Exponential inequalities and the sign of an expression with ln · Logarithmic inequalities · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הנעלם במעריך

ב- $2^x > 5$ הנעלם נמצא במעריך. מפעילים לוגריתם על שני האגפים. $\ln$ עולה, ולכן הסימן נשאר.

בסיס גדול מ-1

נפתור את $2^x > 5$ .

\ln(2^x) > \ln 5

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

x \ln 2 > \ln 5

לוגריתם של חזקה

x > \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2.32

$\ln 2 > 0$ : מחלקים בלי להפוך

\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}

מעבר לבסיס $e$ . כך $\frac{\ln 5}{\ln 2} = \log_2 5$

מחלקים במספר שלילי בלי להפוך את הסימן.

x \ln 0.5 \leq \ln 3 \Rightarrow x \leq \frac{\ln 3}{\ln 0.5}

x \ln 0.5 \leq \ln 3 \Rightarrow x \geq \frac{\ln 3}{\ln 0.5} \approx -1.585

$\ln 0.5 < 0$ . חלוקה במספר שלילי הופכת את הסימן. זו אותה הפיכה של "בסיס קטן מ-1", שמגיעה מכיוון אחר.

מה הפתרון של $e^x > -3$ ? ושל $e^x < 0$ ?

Show the answer and the solution

$e^x$ תמיד חיובי. לכן $e^x > -3$ נכון לכל $x$ , ול- $e^x < 0$ אין פתרון. אי אפשר להפעיל $\ln$ על $-3$ .

אם מופיעים $4^x$ ו- $2^x$ יחד, מציבים $t = 2^x$ , וזוכרים ש- $t > 0$ . בדיוק כמו בהצבה $t = \log_a x$ .

סימן של מכפלה עם ln

ב- $(x - 2)\ln x > 0$ אין לוגריתם לבודד. בודקים את הסימן של כל גורם, כמו בטבלת סימנים.

0 < x < 1

$x - 2 < 0$ ו- $\ln x < 0$ : המכפלה חיובית

1 < x < 2

$x - 2 < 0$ ו- $\ln x > 0$ : המכפלה שלילית

x > 2

שני הגורמים חיוביים: המכפלה חיובית

לכן הפתרון: $0 < x < 1$ או $x > 2$ . נקודות החלוקה הן $x = 1$ , שבה $\ln x = 0$ , ו- $x = 2$ . הגבול $x > 0$ בא מהתחום.

Interactive activity

\frac{\ln x}{x - 3} \leq 0

תחום

מה התחום?

x > 0 \ , \ x \neq 3

x > 0

Show the answer and the solution

גם המכנה: אסור ש- $x - 3$ יהיה $0$ .

x > 3

Show the answer and the solution

המכנה צריך רק לא להיות אפס. $x = 1$ מותר.

הלוגריתם, והמכנה.

x > 0 \ , \ x \neq 3

נקודת אפס

מתי $\ln x = 0$ ?

x = 1

x = 0

Show the answer and the solution

$\ln 0$ לא מוגדר. $\ln x = 0$ כאשר $x = e^0 = 1$ .

x = e

Show the answer and the solution

$\ln e = 1$ , לא $0$ .

שתי נקודות חלוקה: $1$ (המונה) ו- $3$ (המכנה).

\begin{aligned}\ln x &= 0 \iff x \\ &= 1\end{aligned}

סימן

באיזה קטע המנה שלילית?

1 < x < 3

0 < x < 1

Show the answer and the solution

ב- $x = \frac12$ : מונה שלילי ומכנה שלילי, והמנה חיובית.

x > 3

Show the answer and the solution

ב- $x = 4$ : $\frac{\ln 4}{1} > 0$ .

ב- $x = 2$ : $\frac{\ln 2}{-1} < 0$ .

1 < x < 3: \ \frac{+}{-} < 0

הקצוות

הסימן הוא $\leq$ . אילו קצוות נכללים?

1 \leq x < 3

1 \leq x \leq 3

Show the answer and the solution

ב- $x = 3$ מחלקים באפס.

1 < x < 3

Show the answer and the solution

ב- $x = 1$ המנה שווה ל- $0$ , והסימן $\leq$ מכיל את השוויון.

זה הפתרון.

סימן של מנה: תחום, נקודות האפס, סימן בכל קטע, ואז הקצוות.

פותרים יחד: מנה עם ln

Do the activity on elev

Exercises

Exercise 1

הפתרון של $3^x < 20$ הוא $x < a$ . מצאו את $a$ , ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.727

Worked solution:

x \ln 3 < \ln 20

x < \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx \frac{2.9957}{1.0986} \approx 2.727

$\ln 3 > 0$

בדיקה: $3^{2.727} \approx 20$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

הפתרון של $0.5^x \geq 6$ הוא $x \leq a$ . מצאו את $a$ , ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: -2.585

Worked solution:

x \ln 0.5 \geq \ln 6

x \leq \frac{\ln 6}{\ln 0.5} \approx \frac{1.7918}{-0.6931} \approx -2.585

$\ln 0.5 < 0$ : הסימן מתהפך

$0.5^x$ יורדת: כדי לקבל ערך גדול צריך $x$ קטן, שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הפתרון של $e^x > -1$ ?

