Logarithm rules and substitution · Logarithmic inequalities · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלושה חוקים

\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n

לוגריתם של מכפלה

\log_a \tfrac{m}{n} = \log_a m - \log_a n

לוגריתם של מנה

\log_a(m^k) = k \log_a m

לוגריתם של חזקה

החוקים נכונים כאשר $m > 0$ ו- $n > 0$ . בעזרתם מאחדים סכום של לוגריתמים ללוגריתם אחד, וחוזרים לשיטה של היחידה הקודמת.

Interactive activity

\log_2 x + \log_2(x - 2) < 3

תחום

התחום נקבע לפני שמאחדים. מהו?

x > 2

x > 0

Show the answer and the solution

גם $x - 2$ נמצא בתוך לוגריתם: צריך $x > 2$ .

-2 < x < 4

Show the answer and the solution

זה לא תחום. בודקים כל לוגריתם בנפרד: $x > 0$ וגם $x > 2$ .

תנאי לכל לוגריתם.

x > 0 \ , \ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2

מאחדים

איך כותבים את הסכום כלוגריתם אחד?

\log_2\big(x(x - 2)\big) < 3

\log_2(2x - 2) < 3

Show the answer and the solution

סכום של לוגריתמים הוא לוגריתם של מכפלה, ולא של סכום.

לוגריתם של מכפלה.

הבסיס מחליט

$3 = \log_2 8$ , והבסיס גדול מ- $1$ . מה כותבים?

x^2 - 2x < 8

x^2 - 2x > 8

Show the answer and the solution

הבסיס $2$ גדול מ- $1$ : הסימן נשאר.

מפרקים: $(x - 4)(x + 2) < 0$ .

x^2 - 2x - 8 < 0 \Rightarrow -2 < x < 4

חותכים

מה החלק המשותף?

2 < x < 4

-2 < x < 4

Show the answer and the solution

בדקו את $x = 1$ : $\log_2(-1)$ לא מוגדר. האיחוד הרחיב את התחום, לא את הפתרון.

זה הפתרון.

הסדר חשוב: קודם תחום, אחר כך מאחדים.

פותרים יחד: סכום של לוגריתמים

Do the activity on elev

קובעים את התחום רק אחרי שמאחדים.

\log_2 x + \log_2(x-2) < 3 \Rightarrow -2 < x < 4

\log_2 x + \log_2(x-2) < 3 \Rightarrow 2 < x < 4

עבור $x = -1$ אין $\log_2(-1)$ , ולכן גם אין סכום. המעבר ללוגריתם אחד הרחיב את התחום, ולא את הפתרון.

סכום לוגריתמים בבסיס קטן מ-1

נפתור את $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}}(x + 2) \geq -1$ .

x > 0

תחום

x(x + 2) \leq 3

$-1 = \log_{\frac{1}{3}} 3$ , והסימן מתהפך

x^2 + 2x - 3 \leq 0 \Rightarrow -3 \leq x \leq 1

0 < x \leq 1

חותכים עם התחום

הצבה: אי-שוויון ריבועי בתחפושת

כשאותו לוגריתם מופיע גם בריבוע וגם בחזקה ראשונה, מסמנים $t = \log_a x$ . מקבלים אי-שוויון ריבועי ב- $t$ .

Interactive activity

(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 \geq 0

תחום

מה התחום?

x > 0

x > 1

Show the answer and the solution

מספיק ש- $x$ חיובי. הלוגריתם עצמו יכול להיות שלילי.

רק $x$ נמצא בתוך הלוגריתם.

x > 0

הצבה

מה מסמנים באות $t$ ?

t = \log_2 x

t = x^2

Show the answer and the solution

מסמנים את מה שחוזר פעמיים: $\log_2 x$ .

מקבלים אי-שוויון ריבועי ב- $t$ .

t = \log_2 x \Rightarrow t^2 - 2t - 3 \geq 0

פותרים ב-t

$(t - 3)(t + 1) \geq 0$ . מתי?

t \leq -1 \ \text{או} \ t \geq 3

-1 \leq t \leq 3

Show the answer and the solution

$(t - 3)(t + 1) \geq 0$ : הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים.

מחוץ לשורשים, והשורשים עצמם נכללים.

(t - 3)(t + 1) \geq 0 \Rightarrow t \leq -1 \ \text{או} \ t \geq 3

חוזרים ל-x

$\log_2 x \leq -1$ או $\log_2 x \geq 3$ . מה זה אומר על $x$ ?

