Equations and systems — up to 2nd degree

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפתור x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 פירושו לשאול: איפה הפרבולה y=x2−5x+6y = x^2 - 5x + 6 חותכת את ציר ה-xx? הסתכלו על הגרף: שתי נקודות, x=2x = 2 ו-x=3x = 3. כל משוואה בפרק הזה היא שאלה על גרף.

הפרבולה y = x² − 5x + 6
שני שורשים, שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xx. הפירוק (x−2)(x−3)(x - 2)(x - 3) אומר בדיוק את זה.

משוואה ממעלה ראשונה — תזכורת

משוואה עם מכנים מספריים

פתרו: x2+x3=5\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5.

3x+2x=303x + 2x = 30

כופלים את שני האגפים ב-66, המכנה המשותף

5x=30 ⇒ x=6\begin{aligned}5x &= 30 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מכנסים ומחלקים

62+63=3+2=5\begin{aligned}\frac{6}{2} + \frac{6}{3} &= 3 + 2 \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה ✓

משוואה ריבועית — שלוש דרכים

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

נוסחת השורשים של ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

x2−5x+6=0 ⇒ (x−2)(x−3)=0\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x-2)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

פירוק לגורמים — כשהוא קיים, הוא המהיר ביותר

x2=16 ⇒ x=4 או x=−4\begin{aligned}x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}

שורש משני האגפים — כשאין איבר עם xx

2x2−7x+3=0 ⇒ נוסחה2x^2 - 7x + 3 = 0 \ \Rightarrow \ \text{נוסחה}

נוסחת השורשים — תמיד עובדת

בנוסחת השורשים

פתרו: 2x2−7x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0.

a=2 b=−7 c=3\begin{aligned}a &= 2 \\ \ b &= -7 \\ \ c &= 3\end{aligned}

מזהים את המקדמים, עם הסימנים

b2−4ac=49−24=25\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 49 - 24 \\ &= 25\end{aligned}

הדיסקרימיננטה

x=7±54 ⇒ x=3 או x=12\begin{aligned}x &= \frac{7 \pm 5}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שני פתרונות

2⋅9−21+3=02 \cdot 9 - 21 + 3 = 0

בדיקה ל-x=3x = 3 ✓

פתרו: x2=5xx^2 = 5x

Show the answer and the solution

מעבירים אגף: x2−5x=0x^2 - 5x = 0, גורם משותף: x(x−5)=0x(x - 5) = 0, ולכן x=0x = 0 או x=5x = 5. מי שחילק ב-xx ומצא רק x=5x = 5 איבד פתרון: אסור לחלק במשהו שיכול להיות אפס.

כמה פתרונות? הדיסקרימיננטה והגרף

b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0

שני פתרונות — הפרבולה חותכת את ציר ה-xx פעמיים

b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0

פתרון אחד — הפרבולה משיקה לציר ה-xx

b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0

אין פתרון — הפרבולה כולה מעל הציר או כולה מתחתיו

מערכת של שתי משוואות — ישר ופרבולה

מערכת של משוואה לינארית ומשוואה ריבועית פותרים בהצבה: מציבים את yy מהישר בפרבולה, ומקבלים משוואה ריבועית ב-xx בלבד. כל xx שמצאנו מציבים חזרה בישר כדי למצוא את yy.

פרבולה וישר: שתי נקודות משותפות
הפרבולה y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 והישר y=x+1y = x + 1 נפגשים בשתי נקודות. כל נקודת מפגש היא פתרון של המערכת: זוג (x,y)(x, y) שמקיים את שתי המשוואות.

מערכת בהצבה

פתרו את המערכת: y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 ו-y=x+1y = x + 1.

x2−2x−3=x+1x^2 - 2x - 3 = x + 1

משווים: אותו yy בשתי המשוואות

x2−3x−4=0 ⇒ (x−4)(x+1)=0\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

x=4 ⇒ y=5x=−1 ⇒ y=0\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 5 \\ \qquad x &= -1 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בישר y=x+1y = x + 1

(4, 5), (−1, 0)(4,\,5) ,\ (-1,\,0)

שני פתרונות, שתי נקודות מפגש

כמה פתרונות יש למערכת y=x2y = x^2 ו-y=−1y = -1?

