Each type, step by step · Logarithmic inequalities · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

איך מזהים את הסוג

לפני שפותרים, שואלים: מה עומד מול הלוגריתם? התשובה בוחרת את הדרך.

\log_a f(x) > c

1. מול מספר: כותבים $c = \log_a(a^c)$

\log_a f(x) > \log_a g(x)

2. מול לוגריתם: שני תנאי תחום, ומשווים

\log_a f + \log_a g > c

3. סכום: תחום קודם, ואז מאחדים

\log_a \frac{f}{g} > c

4. מנה: לא כופלים במכנה

(\log_a x)^2 + \ldots

5. ריבוע: מציבים $t = \log_a x$

\log_a x + \log_x a

6. בסיס $x$ : $\log_x a = \frac{1}{t}$

איזה סוג הוא $\log_9 x^2 < 1$ ?

Show the answer and the solution

סוג 1, מול מספר. $1 = \log_9 9$ , ולכן $0 < x^2 < 9$ : $-3 < x < 3$ ו- $x \neq 0$ .

סוג 1: כשהמספר הוא שבר

Interactive activity

\log_{\frac{1}{8}}(3 - x) \geq \tfrac{1}{3}

תחום

מה התחום?

x < 3

x > 3

Show the answer and the solution

$3 - x > 0$ אומר $x < 3$ . למשל $x = 4$ נותן $3 - 4 = -1$ .

$3 - x$ חיובי רק משמאל ל- $3$ .

3 - x > 0 \Rightarrow x < 3

מספר כלוגריתם

את $\frac13$ כותבים כלוגריתם בבסיס $\frac18$ . איזה?

\tfrac13 = \log_{\frac18} \tfrac12

\tfrac13 = \log_{\frac18} \tfrac{1}{24}

Show the answer and the solution

מעריך $\frac13$ הוא שורש שלישי, ולא חלוקה ב- $3$ : $\sqrt[3]{\frac18} = \frac12$ .

כי $\left(\frac18\right)^{\frac13} = \sqrt[3]{\frac18} = \frac12$ .

הבסיס מחליט

הבסיס $\frac18$ קטן מ- $1$ . מה כותבים?

3 - x \leq \tfrac12

3 - x \geq \tfrac12

Show the answer and the solution

הבסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך.

כלומר $x \geq 2.5$ .

3 - x \leq \tfrac12 \Rightarrow x \geq 2.5

חותכים

מה החלק המשותף?

2.5 \leq x < 3

x \geq 2.5

Show the answer and the solution

בדקו את $x = 4$ : $3 - 4 < 0$ , ואין לוגריתם.

קטע קצר, סגור משמאל ופתוח מימין.

גם מעריך שבר עובד באותה דרך. רק צריך לחשב את החזקה.

Do the activity on elev

סוג 4: לוגריתם של מנה

במנה, התחום הוא מנה חיובית: מונה ומכנה באותו סימן.

Interactive activity

\log_2 \frac{x - 2}{x + 1} < -1

תחום

המנה צריכה להיות חיובית. מתי?

x < -1 \ \text{או} \ x > 2

x > 2

Show the answer and the solution

גם $x = -3$ מתאים: $\frac{-5}{-2} > 0$ . מנה חיובית כשהמונה והמכנה באותו סימן.

-1 < x < 2

Show the answer and the solution

שם המנה שלילית: למשל $x = 0$ נותן $\frac{-2}{1}$ .

מונה ומכנה באותו סימן.

\frac{x - 2}{x + 1} > 0 \Rightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 2

הבסיס מחליט

$-1 = \log_2 \frac12$ , והבסיס גדול מ- $1$ . מה כותבים?

\frac{x - 2}{x + 1} < \frac12

\frac{x - 2}{x + 1} < -2

Show the answer and the solution

$-1$ הוא $\log_2 \frac12$ , כי $2^{-1} = \frac12$ .

\frac{x - 2}{x + 1} > \frac12

Show the answer and the solution

הבסיס $2$ גדול מ- $1$ : הסימן נשאר.

עכשיו יש אי-שוויון של שבר.

לא כופלים במכנה

איך ממשיכים?