0 < x \leq \tfrac12 \ \text{או} \ x \geq 8

x \leq -1 \ \text{או} \ x \geq 3

Show the answer and the solution

זה הפתרון ב- $t$ . חוזרים ל- $x$ : $\log_2 x \leq -1$ נותן $x \leq 2^{-1} = \frac12$ .

x \leq \tfrac12 \ \text{או} \ x \geq 8

Show the answer and the solution

חסר התחום: $x$ חייב להיות חיובי.

הבסיס $2$ גדול מ- $1$ , ולכן הסימנים נשארו.

הצבה בארבעה צעדים: תחום, $t$ , פותרים ב- $t$ , חוזרים ל- $x$ .

פותרים יחד: הצבה

Do the activity on elev

נניח שקיבלנו $t \leq -1$ או $t \geq 2$ , כאשר $t = \ln x$ . מה הפתרון ב- $x$ ?

Show the answer and the solution

$0 < x \leq e^{-1}$ או $x \geq e^2$ . הבסיס $e$ גדול מ- $1$ , ולכן הסימנים נשארים. ואת $x > 0$ מוסיפים מהתחום.

בבסיס קטן מ- $1$ גם החזרה מ- $t$ ל- $x$ הופכת את הסימנים: $-1 < \log_{\frac{1}{2}} x < 1$ נותן $\frac{1}{2} < x < 2$ .

Exercises

Exercise 1

הפתרון של $\log_3 x + \log_3(x + 8) < 2$ הוא $0 < x < a$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x > 0

תחום

x(x + 8) < 9

$2 = \log_3 9$

x^2 + 8x - 9 < 0 \Rightarrow -9 < x < 1

0 < x < 1

החלק $-9 < x \leq 0$ נופל: שם $\log_3 x$ אינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הפתרון של $\log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) \geq 3$ ?

$x \geq 3$
$x > 1$
$1 < x \leq 3$
$x \leq -3$ או $x \geq 3$

Show the answer and the solution

Answer: A $x \geq 3$

Worked solution:

x > 1

תחום

(x + 1)(x - 1) \geq 8 \Rightarrow x^2 \geq 9

x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

x \geq 3

עם התחום

$x = -4$ מקיים $x^2 \geq 9$ , אבל $\log_2(-3)$ אינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה מספרים שלמים מקיימים $(\log_3 x)^2 - 5\log_3 x + 6 \leq 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 19

Worked solution:

t = \log_3 x \Rightarrow t^2 - 5t + 6 \leq 0

2 \leq t \leq 3

9 \leq x \leq 27

$3^2 \leq x \leq 3^3$

27 - 9 + 1 = 19

שני הקצוות נכללים, כי הסימן הוא $\leq$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

לכל $x \neq 0$ מתקיים $\log_2(x^2) = 2\log_2 x$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -2: \ \log_2 4 \\ &= 2\end{aligned}

אגף שמאל מוגדר

2\log_2(-2)

אגף ימין אינו מוגדר

החוק $\log_a(m^k) = k\log_a m$ דורש $m > 0$ . הנכון לכל $x \neq 0$ הוא $\log_2(x^2) = 2\log_2|x|$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

השלימו את הפתרון של $\log_2 x - \log_2(x - 1) > 1$ .

____ $< x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 1 $< x <$ 2

Worked solution:

x > 1

תחום

\log_2 \tfrac{x}{x - 1} > 1 \Rightarrow \tfrac{x}{x - 1} > 2

לוגריתם של מנה

x > 2(x - 1) \Rightarrow x < 2

מותר לכפול ב- $x - 1$ : הוא חיובי בתחום

1 < x < 2

הכפל ב- $x - 1$ בלי הפיכת סימן מותר רק כי התחום מבטיח $x - 1 > 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

שורה אחת שגויה בפתרון של $\log_2 x + \log_2(x - 3) < 2$ . מצאו אותה.