אין פתרון
$x > -1$
$x > 0$
כל $x$

Show the answer and the solution

Answer: D כל $x$

Worked solution:

e^x > 0 > -1

לכל $x$

אין צורך ב- $\ln$ , וגם אי אפשר: $\ln(-1)$ אינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 4

לאי-השוויון $e^{3x} \leq 0$ אין פתרון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

e^{3x} > 0

לכל $x$

חזקה של $e$ אף פעם לא מגיעה לאפס, וגם לא מתחתיו.

Check the answer on elev

Exercise 5

הפתרון של $e^{2x + 1} \leq 10$ הוא $x \leq a$ . מצאו את $a$ , ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.651

Worked solution:

2x + 1 \leq \ln 10

x \leq \frac{\ln 10 - 1}{2} \approx \frac{1.3026}{2} \approx 0.651

$\ln$ עולה, והחלוקה ב- $2$ חיובית: הסימן לא מתהפך באף שלב.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הפתרון של $(x - 3)\ln x < 0$ ?

$0 < x < 3$
$x < 3$
$0 < x < 1$ או $x > 3$
$1 < x < 3$

Show the answer and the solution

Answer: D $1 < x < 3$

Worked solution:

x > 0

תחום

\begin{aligned}x &= 1 \ \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות האפס

1 < x < 3: \ (-)(+) < 0

ב- $0 < x < 1$ שני הגורמים שליליים, והמכפלה חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 7

כמה מספרים שלמים מקיימים $(x - 5)\ln x \leq 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x > 0

תחום

1 \leq x \leq 5

המכפלה שלילית בין האפסים, ואפס בהם

x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}

$x = 1$ נכלל: $\ln 1 = 0$ , והמכפלה שווה ל- $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

השלימו את הפתרון של $\frac{\ln x}{x - 4} < 0$ .

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 1 $< x <$ 4

Worked solution:

x > 0 \ , \ x \neq 4

תחום

1 < x < 4: \ \frac{+}{-} < 0

ב- $0 < x < 1$ המונה והמכנה שניהם שליליים, והמנה חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 9

מיינו לפי הסימן של $\ln x$ .

חיובי
שלילי

$x = \frac{1}{e}$
$x = 0.5$
$x = 0.99$
$x = 10$
$x = 2$
$x = e$

Show the answer and the solution

Answer: $x = 2$ — חיובי · $x = e$ — חיובי · $x = 10$ — חיובי · $x = 0.5$ — שלילי · $x = \frac{1}{e}$ — שלילי · $x = 0.99$ — שלילי

Worked solution:

x > 1 \Rightarrow \ln x > 0

0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0

$0.99$ קרוב מאוד ל- $1$ , אבל קטן ממנו: $\ln 0.99$ שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 10

שורה אחת שגויה בפתרון של $0.2^x > 25$ . מצאו אותה.

\ln(0.2^x) > \ln 25

x \ln 0.2 > \ln 25

x > \frac{\ln 25}{\ln 0.2}

x > -2

Show the answer and the solution

Answer: $x > \frac{\ln 25}{\ln 0.2}$ → $x < \frac{\ln 25}{\ln 0.2}$

Worked solution:

\ln 0.2 < 0

חלוקה במספר שלילי

x < \frac{\ln 25}{\ln 0.2} = -2

בדיקה: $x = 0$ נותן $0.2^0 = 1$ , וזה לא גדול מ- $25$ . לכן $x > -2$ שגוי.

Check the answer on elev

Exercise 11

מהו הפתרון של $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$ ?

$0 < x < 1$
$x < 0$ או $x > 1$
$0 < x < 2$
$1 < x < 2$

Show the answer and the solution

Answer: A $0 < x < 1$

Worked solution:

t = 2^x > 0 \Rightarrow t^2 - 3t + 2 < 0

$4^x = (2^x)^2$

1 < t < 2

2^0 < 2^x < 2^1 \Rightarrow 0 < x < 1

$1 < x < 2$ הוא הפתרון ב- $t$ שהועתק בטעות. צריך לחזור ל- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 12

מהו המספר השלם החיובי הקטן ביותר שמקיים $e^{2x} - 4e^x + 3 > 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

t = e^x \Rightarrow (t - 1)(t - 3) > 0

t < 1 \ \text{או} \ t > 3

x < 0 \ \text{או} \ x > \ln 3 \approx 1.099

$x = 1$ לא מקיים: $1 < \ln 3$ . ואכן $e^2 - 4e + 3 \approx -0.48 < 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 13

$\log_2 7 = \frac{\ln 7}{\ln 2}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}2^c &= 7 \Rightarrow c \ln 2 \\ &= \ln 7\end{aligned}

c = \frac{\ln 7}{\ln 2} \approx 2.807

מעבר בסיס: כך מחשבים כל לוגריתם במחשבון שיש בו רק $\ln$ .

Check the answer on elev

הנעלם במעריך

סימן של מכפלה עם ln

Exercises

Keep practising on elev