\frac{x - 5}{2(x + 1)} < 0

2(x - 2) < x + 1

Show the answer and the solution

אסור לכפול ב- $x + 1$ : אולי הוא שלילי, ואז הסימן היה מתהפך. מעבירים אגף ומחברים לשבר אחד.

שבר שלילי: מונה ומכנה בסימנים הפוכים.

\frac{x - 2}{x + 1} - \frac12 = \frac{x - 5}{2(x + 1)} < 0 \Rightarrow -1 < x < 5

חותכים

מה החלק המשותף?

2 < x < 5

-1 < x < 5

Show the answer and the solution

בדקו את $x = 0$ : $\frac{-2}{1} < 0$ , ואין לוגריתם.

זה הפתרון.

במנה: תחום של מנה, ולעולם לא כופלים בביטוי שהסימן שלו לא ידוע.

Do the activity on elev

סוג 6: הבסיס הוא x

\log_x a = \frac{1}{\log_a x}

מחליפים את הבסיס: הלוגריתם מתהפך

Interactive activity

\log_2 x - 6\log_x 2 < 1

תחום

כאן $x$ הוא גם בסיס. מה התחום?

x > 0 \ , \ x \neq 1

x > 0

Show the answer and the solution

גם בסיס צריך להיות חיובי ושונה מ-1.

x > 1

Show the answer and the solution

$x = \frac12$ מותר: בסיס בין $0$ ל- $1$ הוא בסיס חוקי.

בסיס חיובי, ושונה מ- $1$ .

x > 0 \ , \ x \neq 1

מחליפים בסיס

מה הקשר בין $\log_x 2$ ל- $\log_2 x$ ?

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

\log_x 2 = \log_2 x

Show the answer and the solution

למשל $\log_4 2 = \frac12$ , אבל $\log_2 4 = 2$ : הם הפוכים.

מסמנים $t = \log_2 x$ , ו- $t \neq 0$ .

t = \log_2 x \Rightarrow t - \frac{6}{t} < 1

לא כופלים ב-t

איך ממשיכים?

\frac{t^2 - t - 6}{t} < 0

t^2 - 6 < t

Show the answer and the solution

אסור לכפול ב- $t$ : הוא יכול להיות שלילי. מעבירים אגף ומחברים לשבר.

מפרקים את המונה.

\frac{(t - 3)(t + 2)}{t} < 0

סימן

יש שלוש נקודות חלוקה: $-2$ , $0$ , $3$ . מתי השבר שלילי?

t < -2 \ \text{או} \ 0 < t < 3

-2 < t < 3

Show the answer and the solution

בדקו את $t = -1$ : $\frac{(-4)(1)}{-1} = 4 > 0$ . הנקודה $0$ מחלקת את הקטע לשניים.

ב- $t = 1$ : $\frac{(-2)(3)}{1} < 0$ ✓.

t < -2 \ \text{או} \ 0 < t < 3

חוזרים ל-x

מה הפתרון ב- $x$ ?

0 < x < \tfrac14 \ \text{או} \ 1 < x < 8

\tfrac14 < x < 8

Show the answer and the solution

$t < -2$ נותן $x < 2^{-2} = \frac14$ , ו- $0 < t < 3$ נותן $1 < x < 8$ . בין $\frac14$ ל- $1$ אין פתרון.

שני קטעים, ושניהם בתוך התחום.

בסיס $x$ : הופכים את הלוגריתם, ולא כופלים ב- $t$ .

Do the activity on elev

שלוש טעויות שחוזרות

כופלים בביטוי שהסימן שלו לא ידוע, או עוצרים ב- $t$ .

\frac{x-2}{x+1} < \frac12 \Rightarrow 2x - 4 < x + 1

\frac{x - 5}{2(x + 1)} < 0

כשהמכנה שלילי, הכפל הופך את הסימן. מעבירים אגף ובודקים סימן.

t - \frac{6}{t} < 1 \Rightarrow t^2 - 6 < t

\frac{t^2 - t - 6}{t} < 0

$t = \log_2 x$ שלילי כשהמספר $x$ בין $0$ ל- $1$ .

-1 \leq t \leq 3

\tfrac12 \leq x \leq 8

הפתרון הוא תמיד ב- $x$ . חוזרים מ- $t$ ל- $x$ בסוף.

