Solving together · Special lines of the triangle · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: תיכונים במערכת צירים, חוצה זווית במשולש ישר זווית, התיכון ליתר, המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית, ואנך אמצעי כמקום גאומטרי. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל שלב של גאומטריה כותבים את שם המשפט: «לפי משפט חוצה הזווית», «התיכון ליתר שווה למחצית היתר». תשובה בלי נימוק מאבדת נקודות גם כשהמספר נכון.

1 — תיכונים במערכת צירים והיחס 2:1

A(2,\,6)

B(-4,\,0)

C(8,\,0)

D

אמצע

BC

E

אמצע

AC

Interactive activity

נתון משולש $A(2,\,6)$ , $B(-4,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . א. מצאו את משוואת התיכון $AD$ לצלע $BC$ . ב. מצאו את משוואת התיכון $BE$ לצלע $AC$ . ג. מצאו את נקודת המפגש $G$ של התיכונים. ד. חשבו את $AG$ ואת $GD$ ובדקו את היחס ביניהם.

A(2,\,6) ,\quad B(-4,\,0) ,\quad C(8,\,0)

לחצו «להתחיל». תיכון מתחיל באמצע צלע, ולכן קודם אמצעים.

א. אמצע BC

D\left(\frac{-4 + 8}{2},\ 0\right) = D(2,\,0)

נוסחת אמצע קטע.

א. התיכון AD

\begin{aligned}x_A &= x_D \\ &= 2 \ \Rightarrow \ AD: \ x \\ &= 2\end{aligned}

ל- $A$ ול- $D$ אותו שיעור $x$ : הישר אנכי, ואין לו שיפוע.

ב. אמצע AC

E\left(\frac{2 + 8}{2},\ \frac{6 + 0}{2}\right) = E(5,\,3)

נוסחת אמצע קטע.

ב. התיכון BE

\begin{aligned}m_{BE} &= \frac{3 - 0}{5 - (-4)} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3}(x + 4)\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה $B(-4,\,0)$ .

ג. חיתוך

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3} \cdot 6 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ G(2,\,2)\end{aligned}

מציבים $x = 2$ במשוואת $BE$ .

ד. מרחקים

\begin{aligned}AG &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \qquad GD &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

על ישר אנכי המרחק הוא הפרש שיעורי ה- $y$ .

ד. היחס

\begin{aligned}\frac{AG}{GD} &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס $2:1$ , החלק הגדול ליד הקודקוד ✓

המדידה מאשרת את המשפט, והמשפט מאשר את החישוב: אם היה יוצא יחס אחר, הייתה טעות בדרך.

Do the activity on elev

מצאו את התיכון השלישי, $CF$ , ובדקו שהוא עובר דרך $G$ .

Show the answer and the solution

$F$ אמצע $AB$ : $F(-1,\,3)$ . $m_{CF} = \frac{3 - 0}{-1 - 8} = -\frac{1}{3}$ , ולכן $y = -\frac{1}{3}(x - 8)$ . ב- $x = 2$ : $y = -\frac{1}{3} \cdot (-6) = 2$ ✓. שלושת התיכונים נפגשים ב- $G(2,\,2)$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — חוצה זווית במשולש ישר זווית

Interactive activity

חוצה זווית, כשאחת הצלעות ביחס היא היתר

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 9$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). א. מצאו את $AC$ . ב. מצאו את $BD$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABD$ .

$BD = 4.5$ , $S_{ABD} = 20.25$

$BD = 6$ , $S_{ABD} = 27$

$BD = \frac{36}{7}$ , $S_{ABD} = \frac{162}{7}$

$BD = 7.5$ , $S_{ABD} = 33.75$

א. איך מוצאים את $AC$ ?

משפט פיתגורס: $AC^2 = 9^2 + 12^2$

Show the answer and the solution

$AC$ הוא היתר מול הזווית הישרה $B$ .

$AC = 9 + 12 = 21$

Show the answer and the solution

צלעות לא מתחברות. היתר קצר מסכום הניצבים.

\begin{aligned}AC &= \sqrt{81 + 144} \\ &= \sqrt{225} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס.

ב. מהו היחס של משפט חוצה הזווית כאן?

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{15}$

Show the answer and the solution

הצלעות הכולאות את הזווית $A$ הן $AB$ ו- $AC$ .

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{12}$

Show the answer and the solution

$BC$ היא הצלע שמחולקת, לא צלע ביחס. היחס הוא בין שתי הצלעות שיוצאות מ- $A$ .

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{9}{15} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית.

ב. איך עוברים מהיחס אל $BD$ ?

$BD = \frac{3}{3 + 5} \cdot 12$

Show the answer and the solution

$BC$ מחולק לשמונה חלקים, ו- $BD$ הוא שלושה מהם.

$BD = \frac{3}{5} \cdot 12$

Show the answer and the solution

«חלק על חלק» איננו «חלק על שלם». $\frac{3}{5}$ הוא היחס בין $BD$ ל- $DC$ , לא בין $BD$ ל- $BC$ .

\begin{aligned}BD &= \frac{3}{8} \cdot 12 \\ &= 4.5 \\ \qquad DC &= 7.5\end{aligned}

בדיקה: $\frac{4.5}{7.5} = \frac{3}{5}$ ✓

ג. מהו הגובה של המשולש $ABD$ לבסיס $BD$ ?

$AB = 9$ , כי $\angle B = 90^\circ$

Show the answer and the solution

$AB$ מאונך ל- $BC$ , ולכן גם ל- $BD$ .

$AD$

Show the answer and the solution

$AD$ הוא חוצה זווית, לא גובה. הוא לא מאונך ל- $BD$ .

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AB}{2} \\ &= \frac{4.5 \cdot 9}{2} \\ &= 20.25\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים.

Show the answer and the solution

$BD = 4.5$ ו- $S_{ABD} = 20.25$ . התשובה $BD = 7.5$ היא $DC$ ; $BD = 6$ מניחה שחוצה הזווית הוא תיכון; ו- $\frac{36}{7}$ באה מהיחס $\frac{9}{12}$ עם הניצב במקום היתר.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — התיכון ליתר, מהתיכון אל המשולש כולו

Interactive activity

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 6.5$ ו- $AC = 5$ . א. מצאו את $AB$ . ב. מצאו את $BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

\begin{aligned}\angle C &= 90^\circ \\ \quad CM &= 6.5 \\ \quad AC &= 5\end{aligned}

לחצו «להתחיל». תיכון ליתר פירושו: היתר ידוע.

א.

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \ \Rightarrow \ AB \\ &= 2 \cdot 6.5 \\ &= 13\end{aligned}

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

ב.

\begin{aligned}BC^2 &= AB^2 - AC^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ .

ג.

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 12}{2} \\ &= 30\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים. $CM$ לא משתתף כאן.

שלושה משפטים בשלוש שורות: התיכון ליתר, פיתגורס, ושטח. כל שורה נושאת את שמה.

Do the activity on elev

האם אפשר היה לחשב את השטח כ- $\frac{AB \cdot CM}{2}$ ?

Show the answer and the solution

לא. $CM$ הוא תיכון, לא גובה: הוא לא מאונך ל- $AB$ . השטח בעזרת היתר דורש את הגובה ליתר, $CH$ , ואותו מוצאים דווקא מהשטח: $\frac{13 \cdot CH}{2} = 30$ , כלומר $CH = \frac{60}{13}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — להוכיח חציית זווית מאורכים בלבד

Interactive activity

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 18$ ו- $BC = 20$ . הנקודה $D$ על $BC$ מקיימת $BD = 8$ . א. הוכיחו ש- $AD$ חוצה את הזווית $A$ . ב. נתון $\angle BAC \approx 81^\circ$ . מצאו את $\angle BAD$ .