Show the answer and the solution

אף לא אחד. x2=−1x^2 = -1 אין לה פתרון, ובגרף: הפרבולה y=x2y = x^2 כולה מעל ציר ה-xx, והישר y=−1y = -1 מתחתיו. הם לא נפגשים.

בכל משוואה שפתרתם: הציבו חזרה. במערכת, הציבו בשתי המשוואות. הבדיקה לוקחת עשר שניות ותופסת כמעט כל טעות סימן.

שלוש הטעויות של הפרק.

x2=16 ⇒ x=4\begin{aligned}x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}
x=4 או x=−4\begin{aligned}x &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}

לריבוע שני שורשים. גם (−4)2=16(-4)^2 = 16.

x2=5x ⇒ x=5\begin{aligned}x^2 &= 5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}
x(x−5)=0 ⇒ x=0 או x=5\begin{aligned}x(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 5\end{aligned}

חילוק ב-xx מאבד את הפתרון x=0x = 0.

x2−5x+6=0 ⇒ x=5x−6\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{5x - 6}\end{aligned}
(x−2)(x−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0

שורש משני האגפים עובד רק כשאין איבר עם xx. כאן מפרקים או משתמשים בנוסחה.

Exercises

Exercise 1

פתרו: 4(x−3)=2x+64(x - 3) = 2x + 6

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

4x−12=2x+64x - 12 = 2x + 6

פותחים סוגריים

2x=18 ⇒ x=9\begin{aligned}2x &= 18 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מכנסים ומחלקים

4⋅6=24=18+6\begin{aligned}4 \cdot 6 &= 24 \\ &= 18 + 6\end{aligned}

בדיקה ✓

מי שכתב 4x−34x - 3 פתח את הסוגריים חלקית: ה-44 כופל את שני האיברים.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו: x3+x4=7\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 7

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

4x+3x=844x + 3x = 84

כופלים ב-1212, המכנה המשותף

7x=84 ⇒ x=12\begin{aligned}7x &= 84 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

מכנסים

123+124=4+3=7\begin{aligned}\frac{12}{3} + \frac{12}{4} &= 4 + 3 \\ &= 7\end{aligned}

בדיקה ✓

כופלים גם את אגף ימין ב-1212. מי ששכח קיבל 7x=77x = 7.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את הפתרון החיובי של x2=49x^2 = 49:

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

x=±7x = \pm 7

ולריבוע שני שורשים

התשובה המלאה היא 7 או 7- — כאן ביקשו את החיובי.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו: x2−3x−10=0x^2 - 3x - 10 = 0

  1. x=5x = 5 או x=−2x = -2
  2. x=−5x = -5 או x=2x = 2
  3. x=10x = 10 או x=−1x = -1
  4. x=5x = 5 בלבד
Show the answer and the solution

Answer: A x=5x = 5 או x=−2x = -2

Worked solution:

5⋅(−2)=−105+(−2)=3\begin{aligned}5 \cdot (-2) &= -10 \\ \quad 5 + (-2) &= 3\end{aligned}

מכפלה −10-10, סכום 33

(x−5)(x+2)=0(x - 5)(x + 2) = 0

פירוק

x=5 או x=−2\begin{aligned}x &= 5 \ \text{או} \ x \\ &= -2\end{aligned}

כל גורם מתאפס

הנכונה: x=5x = 5 או x=−2x = -2. «x=−5x = -5 או x=2x = 2» היא טעות סימן: הסכום שם −3-3. ו«x=5x = 5 בלבד» שכחה את הגורם השני.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו הפתרון הגדול של המשוואה 2x2−8x+6=02x^2 - 8x + 6 = 0?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0

מחלקים ב-22: הפתרונות לא משתנים

(x−1)(x−3)=0(x - 1)(x - 3) = 0

פירוק

x=1 או x=3\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

הגדול הוא 33

חלוקה במקדם המוביל מותרת כשהוא מספר: הוא לא יכול להיות אפס. בדיקה: 2⋅9−24+6=02 \cdot 9 - 24 + 6 = 0 ✓

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה פתרונות יש למשוואה x2+4x+7=0x^2 + 4x + 7 = 0?