בסוף, מציבים מספר אחד מכל קטע של התשובה, ומספר אחד מחוץ לה. זו בדיקה של חצי דקה.

Exercises

Exercise 1

מהו הפתרון של $\log_9 x^2 < 1$ ?

$-3 < x < 3$
$-3 < x < 3$ ו- $x \neq 0$
$x < 3$
$0 < x < 3$

Show the answer and the solution

Answer: B $-3 < x < 3$ ו- $x \neq 0$

Worked solution:

x \neq 0

תחום: $x^2 > 0$

x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3

$1 = \log_9 9$

$x = 0$ יוצא: $\log_9 0$ לא מוגדר. ו- $x$ שלילי מותר, כי $x^2$ חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה מספרים שלמים מקיימים $(\log_3 x)^2 < 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

t = \log_3 x \Rightarrow t^2 < 1

הצבה

-1 < t < 1

\tfrac13 < x < 3

$3^{-1} < x < 3^1$

x \in \{1, 2\}

לא לעצור ב- $-1 < t < 1$ : התשובה היא ב- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

השלימו את הפתרון של $\log_3 \frac{x}{x - 2} > 1$ .

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 2 $< x <$ 3

Worked solution:

\frac{x}{x - 2} > 0 \Rightarrow x < 0 \ \text{או} \ x > 2

תחום

\frac{x}{x - 2} > 3

$1 = \log_3 3$

\frac{6 - 2x}{x - 2} > 0 \Rightarrow 2 < x < 3

מעבירים אגף, לא כופלים

2 < x < 3

כבר בתוך התחום

מי שכפל ב- $x - 2$ בלי לחשוב קיבל גם $x < 0$ , ושם $\frac{x}{x-2} < 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

שורה אחת שגויה בפתרון של $\log_2 \frac{x + 3}{x - 1} < 2$ . מצאו אותה.

\frac{x+3}{x-1} > 0 \Rightarrow x < -3 \ \text{או} \ x > 1

\frac{x+3}{x-1} < 4

x + 3 < 4x - 4

x > \tfrac73

Show the answer and the solution

Answer: $x + 3 < 4x - 4$ → $\frac{7 - 3x}{x - 1} < 0$

Worked solution:

\frac{x + 3 - 4(x - 1)}{x - 1} = \frac{7 - 3x}{x - 1} < 0

מעבירים אגף

x < 1 \ \text{או} \ x > \tfrac73

x < -3 \ \text{או} \ x > \tfrac73

חותכים עם התחום

כפל ב- $x - 1$ איבד את כל החלק $x < -3$ , שבו $x - 1$ שלילי. למשל $x = -5$ : $\log_2 \frac{-2}{-6} = \log_2 \frac13 < 2$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו הפתרון של $\log_3 x - 3\log_x 3 < -2$ ?

$0 < x < \frac{1}{27}$ או $1 < x < 3$
$1 < x < 3$
$\frac{1}{27} < x < 3$
$-3 < x < 1$

Show the answer and the solution

Answer: A $0 < x < \frac{1}{27}$ או $1 < x < 3$

Worked solution:

\begin{aligned}t &= \log_3 x \ \\ \ \log_x 3 &= \tfrac1t\end{aligned}

t - \tfrac3t + 2 < 0 \Rightarrow \frac{(t + 3)(t - 1)}{t} < 0

לא כופלים ב- $t$

t < -3 \ \text{או} \ 0 < t < 1

0 < x < \tfrac{1}{27} \ \text{או} \ 1 < x < 3

$3^{-3} = \frac{1}{27}$

$-3 < x < 1$ מערבב את $t$ ואת $x$ . והחלק $0 < x < \frac{1}{27}$ נעלם למי שכפל ב- $t$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

לכל $x > 0$ , $x \neq 1$ : $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\log_x 5 &= \frac{\ln 5}{\ln x} \ \\ \ \log_5 x &= \frac{\ln x}{\ln 5}\end{aligned}

מעבר לבסיס $e$

החלפת הבסיס עם המספר הופכת את הלוגריתם. זה המפתח לסוג 6.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ- $1$ ומקיים $(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 \geq 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

t^2 - t - 2 \geq 0 \Rightarrow (t - 2)(t + 1) \geq 0

t \leq -1 \ \text{או} \ t \geq 2

0 < x \leq \tfrac12 \ \text{או} \ x \geq 4

$x = 2$ ו- $x = 3$ לא מקיימים: $t$ שם בין $-1$ ל- $2$ . ו- $x = 4$ נותן $t = 2$ , שוויון שהסימן $\geq$ מכיל.