\log_2\big(x(x - 3)\big) < 2

x^2 - 3x < 4

(x - 4)(x + 1) < 0 \Rightarrow -1 < x < 4

-1 < x < 4

Show the answer and the solution

Answer: $-1 < x < 4$ → $3 < x < 4$

Worked solution:

x > 0 \ , \ x > 3 \Rightarrow x > 3

התחום של הביטוי המקורי

3 < x < 4

השורה האחרונה שכחה את התחום. $x = 1$ נותן $\log_2(-2)$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים $(\ln x)^2 - 3\ln x \leq 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

t = \ln x \Rightarrow t(t - 3) \leq 0

0 \leq t \leq 3

1 \leq x \leq e^3 \approx 20.09

$e^3 \approx 20.09$ , ולכן $21$ כבר מחוץ לפתרון.

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו הפתרון של $(\log_{\frac{1}{2}} x)^2 - 1 < 0$ ?

$\frac{1}{2} < x < 2$
$0 < x < 2$
$x < \frac{1}{2}$ או $x > 2$
$-1 < x < 1$

Show the answer and the solution

Answer: A $\frac{1}{2} < x < 2$

Worked solution:

t = \log_{\frac{1}{2}} x \Rightarrow t^2 < 1

-1 < t < 1

\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1} < x < \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}

בסיס קטן מ- $1$ : הסדר מתהפך

\tfrac{1}{2} < x < 2

$-1 < x < 1$ הוא הפתרון ב- $t$ , לא ב- $x$ . אל תשכחו לחזור.

Check the answer on elev

Exercise 9

כמה מספרים שלמים מקיימים $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}}(x - 6) \geq -4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x > 6

תחום

x(x - 6) \leq 16

$-4 = \log_{\frac{1}{2}} 16$ , והסימן מתהפך

x^2 - 6x - 16 \leq 0 \Rightarrow -2 \leq x \leq 8

6 < x \leq 8 \Rightarrow x \in \{7, 8\}

בלי התחום הייתם סופרים $11$ שלמים, מ- $-2$ עד $8$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

עבור $m > 0$ ו- $n > 0$ : איזה שוויון נכון?

נכון
לא נכון

$(\log m)^2 = 2\log m$
$\frac{\log m}{\log n} = \log(m - n)$
$\log \frac{m}{n} = \log m - \log n$
$\log(m + n) = \log m + \log n$
$\log(m^3) = 3\log m$
$\log(mn) = \log m + \log n$

Show the answer and the solution

Answer: $\log(mn) = \log m + \log n$ — נכון · $\log \frac{m}{n} = \log m - \log n$ — נכון · $\log(m^3) = 3\log m$ — נכון · $\log(m + n) = \log m + \log n$ — לא נכון · $(\log m)^2 = 2\log m$ — לא נכון · $\frac{\log m}{\log n} = \log(m - n)$ — לא נכון

Worked solution:

\begin{aligned}m &= 10: \ (\log 10)^2 \\ &= 1 \neq 2 \\ &= 2\log 10\end{aligned}

חזקה של הלוגריתם

\begin{aligned}\log(1 + 1) &= \log 2 \neq 0 \\ &= \log 1 + \log 1\end{aligned}

אין חוק לסכום בתוך לוגריתם. וחזקה של הלוגריתם אינה חזקה בתוך הלוגריתם: $m = 10$ נותן $(\log 10)^2 = 1$ , אבל $2\log 10 = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 11

מהו הפתרון של $2\log_3 x < \log_3(2x + 3)$ ?

$x > 3$
$-1 < x < 3$
$x < 3$
$0 < x < 3$

Show the answer and the solution

Answer: D $0 < x < 3$

Worked solution:

x > 0 \ , \ x > -1.5 \Rightarrow x > 0

תחום

\log_3(x^2) < \log_3(2x + 3)

לוגריתם של חזקה

x^2 - 2x - 3 < 0 \Rightarrow -1 < x < 3

0 < x < 3

$2\log_3 x$ מוגדר רק עבור $x > 0$ , גם אם $\log_3(x^2)$ מוגדר גם לשליליים.

Check the answer on elev

Exercise 12

מהו המספר השלם החיובי הקטן ביותר שמקיים $(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 6 > 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

t = \log_2 x \Rightarrow (t - 3)(t + 2) > 0

t < -2 \ \text{או} \ t > 3

0 < x < \tfrac{1}{4} \ \text{או} \ x > 8

x = 9

אין שלם חיובי בין $0$ ל- $\frac{1}{4}$

$x = 8$ נותן $t = 3$ ושוויון לאפס, לא אי-שוויון חזק.

Check the answer on elev

שלושה חוקים

הצבה: אי-שוויון ריבועי בתחפושת

Exercises

Keep practising on elev