  1. אחד
  2. אף לא אחד
  3. שניים
  4. אינסוף
Show the answer and the solution

Answer: B אף לא אחד

Worked solution:

b2−4ac=16−28=−12\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 - 28 \\ &= -12\end{aligned}

הדיסקרימיננטה שלילית

−12\sqrt{-12}

אינו מוגדר: אין פתרון

הנכונה: אף לא אחד. בגרף: הפרבולה כולה מעל ציר ה-xx. הערך הקטן ביותר שלה, ב-x=−2x = -2, הוא 4−8+7=3>04 - 8 + 7 = 3 > 0.

Check the answer on elev

Exercise 7

עבור איזה ערך של kk למשוואה x2−6x+k=0x^2 - 6x + k = 0 יש פתרון אחד בדיוק?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

b2−4ac=36−4kb^2 - 4ac = 36 - 4k

הדיסקרימיננטה

36−4k=0 ⇒ k=9\begin{aligned}36 - 4k &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 9\end{aligned}

פתרון אחד: דיסקרימיננטה אפס

x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

בדיקה: ריבוע מושלם, שורש כפול x=3x = 3 ✓

פתרון אחד פירושו שהפרבולה משיקה לציר ה-xx. מי שפתר 36−4k>036 - 4k > 0 ענה על שאלה אחרת: מתי יש שני פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו את המערכת: y=x2−4x+1y = x^2 - 4x + 1 ו-y=x−3y = x - 3. רשמו את שתי הנקודות, קודם זו עם ה-xx הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: ( 1 , -2 ) ו-( 4 , 1 )

Worked solution:

x2−4x+1=x−3x^2 - 4x + 1 = x - 3

משווים

x2−5x+4=0 ⇒ (x−1)(x−4)=0\begin{aligned}x^2 - 5x + 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)(x - 4) \\ &= 0\end{aligned}

מפרקים

x=1 ⇒ y=−2x=4 ⇒ y=1\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2 \\ \qquad x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1\end{aligned}

מציבים בישר

את yy מציבים בישר, שם החישוב קצר. בדיקה בפרבולה: 1−4+1=−21 - 4 + 1 = -2 ✓ ו-16−16+1=116 - 16 + 1 = 1 ✓

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה המערכת y=x2+1y = x^2 + 1 ו-y=2xy = 2x. מה נכון?

  1. אינסוף פתרונות
  2. פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה
  3. אין פתרון — הישר לא נוגע בפרבולה
  4. שני פתרונות — הישר חותך את הפרבולה
Show the answer and the solution

Answer: B פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה

Worked solution:

x2+1=2x ⇒ x2−2x+1=0\begin{aligned}x^2 + 1 &= 2x \ \Rightarrow \ x^2 - 2x + 1 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

(x−1)2=0 ⇒ x=1 y=2\begin{aligned}(x - 1)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

שורש כפול: פתרון יחיד

הנכונה: פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה בנקודה (1, 2)(1,\,2). דיסקרימיננטה אפס במשוואה של ההצבה פירושה נקודת מפגש אחת.

Check the answer on elev

Exercise 10

הוכיחו או הפריכו: למערכת y=x2y = x^2 ו-y=x−2y = x - 2 אין פתרון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x2=x−2 ⇒ x2−x+2=0\begin{aligned}x^2 &= x - 2 \ \Rightarrow \ x^2 - x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

b2−4ac=1−8=−7<0\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 1 - 8 \\ &= -7 < 0\end{aligned}

אין פתרון למשוואה

הטענה נכונה. בגרף: הפרבולה y=x2y = x^2 לא יורדת מתחת ל-00, והישר y=x−2y = x - 2 עובר מתחת לה בכל מקום. הם לא נפגשים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade