Solving together · Algebraic technique, equations and inequalities · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: שבר אלגברי שמצמצמים ואז פותרים, מערכת של ישר ופרבולה, משוואה עם שני שורשים, $f(x) > g(x)$ מתוך גרף, ומשוואה דו-ריבועית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — שבר אלגברי: תחום, צמצום, ומשוואה

Interactive activity

נתון הביטוי $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. צמצמו את הביטוי. ג. פתרו את המשוואה $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} = 5$ .

\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}

לחצו «להתחיל». התחום נקבע לפי המכנה המקורי, לפני כל צמצום.

א. מכנה

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

זהות: ריבוע של הפרש.

א. תחום

(x - 3)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 3

ערך אחד אסור.

ב. מונה

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

הפרש ריבועים.

ב. צמצום

\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3}

מצמצמים גורם $x - 3$ אחד.

ג. משוואה

\begin{aligned}\frac{x + 3}{x - 3} &= 5 \ \Rightarrow \ x + 3 \\ &= 5(x - 3)\end{aligned}

כופלים במכנה, מותר כי $x \neq 3$ .

ג. פתרון

\begin{aligned}x + 3 &= 5x - 15 \ \Rightarrow \ 18 \\ &= 4x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4.5\end{aligned}

משוואה ממעלה ראשונה.

ג. בדיקה

\frac{7.5}{1.5} = 5 \ \checkmark

בתחום ( $4.5 \neq 3$ ), ומקיים.

סעיף ג משתמש בסעיף ב: פותרים עם הביטוי המצומצם, וזה חוקי כי התחום כבר נרשם. בלי סעיף א, פתרון $x = 3$ היה יכול להתגנב.

Do the activity on elev

למה בסעיף ב מצמצמים רק גורם $x - 3$ אחד, כשבמכנה יש שניים?

Show the answer and the solution

כי במונה יש רק אחד. צמצום הוא חלוקה של המונה ושל המכנה באותו גורם: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}$ , מחלקים פעם אחת ב- $x - 3$ , ונשאר $\frac{x+3}{x-3}$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מערכת של ישר ופרבולה

Interactive activity

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 3x + 2$ ו- $y = 2x - 4$

נתונות הפרבולה $y = x^2 - 3x + 2$ והישר $y = 2x - 4$ . מצאו את נקודות המפגש שלהם.

$(2,\,0)$ ו- $(3,\,2)$

$(2,\,0)$ בלבד

$(1,\,0)$ ו- $(2,\,0)$

אין נקודות מפגש

איך מתחילים?

משווים: $x^2 - 3x + 2 = 2x - 4$

Show the answer and the solution

בנקודת מפגש ה- $y$ של הפרבולה שווה ל- $y$ של הישר.

מציבים $x = 0$ בשתי המשוואות

Show the answer and the solution

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא נקודת מפגש בין הגרפים.

מחברים את שתי המשוואות

Show the answer and the solution

חיבור לא מבטל את $y$ כאן. הצבה היא הדרך.

x^2 - 3x + 2 = 2x - 4

אותו $y$ בשתי המשוואות

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Show the answer and the solution

$-3x - 2x = -5x$ , $2 + 4 = 6$ .

$x^2 - x - 2 = 0$

Show the answer and the solution

טעות סימן: $-3x - 2x$ הוא $-5x$ , ו- $2 - (-4) = 6$ .

$x^2 - 5x - 2 = 0$

Show the answer and the solution

$2 - (-4) = 6$ , לא $-2$ .

\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 2)(x - 3) \\ &= 0\end{aligned}

$x = 2$ או $x = 3$

איך מוצאים את $y$ ?

מציבים כל $x$ בישר $y = 2x - 4$

Show the answer and the solution

החישוב הקצר. אפשר גם בפרבולה, התוצאה זהה.

$y$ הוא תמיד $0$ בנקודת מפגש

Show the answer and the solution

$y = 0$ רק בחיתוך עם ציר ה- $x$ . כאן מפגש בין שני גרפים.

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0 \qquad x \\ &= 3 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה בפרבולה: $4 - 6 + 2 = 0$ ✓, $9 - 9 + 2 = 2$ ✓

Show the answer and the solution

$(2,\,0)$ ו- $(3,\,2)$ . שתי נקודות מפגש, כי למשוואה של ההצבה שני פתרונות. « $(1,\,0)$ ו- $(2,\,0)$ » הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ : שאלה אחרת.

Do the activity on elev

בלי לחשב: כמה נקודות מפגש יכולות להיות לישר ולפרבולה?