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$

$AD$ חוצה זווית כי $BD < DC$ , ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 81^\circ$

אי אפשר להוכיח בלי זוויות

מה מחשבים קודם?

$DC = BC - BD = 12$

Show the answer and the solution

ליחס $\frac{BD}{DC}$ צריך את שני הקטעים.

$\angle BAD$ מהשרטוט

Show the answer and the solution

שרטוט אינו הוכחה, ואף זווית לא נתונה.

\begin{aligned}DC &= 20 - 8 \\ &= 12\end{aligned}

הקטע השני.

אילו שני יחסים משווים?

$\frac{BD}{DC} = \frac{8}{12}$ ו- $\frac{AB}{AC} = \frac{12}{18}$

Show the answer and the solution

כל קטע מול הצלע הצמודה לו.

$\frac{BD}{BC} = \frac{8}{20}$ ו- $\frac{AB}{AC} = \frac{12}{18}$

Show the answer and the solution

המשפט מדבר על היחס בין שני הקטעים $BD$ ו- $DC$ , לא על חלק מהצלע השלמה.

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{8}{12} \\ &= \frac{2}{3} \\ \qquad \frac{AB}{AC} &= \frac{12}{18} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שני היחסים שווים.

מה הנימוק למסקנה?

Show the answer and the solution

מיחס שווה אל חציית זווית: זה הכיוון ההפוך.

משפט חוצה הזווית

Show the answer and the solution

המשפט הישיר מניח שהקטע חוצה זווית ומסיק את היחס. כאן מוכיחים את ההפך.

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \ \Rightarrow \ \angle BAD \\ &= \angle DAC\end{aligned}

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית.

ב. מהי $\angle BAD$ ?

$\frac{81^\circ}{2} = 40.5^\circ$

Show the answer and the solution

חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות.

$81^\circ \cdot \frac{2}{5} = 32.4^\circ$

Show the answer and the solution

היחס $2:3$ הוא בין הקטעים על $BC$ , לא בין הזוויות. חוצה זווית תמיד מחלק את הזווית לשניים שווים.

\begin{aligned}\angle BAD &= \frac{81^\circ}{2} \\ &= 40.5^\circ\end{aligned}

הגדרת חוצה הזווית.

Show the answer and the solution

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$ . «כי $BD < DC$ » אינו נימוק: הרבה קטעים מחלקים את $BC$ לחלק קטן וגדול בלי לחצות את הזווית. רק השוויון בין היחסים מוכיח.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — אנך אמצעי ומקום גאומטרי

Interactive activity

נתונות $A(1,\,1)$ ו- $B(5,\,3)$ . א. מצאו את אמצע $AB$ . ב. מצאו את שיפוע האנך האמצעי של $AB$ . ג. כתבו את משוואת האנך האמצעי. ד. הנקודה $P$ נמצאת על האנך האמצעי ושיעור ה- $x$ שלה הוא $2$ . מצאו את $P$ והראו ש- $PA = PB$ .

A(1,\,1) ,\quad B(5,\,3)

לחצו «להתחיל». שני תנאים לאנך האמצעי: דרך האמצע, ומאונך.

א.

M\left(\frac{1 + 5}{2},\ \frac{1 + 3}{2}\right) = M(3,\,2)

נוסחת אמצע קטע.

ב.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - 1}{5 - 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$ .

ג.

\begin{aligned}y - 2 &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה $M$ .

ד. P

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4 + 8 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ P(2,\,4)\end{aligned}

מציבים במשוואת האנך האמצעי.

ד. מרחקים

\begin{aligned}PA &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10} \\ \qquad PB &= \sqrt{9 + 1} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

$PA = PB$ : נקודה על האנך האמצעי שוות-מרחק מקצות הקטע ✓

התוצאה $\sqrt{10}$ נשארת כשורש. תשובה מדויקת, לא $3.16$ .

