Equations of various types · Algebraic technique, equations and inequalities · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש משוואות שנראות מפחידות: $\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x} = 1$ , $\sqrt{x+7} = x+1$ , $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ . בכל אחת מהן צעד אחד הופך אותה למשוואה שכבר פתרתם. ובכל אחת מהן יש צעד אחרון שאסור לדלג עליו: הבדיקה.

משוואה עם שברים אלגבריים

ארבעה צעדים, תמיד באותו סדר: תחום הגדרה (המכנים אינם אפס), מכנה משותף, כפל של כל המשוואה במכנה המשותף, ופתרון. בסוף משווים לתחום: פתרון שמאפס מכנה נפסל.

Interactive activity

פתרו: $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x} = 1$

\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x} = 1

לחצו «להתחיל». הצעד הראשון אינו חישוב: הוא תחום ההגדרה.

תחום

x \neq 1 ,\quad x \neq 0

שני המכנים אסור שיתאפסו.

מכנה משותף

x(x - 1)

המכנים זרים, ולכן המכנה המשותף הוא המכפלה.

כופלים

x \cdot x - 2(x - 1) = x(x - 1)

כל איבר מוכפל במכנה המשותף, גם ה- $1$ באגף ימין.

פותחים

x^2 - 2x + 2 = x^2 - x

המינוס חל על כל $(x - 1)$ .

פותרים

\begin{aligned}-2x + 2 &= -x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

ה- $x^2$ מצטמצם: משוואה ממעלה ראשונה.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 2 \in \text{תחום} \\ \qquad \frac{2}{1} - \frac{2}{2} &= 2 - 1 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בתחום, ומקיים.

הפתרון $x = 2$ . שימו לב לצעד «כופלים»: ה- $1$ באגף ימין הפך ל- $x(x-1)$ , לא נשאר $1$ .

Do the activity on elev

פתרו: $\dfrac{x^2}{x - 3} = \dfrac{9}{x - 3}$

Show the answer and the solution

תחום: $x \neq 3$ . אותו מכנה, ולכן $x^2 = 9$ , כלומר $x = 3$ או $x = -3$ . $x = 3$ נפסל, הוא מחוץ לתחום. הפתרון היחיד: $x = -3$ .

משוואה אי-רציונלית — מבודדים, מעלים בריבוע, בודקים

משוואה שבה הנעלם מתחת לשורש. מבודדים את השורש באגף אחד, מעלים את שני האגפים בריבוע, ופותרים. ההעלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון שלא היה: $(-2)^2 = 2^2$ , אבל $-2 \neq 2$ . לכן בודקים כל פתרון במשוואה המקורית.

Interactive activity

פתרו: $\sqrt{x + 7} = x + 1$

פתרו את המשוואה $\sqrt{x + 7} = x + 1$ . בכל שלב בחרו את הצעד הנכון.

$x = 2$

$x = 2$ או $x = -3$

$x = -3$

אין פתרון

השורש כבר מבודד. מה הצעד הבא?

מעלים את שני האגפים בריבוע

Show the answer and the solution

השורש לבד באגף שמאל, ולכן הוא ייעלם.

מעלים בריבוע רק את אגף שמאל

Show the answer and the solution

פעולה על אגף אחד בלבד משנה את המשוואה.

מוציאים שורש מ- $x + 1$

Show the answer and the solution

זה מוסיף שורש במקום להוריד.

x + 7 = x^2 + 2x + 1

$(x + 1)^2$ לפי הזהות

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2 + x - 6 = 0$

Show the answer and the solution

מעבירים $x + 7$ לאגף ימין: $2x - x = x$ , $1 - 7 = -6$ .

$x^2 + 3x - 6 = 0$

Show the answer and the solution

$2x - x = x$ , לא $3x$ .

$x^2 + x + 8 = 0$

Show the answer and the solution

$1 - 7 = -6$ , לא $+8$ .

\begin{aligned}x^2 + x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x + 3)(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים: $x = -3$ , $x = 2$

מה עכשיו?

בודקים את שני המועמדים במשוואה המקורית

Show the answer and the solution

זה השלב שחובה בכל משוואה אי-רציונלית.

עונים $x = 2$ או $x = -3$

Show the answer and the solution

ההעלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרון זר.

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 2 + 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= -3: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

$x = -3$ נפסל

Show the answer and the solution

הפתרון: $x = 2$ . בדיקה מהירה שחוסכת עבודה: אגף ימין $x + 1$ חייב להיות אי-שלילי כי שורש אינו שלילי, ולכן $x \geq -1$ ו- $x = -3$ לא יכול להתאים.