Check the answer on elev

Exercise 8

באיזה אי-שוויון צריך הצבה $t = \log_a x$ ?

מציבים $t$
לא צריך

$(\log_3 x)^2 < 1$
$\log_2(x - 3) < 0$
$\log_3 x - 3\log_x 3 < -2$
$\log_5(x^2 + 1) > 1$
$\log(x^2 + 5) > \log 6x$
$2\log_4^2 x - \log_4 x - 1 > 0$

Show the answer and the solution

Answer: $(\log_3 x)^2 < 1$ — מציבים $t$ · $2\log_4^2 x - \log_4 x - 1 > 0$ — מציבים $t$ · $\log_3 x - 3\log_x 3 < -2$ — מציבים $t$ · $\log_2(x - 3) < 0$ — לא צריך · $\log(x^2 + 5) > \log 6x$ — לא צריך · $\log_5(x^2 + 1) > 1$ — לא צריך

Worked solution:

(\log_a x)^2 \ , \ \log_x a

סימנים להצבה

$x^2$ בתוך הלוגריתם אינו ריבוע של לוגריתם: שם משווים ישירות.

Check the answer on elev

Exercise 9

הפתרון של $\log_{\frac{1}{9}}(2 - x) \geq \frac12$ הוא $a \leq x < 2$ . מצאו את $a$ , ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.667

Worked solution:

x < 2

תחום

\tfrac12 = \log_{\frac19} \tfrac13

$\sqrt{\frac19} = \frac13$

2 - x \leq \tfrac13

בסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך

x \geq \tfrac53 \approx 1.667

מעריך $\frac12$ הוא שורש ריבועי, לא חצי: $\left(\frac19\right)^{\frac12} = \frac13$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

מהו הפתרון של $4\log_{\frac14}^2 x + 4\log_{\frac14} x + 1 > 0$ ?

$x > 2$
$0 < x < 2$
$x > 0$ ו- $x \neq 2$
$x \neq 2$

Show the answer and the solution

Answer: C $x > 0$ ו- $x \neq 2$

Worked solution:

t = \log_{\frac14} x \Rightarrow (2t + 1)^2 > 0

ריבוע מושלם

t \neq -\tfrac12

x \neq \left(\tfrac14\right)^{-\frac12} = 2

ריבוע חיובי בכל מקום חוץ מהאפס שלו. ואל תשכחו את התחום $x > 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 11

כמה מספרים שלמים מקיימים $\log_4 8x + \log_x 64 < 5$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\begin{aligned}t &= \log_4 x \ \\ \ \log_4 8x &= 1.5 + t \ \\ \ \log_x 64 &= \tfrac{3}{t}\end{aligned}

$\log_4 8 = 1.5$ , $\log_4 64 = 3$

t + \tfrac3t - 3.5 < 0 \Rightarrow \frac{(t - 1.5)(t - 2)}{t} < 0

t < 0 \ \text{או} \ 1.5 < t < 2

0 < x < 1 \ \text{או} \ 8 < x < 16

$4^{1.5} = 8$ , $4^2 = 16$

x \in \{9, \ldots, 15\}

החלק $0 < x < 1$ לא מכיל שלמים. ו- $8$ ו- $16$ לא נכללים: הסימן חזק.

Check the answer on elev

Exercise 12

התחום של $\log_2 \frac{x - 2}{x + 1}$ הוא $x > 2$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\frac{x - 2}{x + 1} > 0 \Rightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 2

מונה ומכנה באותו סימן

גם $x = -2$ בתחום: $\frac{-4}{-1} = 4 > 0$ .

Check the answer on elev

איך מזהים את הסוג

סוג 1: כשהמספר הוא שבר

סוג 4: לוגריתם של מנה

סוג 6: הבסיס הוא x

שלוש טעויות שחוזרות

Exercises

Keep practising on elev