Do the activity on elev

נקודה $Q$ מקיימת $QA = QB$ ושיעור ה- $y$ שלה הוא $0$ . מצאו את $Q$ בלי לחשב מרחקים.

Show the answer and the solution

לפי המשפט ההפוך, $Q$ על האנך האמצעי $y = -2x + 8$ . מציבים $y = 0$ : $x = 4$ , ולכן $Q(4,\,0)$ . בדיקה: $QA = \sqrt{9 + 1}$ ו- $QB = \sqrt{1 + 9}$ , שווים ✓

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

המשפטים של הפרק, לניסוח הנימוקים. הקלידו תיכון, חוצה או אנך והרשימה תצטמצם.

Exercises

Exercise 1

נתון משולש $A(4,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ ו- $BE$ תיכון לצלע $AC$ . מצאו את נקודת המפגש $G$ של התיכונים, ואת $AG$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$ , $AG =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $G($ 4 $,$ 2 $)$ , $AG =$ 4

Worked solution:

D(4,\,0) \ \Rightarrow \ AD: \ x = 4

אמצע $BC$ ; התיכון אנכי

E(6,\,3) \ \Rightarrow \ BE: \ y = \tfrac{1}{2}x

אמצע $AC$ ; ישר דרך הראשית

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2 \ \Rightarrow \ G(4,\,2)\end{aligned}

חיתוך

\begin{aligned}AG &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \quad GD &= 2\end{aligned}

יחס $2:1$ ✓

$G(4,\,2)$ ו- $AG = 4$ . הבדיקה בסוף היא לא קישוט: יחס שאינו $2:1$ מגלה טעות בחישוב.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 8$ ו- $BC = 6$ . $CD$ חוצה את הזווית $C$ ( $D$ על $AB$ ). מצאו את $DB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{64 + 36} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס: היתר

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{10}{6} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית מהקודקוד $C$ : הצלעות הכולאות הן $CA$ ו- $CB$

\begin{aligned}DB &= \frac{3}{5 + 3} \cdot 8 \\ &= 3\end{aligned}

שלושה חלקים משמונה

$DB = 3$ , ו- $AD = 5$ . הפעם החוצה יוצא מ- $C$ , ולכן הצלע המחולקת היא $AB$ , והצלעות ביחס הן $CA$ ו- $CB$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 10$ ו- $AC = 12$ . מצאו את $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot CM \\ &= 20\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC^2 &= 20^2 - 12^2 \\ &= 400 - 144 \\ &= 256 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 16\end{aligned}

משפט פיתגורס

$BC = 16$ . מי שהציב $CM = 10$ כצלע בפיתגורס טעה: $CM$ אינו צלע של המשולש $ABC$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ , ו- $D$ על $BC$ כך ש- $BD = 6$ ו- $DC = 9$ . הוכיחו או הפריכו: $AD$ חוצה את הזווית $A$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס בין הקטעים

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס בין הצלעות

\Rightarrow \ \angle BAD = \angle DAC

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

הטענה נכונה. שני היחסים שווים ל- $\frac{2}{3}$ . הנימוק הוא המשפט ההפוך, ולא המשפט הישיר.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונות $A(2,\,3)$ ו- $B(6,\,5)$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של האנך האמצעי של $AB$ עם ציר ה- $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

M(4,\,4)

אמצע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{5 - 3}{6 - 2} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע מאונך

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 12\end{aligned}

משוואת האנך האמצעי

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 12\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

$12$ . חיתוך עם ציר ה- $y$ : מציבים $x = 0$ . מי שקיבל $6$ השתמש בשיפוע $-\frac{1}{2}$ במקום $-2$ .

Check the answer on elev

1 — תיכונים במערכת צירים והיחס 2:1

2 — חוצה זווית במשולש ישר זווית

3 — התיכון ליתר, מהתיכון אל המשולש כולו

4 — להוכיח חציית זווית מאורכים בלבד

5 — אנך אמצעי ומקום גאומטרי

Exercises

Keep practising on elev