Do the activity on elev

שני שורשים: מבודדים אחד, מעלים בריבוע, ושוב

פתרו: $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$ .

\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}

מבודדים שורש אחד

x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x

מעלים בריבוע: $(1 + \sqrt{x})^2$ לפי הזהות

\begin{aligned}4 &= 2\sqrt{x} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2\end{aligned}

ה- $x$ מצטמצם, נשאר שורש אחד

x = 4

מעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{4} &= 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

למה חייבים לבדוק במשוואה אי-רציונלית, גם כשהחישוב נכון?

Show the answer and the solution

כי העלאה בריבוע היא פעולה שאינה הפיכה: $-3 = 3$ הוא שקר, אבל $(-3)^2 = 3^2$ אמת. המשוואה החדשה יכולה להכיל פתרון שהמקורית לא הכילה.

משוואה דו-ריבועית — הצבה

ב- $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ מופיעים רק $x^4$ ו- $x^2$ . מציבים $t = x^2$ , ואז $x^4 = t^2$ , והמשוואה נהיית ריבועית ב- $t$ . פותרים, וחוזרים ל- $x$ : כל $t$ חיובי נותן שני ערכי $x$ , ו- $t$ שלילי נפסל, כי ריבוע אינו שלילי.

Interactive activity

פתרו: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

לחצו «להתחיל». ההצבה הופכת מעלה רביעית למעלה שנייה.

הצבה

\begin{aligned}t &= x^2 \ \Rightarrow \ t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

$x^4 = (x^2)^2 = t^2$ .

פותרים ב-t

\begin{aligned}(t - 1)(t - 4) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

מכפלה $4$ , סכום $5$ .

חוזרים ל-x

\begin{aligned}x^2 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \qquad x^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

כל $t$ חיובי נותן שני פתרונות.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 2: \ 16 - 20 + 4 \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

ארבעה פתרונות: $-2, -1, 1, 2$ .

ארבעה פתרונות, וזה המקסימום למשוואה ממעלה רביעית. הטעות הנפוצה: לענות $x = 1$ או $x = 4$ , כלומר לשכוח לחזור מ- $t$ ל- $x$ .

Do the activity on elev

פתרו: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Show the answer and the solution

$t = x^2$ : $t^2 - 10t + 9 = 0$ , $(t - 1)(t - 9) = 0$ , $t = 1$ או $t = 9$ . חוזרים: $x = \pm 1$ או $x = \pm 3$ . ארבעה פתרונות.

שלוש משוואות, כלל אחד: הצעד שמשנה את המשוואה (כפל במכנה, העלאה בריבוע, הצבה) דורש בדיקה בסוף. כתבו את הבדיקה כשורה בפתרון, לא בראש.

שלוש הטעויות של הפרק.

\begin{aligned}\frac{x^2}{x - 3} &= \frac{9}{x - 3} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

x = -3

$x = 3$ מאפס את המכנה. תחום ההגדרה נכתב לפני הכפל במכנה, ונבדק אחרי.

\begin{aligned}\sqrt{x + 7} &= x + 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

x = 2

$x = -3$ נותן $2 = -2$ . בלי בדיקה, פתרון זר נכנס לתשובה.

\begin{aligned}t^2 - 5t + 4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \pm 1 \ \text{או} \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

$t$ אינו $x$ . חוזרים דרך $x^2 = t$ , ולכל $t$ חיובי שני ערכי $x$ .

Exercises

Exercise 1

פתרו: $\dfrac{5}{x - 1} = \dfrac{10}{x + 2}$

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x \neq 1 ,\ x \neq -2

תחום ההגדרה

5(x + 2) = 10(x - 1)

כופלים במכנה המשותף $(x-1)(x+2)$

\begin{aligned}5x + 10 &= 10x - 10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

\frac{5}{3} = \frac{10}{6}

בתחום, ובדיקה ✓

כשיש שבר מכל צד, הכפל במכנה המשותף הוא «כפל בהצלבה». ואחרי הפתרון משווים לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו תחום ההגדרה של המשוואה $\dfrac{3}{x^2 - 4x} = \dfrac{1}{x}$ ?