Show the answer and the solution

אפס, אחת או שתיים. משוואת ההצבה היא ריבועית, ולה לכל היותר שני פתרונות. נקודה אחת פירושה שהישר משיק לפרבולה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משוואה עם שני שורשים

Interactive activity

פתרו: $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x} = 1$

\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x} = 1

לחצו «להתחיל». עם שני שורשים מעלים בריבוע פעמיים, ובודקים פעם אחת בסוף.

תחום

x \geq 0

שני השורשים מוגדרים כש- $x \geq 0$ .

מבודדים

\sqrt{2x + 1} = 1 + \sqrt{x}

שורש אחד לבד באגף שמאל.

ריבוע

2x + 1 = 1 + 2\sqrt{x} + x

$(1 + \sqrt{x})^2$ לפי הזהות: שלושה איברים.

מצמצמים

x = 2\sqrt{x}

נשאר שורש אחד.

ריבוע שוב

\begin{aligned}x^2 &= 4x \ \Rightarrow \ x(x - 4) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

לא מחלקים ב- $x$ : הוא יכול להיות אפס.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 0: \ 1 - 0 \\ &= 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= 4: \ 3 - 2 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

שני הפתרונות מתקבלים.

שני פתרונות, $x = 0$ ו- $x = 4$ . מי שחילק את $x = 2\sqrt{x}$ ב- $\sqrt{x}$ מצא רק $x = 4$ ואיבד פתרון נכון.

Do the activity on elev

בשלב «ריבוע» הופיע איבר $2\sqrt{x}$ . מאיפה הוא בא?

Show the answer and the solution

מהזהות $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ עם $a = 1$ , $b = \sqrt{x}$ : האיבר האמצעי $2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x}$ . מי שכותב $1 + x$ שוכח אותו, ומקבל $x = 0$ בלבד.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — f(x) > g(x) מתוך הגרף

f(x) = x² − 4x + 3 (כחול) ו-g(x) = −x + 3 (כתום)

שני הגרפים נפגשים ב-

(0,\,3)

וב-

(3,\,0)

. לפני שפותרים, אמרו במילים: באיזה קטע הכחול למעלה?

Interactive activity

עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

בגרף: $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ו- $g(x) = -x + 3$ . א. מצאו את נקודות המפגש. ב. עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

$x < 0$ או $x > 3$

$0 < x < 3$

$x > 3$

$1 < x < 3$

א. איך מוצאים את נקודות המפגש?

פותרים $x^2 - 4x + 3 = -x + 3$

Show the answer and the solution

נקודת מפגש: אותו $y$ לשני הגרפים.

פותרים $x^2 - 4x + 3 = 0$

Show the answer and the solution

זה החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ ( $x = 1$ , $x = 3$ ), לא המפגש עם $g$ .

\begin{aligned}x^2 - 3x &= 0 \ \Rightarrow \ x(x - 3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

הנקודות $(0,\,3)$ ו- $(3,\,0)$ , כמו בגרף

ב. בקטע $0 < x < 3$ , מי למעלה?

הישר $g$

Show the answer and the solution

בדיקה ב- $x = 1$ : $f(1) = 0$ , $g(1) = 2$ . הישר גבוה יותר.

הפרבולה $f$

Show the answer and the solution

ב- $x = 1$ : $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ , ו- $g(1) = 2$ . הפרבולה מתחת.

0 < x < 3: \ g(x) > f(x)

בין נקודות המפגש הישר מעל הפרבולה

ב. אז איפה $f(x) > g(x)$ ?

Show the answer and the solution

מחוץ לקטע שבין המפגשים הפרבולה למעלה.

$x > 3$ בלבד

Show the answer and the solution

גם משמאל ל- $0$ הפרבולה למעלה: $f(-1) = 8 > g(-1) = 4$ .

x^2 - 3x > 0 \ \Rightarrow \ x < 0 \ \text{או} \ x > 3

אימות באלגברה: פתוחה כלפי מעלה, חיובית מחוץ לשורשים ✓

Show the answer and the solution

$x < 0$ או $x > 3$ . « $1 < x < 3$ » ערבבה את השורשים של $f$ עם נקודות המפגש. השאלה היא על $f$ מול $g$ , לא על $f$ מול ציר ה- $x$ .

Do the activity on elev

עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) = g(x)$ ? ומה זה אומר על מספר הפתרונות של המשוואה $x^2 - 4x + 3 = -x + 3$ ?

Show the answer and the solution

רק ב- $x = 0$ ו- $x = 3$ : נקודות המפגש. למשוואה שני פתרונות, בדיוק כמספר נקודות המפגש בגרף.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — משוואה דו-ריבועית, עם פסילה

Interactive activity

פתרו: $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

x^4 - 8x^2 - 9 = 0

לחצו «להתחיל». הפעם אחד מערכי $t$ ייפסל.

הצבה

\begin{aligned}t &= x^2 \ \Rightarrow \ t^2 - 8t - 9 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב- $t$ .

פותרים ב-t

\begin{aligned}(t - 9)(t + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 9 \\ \ t &= -1\end{aligned}

מכפלה $-9$ , סכום $-8$ .

פוסלים

\begin{aligned}t &= -1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי.

חוזרים ל-x

\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני פתרונות.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 3: \ 81 - 72 - 9 \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

גם $x = -3$ , כי כל החזקות זוגיות.

שני פתרונות ולא ארבעה: $t$ שלילי לא נותן אף $x$ . בגרף, הפונקציה $y = x^4 - 8x^2 - 9$ חותכת את ציר ה- $x$ בשתי נקודות בלבד.

Do the activity on elev

למה $x = -3$ בהכרח פתרון, אם $x = 3$ פתרון?

Show the answer and the solution

כי במשוואה מופיעים רק $x^4$ ו- $x^2$ , חזקות זוגיות: $(-3)^4 = 3^4$ ו- $(-3)^2 = 3^2$ . פתרונות של משוואה דו-ריבועית תמיד באים בזוגות $\pm$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתון הביטוי $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}$ . א. איזה ערך של $x$ אסור? ב. פתרו: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} = 3$ .

א. $x \neq$ ____ , ב. $x =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: א. $x \neq$ 2 , ב. $x =$ 4

Worked solution:

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 2

תחום ההגדרה

\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x + 2}{x - 2}

צמצום

\begin{aligned}\frac{x + 2}{x - 2} &= 3 \ \Rightarrow \ x + 2 \\ &= 3x - 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

\frac{6}{2} = 3

בתחום, ובדיקה ✓

הצמצום לפני המשוואה חוסך משוואה ריבועית. ותחום ההגדרה נרשם לפניו: $x = 2$ אסור גם אחרי הצמצום.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 2x - 3$ ו- $y = x - 5$ . רשמו את שתי הנקודות, קודם זו עם ה- $x$ הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: ( 1 , -4 ) ו-( 2 , -3 )

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= x - 5 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

\begin{aligned}(x - 1)(x - 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4 \\ \qquad x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -3\end{aligned}

מציבים בישר

בדיקה בפרבולה: $1 - 2 - 3 = -4$ ✓ ו- $4 - 4 - 3 = -3$ ✓. שתי נקודות מפגש.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו: $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}

מבודדים

\begin{aligned}x + 5 &= 1 + 2\sqrt{x} + x \ \Rightarrow \ 4 \\ &= 2\sqrt{x}\end{aligned}

מעלים בריבוע ומצמצמים

\begin{aligned}\sqrt{x} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{4} &= 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

הפעם פתרון יחיד: אחרי הצמצום נשאר $\sqrt{x} = 2$ ולא $x = 2\sqrt{x}$ . האיבר האמצעי $2\sqrt{x}$ הוא לב החישוב.

Check the answer on elev

Exercise 4

f(x) = x² − 1 (כחול) ו-g(x) = 2x + 2 (כתום)

בגרף: $f(x) = x^2 - 1$ ו- $g(x) = 2x + 2$ . עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

$x < -1$ או $x > 1$
$x > 3$
$-1 < x < 3$
$x < -1$ או $x > 3$

Show the answer and the solution

Answer: D $x < -1$ או $x > 3$

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - 1 &= 2x + 2 \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 3)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

נקודות המפגש: $x = -1$ , $x = 3$

x < -1 \ \text{או} \ x > 3

הפרבולה מעל הישר מחוץ לקטע שבין המפגשים

\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -1 < g(0) \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה בתוך הקטע: שם הישר למעלה ✓

הנכונה: $x < -1$ או $x > 3$ . « $x < -1$ או $x > 1$ » ערבבה את שורשי $f$ ( $\pm 1$ ) עם נקודות המפגש.

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

$x = \pm 2$
$x = \pm 4$
$x = \pm 2$ או $x = \pm \sqrt{2}$
$x = 4$ או $x = -2$

Show the answer and the solution

Answer: A $x = \pm 2$

Worked solution:

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 2t - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 4)(t + 2) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק

t = -2 \ \text{נפסל}

ריבוע אינו שלילי

\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

הנכונה: $x = \pm 2$ . « $x = 4$ או $x = -2$ » עצרה ב- $t$ . « $\pm 2$ או $\pm \sqrt{2}$ » לקחה שורש גם מ- $t = -2$ כאילו היה $2$ .

Check the answer on elev

1 — שבר אלגברי: תחום, צמצום, ומשוואה

2 — מערכת של ישר ופרבולה

3 — משוואה עם שני שורשים

4 — f(x) > g(x) מתוך הגרף

5 — משוואה דו-ריבועית, עם פסילה

Exercises

Keep practising on elev