Solving together · The derivative of a polynomial · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, משיק עם כלל המכפלה, פרמטרים, קריאת הגרף של $f'$ , וערכי קיצון בקטע סגור. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה מלאה

Interactive activity

נתונה $f(x) = x^3 - 3x + 2$ . א. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. שרטטו סקיצה.

f(x) = x^3 - 3x + 2

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: צירים, נגזרת, טבלה, גבהים.

א. ציר y

f(0) = 2 \ \Rightarrow \ (0,\,2)

מציבים אפס.

א. ציר x

\begin{aligned}x^3 - 3x + 2 &= (x-1)^2(x+2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -2\end{aligned}

בדיקה: $(x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2$ ✓. הנקודות $(1,\,0)$ ו- $(-2,\,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 3(x-1)(x+1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(-2) &= 9 > 0 \qquad f'(0) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(2) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס.

ב. גבהים

\begin{aligned}f(-1) &= -1 + 3 + 2 \\ &= 4 \qquad f(1) \\ &= 1 - 3 + 2 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב- $f$ , לא ב- $f'$ .

ב. מסקנה

\max (-1,\,4) \qquad \min (1,\,0)

מפלוס למינוס ב- $-1$ , ממינוס לפלוס ב- $1$ .

ג.

\text{עולה}: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 1 \qquad \text{יורדת}: \ -1 < x < 1

קוראים מהטבלה.

ד.

(-2,\,0) \nearrow (-1,\,4) \searrow (1,\,0) \nearrow

הסקיצה עוברת בארבע הנקודות שמצאנו, והמינימום נוגע בציר ה- $x$ .

המינימום $(1,\,0)$ הוא גם נקודת חיתוך עם ציר ה- $x$ : הגרף נוגע בציר שם ולא חוצה אותו. זה מה שמספר הגורם $(x-1)^2$ .

Do the activity on elev

האם $(-1,\,4)$ היא הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף?

Show the answer and the solution

לא. מימין ל- $1$ הגרף עולה בלי גבול: $f(3) = 27 - 9 + 2 = 20$ . זה מקסימום מקומי. לפולינום ממעלה שלישית אין מקסימום מוחלט.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משיק, עם כלל המכפלה

Interactive activity

משוואת המשיק ל- $f(x) = (x^2 - 2)(x + 1)$ בנקודה שבה $x = 1$

נתונה $f(x) = (x^2 - 2)(x + 1)$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 1$ .

$y = 3x - 5$

$y = 3x + 1$

$y = -2x + 3$

$y = 3x - 2$

מה הצעד הראשון?

מוצאים את נקודת ההשקה: $f(1)$

Show the answer and the solution

לישר צריך נקודה ושיפוע. הנקודה באה מ- $f$ .

מוצאים את $f'(1)$ ומציבים אותו במקום $y_0$

Show the answer and the solution

$f'(1)$ הוא השיפוע, לא הגובה.

\begin{aligned}f(1) &= (1 - 2)(1 + 1) \\ &= -2 \ \Rightarrow \ (1,\,-2)\end{aligned}

נקודת ההשקה

איך גוזרים את המכפלה?

$f' = 2x(x+1) + (x^2-2) \cdot 1$

Show the answer and the solution

כלל המכפלה: נגזרת הראשון כפול השני, ועוד הראשון כפול נגזרת השני.

$f' = 2x \cdot 1$

Show the answer and the solution

מכפלת הנגזרות אינה נגזרת המכפלה.

\begin{aligned}f'(1) &= 2 \cdot 2 + (-1) \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע: מציבים ישר, בלי לפשט

ומה עכשיו?

$y - (-2) = 3(x - 1)$

Show the answer and the solution

שיפוע ונקודה בנוסחת הישר.

Show the answer and the solution

כתבו את הגובה במקום המספר החופשי. הישר הזה לא עובר ב- $(1,\,-2)$ : $3 - 2 = 1$ .

\begin{aligned}y + 2 &= 3x - 3 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 5\end{aligned}

משוואת המשיק

Show the answer and the solution

$y = 3x - 5$ . בדיקה: ב- $x = 1$ הישר נותן $-2$ , בדיוק הגובה של הגרף. « $y = 3x - 2$ » שם את $y_0$ במקום שבו צריך להיות המספר החופשי.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים

Interactive activity

נתונה $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 0$ הוא $9$ , ולפונקציה נקודת קיצון ב- $x = 1$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

\begin{aligned}f(x) &= x^3 + ax^2 + bx + 4 \\ \quad f'(0) &= 9 \\ \quad f'(1) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שני תנאים, ושניהם על הנגזרת.

נגזרת

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים עם הפרמטרים.

תנאי 1

\begin{aligned}f'(0) &= b \\ &= 9\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $x = 0$ .

תנאי 2

\begin{aligned}f'(1) &= 3 + 2a + 9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

קיצון ב- $x = 1$ : הנגזרת מתאפסת.

א.

\begin{aligned}a &= -6 \\ \quad b &= 9 \ \Rightarrow \ f(x) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x + 4\end{aligned}

הפונקציה עכשיו ידועה.

ב. חשודות

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x-1)(x-3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

הנקודה $x = 1$ חוזרת, כמו שצריך, ומצטרפת אליה $x = 3$ .

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(0) &= 9 > 0 \qquad f'(2) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(4) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס.

ב.

\max (1,\,8) \qquad \min (3,\,4)

$f(1) = 1 - 6 + 9 + 4 = 8$ , $f(3) = 27 - 54 + 27 + 4 = 4$ .

אחרי שמוצאים את הפרמטרים, בודקים שהתנאים מתקיימים: $f'(0) = 9$ ✓ ו- $f'(1) = 0$ ✓. רק אז ממשיכים לחקירה.

Do the activity on elev

למה התנאי «שיפוע המשיק ב- $x=0$ הוא $9$ » לא הלך לפונקציה $f$ ?

Show the answer and the solution

כי שיפוע הוא ערך של הנגזרת. $f(0) = 4$ הוא הגובה של הגרף ב- $x = 0$ , ואף אחד לא שאל עליו. שני התנאים בשאלה הזאת הם על $f'$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — נתון הגרף של $f'$

הגרף של הנגזרת f′

זהו הגרף של

f'

, לא של

f

. הוא חותך את הציר ב-

x = -2

וב-

x = 1

Interactive activity

מהגרף של $f'$ אל נקודות הקיצון של $f$

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת $f'$ של פונקציה $f$ . מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f$ , ואת שיעורי ה- $x$ של נקודות הקיצון שלה וסוגן.

מקסימום ב- $x = -2$ ומינימום ב- $x = 1$

מינימום ב- $x = -2$ ומקסימום ב- $x = 1$

מינימום ב- $x = -0.5$

ל- $f$ אין נקודות קיצון

איפה $f$ עולה?

איפה שהגרף של $f'$ מעל הציר: $x < -2$ או $x > 1$

Show the answer and the solution

$f' > 0$ פירושו $f$ עולה.

איפה שהגרף של $f'$ עולה: $x > -0.5$

Show the answer and the solution

הכיוון של $f'$ לא אומר כלום על $f$ . הסימן שלה אומר.

f' > 0: \ x < -2 \ \text{או} \ x > 1

$f$ עולה

ואיפה $f$ יורדת?

$-2 < x < 1$ , שם $f'$ מתחת לציר

Show the answer and the solution

$f' < 0$ פירושו $f$ יורדת.

$x < -0.5$ , שם $f'$ יורדת

Show the answer and the solution

שוב הכיוון במקום הסימן.

f' < 0: \ -2 < x < 1

$f$ יורדת

מה קורה ל- $f$ ב- $x = -2$ ?

מקסימום: $f'$ עוברת מפלוס למינוס

Show the answer and the solution

$f$ עולה ואז יורדת.

מינימום: הגרף של $f'$ יורד שם

Show the answer and the solution

הגרף של $f'$ יורד, אבל $f$ עצמה עולה ואז יורדת.

x = -2: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max

ואז ב- $x = 1$ : $- \to +$ , מינימום

Show the answer and the solution

מקסימום ב- $x = -2$ ומינימום ב- $x = 1$ . «מינימום ב- $x = -0.5$ » קרא את הגרף של $f'$ כאילו הוא הגרף של $f$ : שם $f'$ בשיא השליליות שלה, כלומר $f$ הכי תלולה בירידה, לא בקיצון.

Do the activity on elev

האם אפשר לדעת מהגרף של $f'$ מהו הגובה $f(-2)$ ?

Show the answer and the solution

לא. הגרף של $f'$ אומר רק איפה $f$ עולה, יורדת, ומתהפכת. שתי פונקציות שנבדלות במספר חופשי, כמו $f$ ו- $f + 5$ , נותנות אותו גרף של $f'$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

Interactive activity

נתונה $f(x) = -x^3 + 12x$ בקטע $-1 \le x \le 3$ . מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 12x \\ \quad -1 \le x \le 3\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בקטע סגור משווים את הנקודות החשודות שבתוך הקטע ואת שני הקצוות.

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2 + 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

בתחום?

-1 \le 2 \le 3 \ \checkmark \qquad -2 < -1

$x = 2$ בתוך הקטע. $x = -2$ מחוץ לקטע, ולכן נפסלת. נשארת רק $x = 2$ .

ערכים

\begin{aligned}f(2) &= -8 + 24 \\ &= 16 \qquad f(-1) \\ &= 1 - 12 \\ &= -11 \qquad f(3) \\ &= -27 + 36 \\ &= 9\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות.

מסקנה

\begin{aligned}\max &= 16 \ (x = 2) \qquad \min \\ &= -11 \ (x = -1)\end{aligned}

הגדול ביותר בנקודה פנימית, הקטן ביותר בקצה.

מי ששכח את הקצוות היה עונה «מינימום $16$ » או מחפש מינימום ב- $x = -2$ , שאינו בקטע בכלל. הערך $-11$ נמצא רק בהצבת הקצה.

Do the activity on elev

ואם הקטע היה $-3 \le x \le 3$ ?

Show the answer and the solution

אז $x = -2$ בתוך הקטע, ו- $f(-2) = 8 - 24 = -16$ . הקצוות: $f(-3) = 27 - 36 = -9$ ו- $f(3) = 9$ . המקסימום נשאר $16$ , אבל המינימום הופך ל- $-16$ בנקודה פנימית. הקטע משנה את התשובה.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . מצאו את נקודות הקיצון שלה ואת סוגן.

מקסימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: $($ 0 $,$ 4 $)$ ; מינימום: $($ 2 $,$ 0 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

\begin{aligned}f'(-1) &= 9 > 0 \qquad f'(1) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(3) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

\begin{aligned}f(0) &= 4 \qquad f(2) \\ &= 8 - 12 + 4 \\ &= 0\end{aligned}

הגבהים מ- $f$

מקסימום $(0,\,4)$ , מינימום $(2,\,0)$ . המינימום יושב על ציר ה- $x$ : $f(x) = (x+1)(x-2)^2$ , והגרף נוגע בציר ב- $x = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 2$ ?

$y = x - 5$
$y = x + 3$
$y = x - 7$
$y = -5x + 1$

Show the answer and the solution

Answer: C $y = x - 7$

Worked solution:

\begin{aligned}f(2) &= 5 \cdot (-1) \\ &= -5\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2,\,-5)$

\begin{aligned}f'(x) &= 2x(x-3) + (x^2+1) \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 4 \cdot (-1) + 5 \\ &= 1\end{aligned}

כלל המכפלה, ומציבים

\begin{aligned}y + 5 &= 1 \cdot (x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= x - 7\end{aligned}

שיפוע ונקודה

הנכונה: $y = x - 7$ . בדיקה: ב- $x = 2$ הישר נותן $-5$ ✓. « $y = x - 5$ » כתב את הגובה במקום המספר החופשי.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 1$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 0$ הוא $-9$ , ולפונקציה נקודת קיצון ב- $x = 3$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ -3 , $b=$ -9

Worked solution:

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

\begin{aligned}f'(0) &= b \\ &= -9\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $x = 0$

\begin{aligned}f'(3) &= 27 + 6a - 9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -3\end{aligned}

קיצון ב- $x = 3$

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x-3)(x+1) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שני התנאים על $f'$ . המספר $-1$ בפונקציה לא משתתף בכלל: הנגזרת מוחקת אותו.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f′

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת $f'$ של פונקציה $f$ : ישר שחותך את הציר ב- $x = 1$ . מה נכון לגבי $f$ ?

$f$ עולה כאשר $x > 1$
ל- $f$ מקסימום ב- $x = 1$
ל- $f$ מינימום ב- $x = 1$
ל- $f$ מקסימום ב- $x = 0$

Show the answer and the solution

Answer: B ל- $f$ מקסימום ב- $x = 1$

Worked solution:

x < 1: \ f' > 0 \qquad x > 1: \ f' < 0

מעל הציר, ואז מתחת

+ \to - \ \Rightarrow \ \max

ב- $x = 1$

הנכונה: מקסימום ב- $x = 1$ . הישר יורד, אבל הוא $f'$ : מה שקובע הוא שהוא עובר מחיובי לשלילי. ב- $x = 0$ הערך $f'(0) = 2$ הוא הגובה של $f'$ , לא קיצון של $f$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x) = x^3 - 3x$ בקטע $0 \le x \le 3$ . מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

נקודות חשודות; $x = -1$ מחוץ לקטע

\begin{aligned}f(1) &= -2 \qquad f(0) \\ &= 0 \qquad f(3) \\ &= 27 - 9 \\ &= 18\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות

\max = 18 \ (x = 3)

בקצה

הנגזרת מוצאת רק את $x = 1$ , ושם מינימום $-2$ . הערך הגדול ביותר נמצא בקצה $x = 3$ , ומי שלא הציב את הקצוות היה עונה $0$ .

Check the answer on elev

1 — חקירה מלאה

2 — משיק, עם כלל המכפלה

3 — פרמטרים

4 — נתון הגרף של f′f'f′

5 — ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

Exercises

Keep practising on elev

4 — נתון הגרף של $f'$