$x \neq 0$
$x \neq 0$ וגם $x \neq 4$
$x \neq 4$
$x \neq 0$ וגם $x \neq -4$

Show the answer and the solution

Answer: B $x \neq 0$ וגם $x \neq 4$

Worked solution:

x^2 - 4x = x(x - 4) \neq 0

המכנה הראשון: מפרקים

x \neq 0 ,\quad x \neq 4

שני הגורמים, וגם המכנה השני $x \neq 0$

הנכונה: $x \neq 0$ וגם $x \neq 4$ . כדי לראות את $4$ חייבים לפרק את המכנה: $x^2 - 4x$ לא מגלה אותו במבט.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו: $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = 0$

$x = -4$
$x = 4$ או $x = -4$
$x = 4$
אין פתרון

Show the answer and the solution

Answer: A $x = -4$

Worked solution:

x \neq 4

תחום ההגדרה

\begin{aligned}x^2 - 16 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 4\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

x = 4 \ \text{נפסל}

מחוץ לתחום

הנכונה: $x = -4$ . « $x = 4$ או $x = -4$ » היא תשובה בלי תחום הגדרה: ב- $x = 4$ המכנה הוא אפס, והשבר אינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו: $\sqrt{2x + 3} = 5$

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

2x + 3 = 25

מעלים בריבוע

\begin{aligned}2x &= 22 \ \Rightarrow \ x \\ &= 11\end{aligned}

פותרים

\sqrt{25} = 5

בדיקה ✓

מי שכתב $2x + 3 = 5$ שכח להעלות בריבוע ומקבל $x = 1$ , ושם $\sqrt{5} \neq 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו: $\sqrt{x + 2} = x$

$x = 2$
$x = -1$
אין פתרון
$x = 2$ או $x = -1$

Show the answer and the solution

Answer: A $x = 2$

Worked solution:

\begin{aligned}x + 2 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 2 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}(x - 2)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}

מועמדים

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: $x = 2$ . $x = -1$ נפסל: אגף ימין שלילי ואגף שמאל, שורש, אינו שלילי לעולם.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו: $\sqrt{3x - 2} = x - 2$

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

3x - 2 = x^2 - 4x + 4

מעלים בריבוע: $(x - 2)^2$ לפי הזהות

\begin{aligned}x^2 - 7x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)(x - 6) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים $1$ ו- $6$

\begin{aligned}x &= 6: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \\ &= 6 - 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

בדיקה: $x = 1$ נפסל

אגף ימין $x - 2$ חייב להיות אי-שלילי, ולכן $x \geq 2$ . $x = 1$ נפסל עוד לפני ההצבה.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו: $\sqrt{x + 8} - \sqrt{x} = 2$

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\sqrt{x + 8} = 2 + \sqrt{x}

מבודדים שורש אחד

x + 8 = 4 + 4\sqrt{x} + x

מעלים בריבוע

\begin{aligned}4 &= 4\sqrt{x} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מצמצמים ומעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{1} &= 3 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה ✓

בהעלאה בריבוע של $2 + \sqrt{x}$ יש איבר אמצעי $4\sqrt{x}$ . מי ששכח אותו כתב $x + 8 = 4 + x$ ומצא סתירה.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

$x = \pm 4$ או $x = \pm 9$
$x = 4$ או $x = 9$
$x = \pm 2$ או $x = \pm 3$
$x = 2$ או $x = 3$

Show the answer and the solution

Answer: C $x = \pm 2$ או $x = \pm 3$

Worked solution:

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 13t + 36 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}(t - 4)(t - 9) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4 \\ \ t &= 9\end{aligned}

מכפלה $36$ , סכום $13$

\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \qquad x^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

הנכונה: $x = \pm 2$ או $x = \pm 3$ . « $x = 4$ או $x = 9$ » עצרה ב- $t$ . « $x = 2$ או $x = 3$ » שכחה את הפתרונות השליליים.

Check the answer on elev

Exercise 9

כמה פתרונות יש למשוואה $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 3t - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 4)(t + 1) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק

\begin{aligned}t &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \qquad t \\ &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

$x^2 = -1$ אין לה פתרון

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

מי שענה $4$ ספר גם את $t = -1$ . ריבוע אינו שלילי, ולכן $t$ שלילי לא נותן אף $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

הוכיחו או הפריכו: למשוואה $\sqrt{x - 1} = -3$ אין פתרון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\sqrt{x - 1} \geq 0

שורש ריבועי אינו שלילי לעולם

\begin{aligned}x - 1 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 \\ \qquad \sqrt{9} &= 3 \neq -3\end{aligned}

גם מי שהעלה בריבוע: הבדיקה פוסלת

הטענה נכונה. אפשר לראות את זה בלי חישוב: אגף שמאל אי-שלילי, אגף ימין שלילי. ההעלאה בריבוע מייצרת מועמד, והבדיקה פוסלת אותו.

Check the answer on elev

משוואה עם שברים אלגבריים

משוואה אי-רציונלית — מבודדים, מעלים בריבוע, בודקים

משוואה דו-ריבועית — הצבה

Exercises

Keep practising on elev