < 0$ , והשלימו את הפתרון.

$x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x <$ 6

Worked solution:

7 - x > 0 \Rightarrow x < 7

תחום

7 - x > 1

$0 = \log_{\frac13} 1$ , והסימן מתהפך

x < 6

כבר בתוך $x < 7$

שני היפוכים כאן: הבסיס קטן מ- $1$ , ו- $-x$ מתהפך כשמחלקים ב- $-1$ . בדיקה: $x = 6.5$ נותן $\log_{\frac13} 0.5 > 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את אי-השוויון $\log_{0.5}(3x - 1) > -2$ , והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 0.3333333333333333 $< x <$ 1.6666666666666667

Worked solution:

3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \tfrac13

תחום

-2 = \log_{0.5} 4

$0.5^{-2} = 4$

3x - 1 < 4 \Rightarrow x < \tfrac53

הסימן מתהפך

\tfrac13 < x < \tfrac53

הגבול השמאלי בא מהתחום, הימני מההשוואה.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו את אי-השוויון $\log_{\frac14}(5 - x) \geq \frac12$ , והשלימו את הפתרון.

____ $\leq x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 4.5 $\leq x <$ 5

Worked solution:

x < 5

תחום

\tfrac12 = \log_{\frac14} \tfrac12

$\left(\frac14\right)^{\frac12} = \sqrt{\frac14} = \frac12$

5 - x \leq \tfrac12 \Rightarrow x \geq 4.5

הסימן מתהפך

4.5 \leq x < 5

מעריך $\frac12$ הוא שורש ריבועי. ו- $x = 5$ לא נכלל: שם $5 - x = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו את אי-השוויון $\log_2(x - 1) < \log_2(9 - x)$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 1 $< x <$ 5

Worked solution:

1 < x < 9

תחום: שני התנאים

x - 1 < 9 - x \Rightarrow x < 5

1 < x < 5

עם שני לוגריתמים, התחום הוא קטע. מי שבדק רק $x > 1$ קיבל את אותה תשובה כאן במקרה, אבל לא תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו את אי-השוויון $\log_{\frac12}(2x - 1) \geq \log_{\frac12}(x + 2)$ , והשלימו את הפתרון.

____ $< x \leq$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 0.5 $< x \leq$ 3

Worked solution:

x > \tfrac12

תחום: $x > \frac12$ וגם $x > -2$

2x - 1 \leq x + 2

הסימן מתהפך

x \leq 3

\tfrac12 < x \leq 3

$x = 3$ נכלל: שני הלוגריתמים שווים, והסימן $\geq$ מכיל את השוויון.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev