The graph of f and the graph of f′, and parameters

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לנגזרת יש גרף משלה. כש-ff עולה, f′f' חיובית, והגרף שלה נמצא מעל ציר ה-xx. כש-ff יורדת, f′f' שלילית, והגרף שלה מתחת לציר. בנקודת קיצון של ff המשיק אופקי, ולכן הגרף של f′f' חוצה את הציר בדיוק שם.

f′(x)>0f'(x) > 0

הגרף של f′f' מעל הציר: ff עולה.

f′(x)<0f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר: ff יורדת.

f′(x)=0f'(x) = 0

הגרף של f′f' חוצה את הציר: ל-ff קיצון שם. מפלוס למינוס: מקסימום. ממינוס לפלוס: מינימום.

מ-ff אל f′f' — קוראים סקיצה

סקיצה של f
x = −1x = 2-3-2-101234-25-20-15-10-55101520xy
ל-ff מקסימום ב-x=−1x=-1 ומינימום ב-x=2x=2. קוראים משמאל לימין: עולה עד −1-1, יורדת בין −1-1 ל-22, עולה מ-22 והלאה.

מהסקיצה של ff אומרים על f′f' שלושה דברים: f′(x)=0f'(x) = 0 ב-x=−1x=-1 וב-x=2x=2; f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר x<−1x < -1 או x>2x > 2; f′(x)<0f'(x) < 0 כאשר −1<x<2-1 < x < 2. זה מספיק כדי לשרטט את f′f': היא חותכת את הציר ב-−1-1 וב-22, חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם. פרבולה שפונה כלפי מעלה.

סקיצה של f′ שמתאימה לגרף למעלה
-3-2-101234-8-44812xy
הגרף של f′f' חוצה את הציר בדיוק מתחת לנקודות הקיצון של ff. מעל הציר: ff עולה. מתחת לציר: ff יורדת. הגובה של f′f' אומר כמה תלול המשיק, לא איפה ff נמצאת.

לפי הסקיצה של f′f': מה עושה ff בקטע −1<x<2-1 < x < 2?

Show the answer and the solution

הגרף של f′f' מתחת לציר שם, ולכן ff יורדת לאורך כל הקטע. גם כש-f′f' מתחילה «לעלות» חזרה אל הציר, היא עדיין שלילית, ו-ff עדיין יורדת.

מ-f′f' אל ff — הכיוון ההפוך

עכשיו נותנים את הגרף של הנגזרת, ושואלים על ff. מסתכלים איפה f′f' חוצה את הציר ואיזה סימן יש לה מכל צד. חוצה מלמטה למעלה, ממינוס לפלוס: ל-ff מינימום שם. חוצה מלמעלה למטה: מקסימום. הגובה של ff אינו ניתן לקריאה מהגרף של f′f'.

נתון: הגרף של f′
-10123456-8-6-4-2246f′(x)x
הישר הוא הגרף של f′f', לא של ff. הוא חוצה את הציר ב-x=3x=3, שלילי משמאל וחיובי מימין.

מגרף הנגזרת אל התנהגות הפונקציה

בשרטוט למעלה נתון הגרף של f′f'. מצאו את תחומי העלייה והירידה של ff ואת סוג נקודת הקיצון שלה.

x<3: f′(x)<0x < 3: \ f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר, ולכן ff יורדת

x>3: f′(x)>0x > 3: \ f'(x) > 0

מעל הציר, ולכן ff עולה

x=3: −→+x = 3: \ - \to +

ל-ff מינימום ב-x=3x=3

אם הגרף של f′f' הוא פרבולה שנמצאת כולה מעל ציר ה-xx, מה אפשר לומר על ff?

Show the answer and the solution

f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx, ולכן ff עולה בכל התחום ואין לה נקודות קיצון. הגרף של f′f' לא חוצה את הציר, ולכן אין נקודה שבה f′=0f'=0.

פרמטרים — כל תנאי הוא משוואה

כשבפונקציה יש מקדם לא ידוע, aa או bb, השאלה נותנת תנאי, וכל תנאי מתורגם למשוואה אחת. שני תנאים, שתי משוואות, שני נעלמים.

f(1)=5f(1) = 5

«הגרף עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5)»: מציבים בפונקציה.

f′(2)=0f'(2) = 0

«נקודת קיצון ב-x=2x=2»: מציבים בנגזרת ומשווים לאפס.

f′(1)=3f'(1) = 3

«שיפוע המשיק ב-x=1x=1 הוא 33», או «המשיק מקביל לישר y=3x+7y = 3x + 7»: מציבים בנגזרת.

שני פרמטרים משני תנאים

נתונה f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=1x=1, והגרף עובר בנקודה (1, −5)(1,\,-5). מצאו את aa ואת bb.

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים, עם הפרמטרים

f′(1)=3+2a+b=0\begin{aligned}f'(1) &= 3 + 2a + b \\ &= 0\end{aligned}

קיצון ב-x=1x=1

f(1)=1+a+b=−5 ⇒ a+b=−6\begin{aligned}f(1) &= 1 + a + b \\ &= -5 \ \Rightarrow \ a + b \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה על הגרף

(3+2a+b)−(a+b)=0−(−6) ⇒ 3+a=6 ⇒ a=3\begin{aligned}(3 + 2a + b) - (a + b) &= 0 - (-6) \ \Rightarrow \ 3 + a \\ &= 6 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

b=−6−3=−9\begin{aligned}b &= -6 - 3 \\ &= -9\end{aligned}

מציבים

f′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1) ✓\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 6x - 9 \\ &= 3(x+3)(x-1) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: x=1x=1 אכן שורש של f′f', ו-f(1)=1+3−9=−5f(1) = 1 + 3 - 9 = -5

שיפוע משיק ונקודה

נתונה f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא 44, ו-f(1)=1f(1) = 1. מצאו את aa ואת bb.

f′(x)=2ax+b ⇒ f′(1)=2a+b=4\begin{aligned}f'(x) &= 2ax + b \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 2a + b \\ &= 4\end{aligned}

שיפוע המשיק: הנגזרת

f(1)=a+b=1\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 1\end{aligned}

הגובה: הפונקציה

(2a+b)−(a+b)=4−1 ⇒ a=3 b=−2\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= 4 - 1 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3 \\ \ b &= -2\end{aligned}

מחסרים

f(x)=3x2−2x: f′(1)=6−2=4 ✓\begin{aligned}f(x) &= 3x^2 - 2x: \ f'(1) \\ &= 6 - 2 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שתי הטעויות של הפרק.

f(2)=0f(2) = 0
f′(2)=0f'(2) = 0

«נקודת קיצון ב-x=2x=2» הוא תנאי על הנגזרת. f(2)=0f(2) = 0 היה אומר שהגרף חותך את ציר ה-xx שם.

f′ בשיא ⇒ f בשיאf' \ \text{בשיא} \ \Rightarrow \ f \ \text{בשיא}
f′=0 ⇒ f בקיצוןf' = 0 \ \Rightarrow \ f \ \text{בקיצון}

הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף של f′f' היא המקום שבו ff הכי תלולה, לא המקום שבו ff הכי גבוהה. קיצון של ff נמצא איפה ש-f′f' חוצה את הציר.

Exercises

Exercise 1

הגרף של f′
-1012345-6-4-2246f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff. מה נכון לגבי ff?

  1. ff יורדת כאשר x>2x > 2
  2. ל-ff אין נקודות קיצון
  3. ל-ff נקודת מקסימום ב-x=2x=2
  4. ל-ff נקודת מינימום ב-x=2x=2
Show the answer and the solution

Answer: D ל-ff נקודת מינימום ב-x=2x=2

Worked solution:

x<2: f′<0x>2: f′>0x < 2: \ f' < 0 \qquad x > 2: \ f' > 0

מתחת לציר, ואז מעל

−→+ ⇒ min⁡- \to + \ \Rightarrow \ \min

ב-x=2x=2

הנכונה: מינימום ב-x=2x=2. הישר בשרטוט עולה, אבל הוא הגרף של f′f', לא של ff: מה שקובע הוא הסימן שלו מכל צד של 22.

Check the answer on elev

Exercise 2

סקיצה של f
-3-2-101234-25-20-15-10-55101520xy

בשרטוט נתונה סקיצה של הגרף של ff, עם נקודת מקסימום ב-x=−1x=-1 ונקודת מינימום ב-x=2x=2. באיזה תחום f′(x)<0f'(x) < 0?

  1. x<−1x < -1 או x>2x > 2
  2. −10<x<3.5-10 < x < 3.5
  3. x<0x < 0
  4. −1<x<2-1 < x < 2
Show the answer and the solution

Answer: D −1<x<2-1 < x < 2

Worked solution:

−1<x<2: f יורדת-1 < x < 2: \ f \ \text{יורדת}

בין המקסימום למינימום

f יורדת ⇒ f′(x)<0f \ \text{יורדת} \ \Rightarrow \ f'(x) < 0

נגזרת שלילית

הנכונה: −1<x<2-1 < x < 2. f′f' שלילית איפה ש-ff יורדת, לא איפה ש-ff שלילית. −10<x<3.5-10 < x < 3.5 הוא תחום של ערכי yy, ולא של xx.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x2+axf(x) = x^2 + ax. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=3x=3. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a

גוזרים

f′(3)=6+a=0 ⇒ a=−6\begin{aligned}f'(3) &= 6 + a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

התנאי «קיצון ב-x=3x=3» הולך לנגזרת. מי שהציב f(3)=0f(3) = 0 קיבל 9+3a=09 + 3a = 0, כלומר a=−3a = -3, וזה חיתוך עם ציר xx, לא קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=ax2−4x+1f(x) = ax^2 - 4x + 1. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא 22. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=2ax−4f'(x) = 2ax - 4

גוזרים

f′(1)=2a−4=2 ⇒ a=3\begin{aligned}f'(1) &= 2a - 4 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

שיפוע המשיק: הנגזרת שווה 22

שיפוע משיק הוא ערך של f′f', לא של ff. הבדיקה: f(x)=3x2−4x+1f(x) = 3x^2 - 4x + 1, f′(1)=6−4=2f'(1) = 6 - 4 = 2 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. לפונקציה נקודות קיצון ב-x=−1x=-1 וב-x=5x=5. מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

Show the answer and the solution

Answer: a=a= -6 , b=b= -15

Worked solution:

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

f′(−1)=3−2a+b=0f′(5)=75+10a+b=0\begin{aligned}f'(-1) &= 3 - 2a + b \\ &= 0 \\ \quad f'(5) &= 75 + 10a + b \\ &= 0\end{aligned}

שני תנאים על הנגזרת

72+12a=0 ⇒ a=−6b=−3−12=−15\begin{aligned}72 + 12a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6 \\ \quad b &= -3 - 12 \\ &= -15\end{aligned}

מחסרים ומציבים

f′(x)=3x2−12x−15=3(x+1)(x−5) ✓\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x - 15 \\ &= 3(x+1)(x-5) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שתי נקודות קיצון, שני תנאים, ושניהם על f′f'. דרך קצרה: f′f' היא 3(x+1)(x−5)3(x+1)(x-5), ופותחים סוגריים.

Check the answer on elev

Exercise 6

הגרף של f′
-2-10123456-6-4-2246f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של f′f', פרבולה שחותכת את הציר ב-x=0x=0 וב-x=4x=4. מיינו את הקטעים לפי ההתנהגות של ff.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • 0<x<40 < x < 4
  • 1<x<31 < x < 3
  • x<0x < 0
  • x>4x > 4
Show the answer and the solution

Answer: 0<x<40 < x < 4 — ff עולה · x<0x < 0 — ff יורדת · x>4x > 4 — ff יורדת · 1<x<31 < x < 3 — ff עולה

Worked solution:

0<x<4: f′>00 < x < 4: \ f' > 0

הפרבולה מעל הציר בין השורשים

x<0 או x>4: f′<0x < 0 \ \text{או} \ x > 4: \ f' < 0

מתחת לציר מחוץ לשורשים

הפרבולה יורדת ב-2<x<42 < x < 4, אבל היא עדיין מעל הציר שם, ולכן ff עדיין עולה. הכיוון של f′f' לא קובע; הסימן שלה קובע.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: אם הגרף של f′f' נמצא כולו מעל ציר ה-xx, אז ל-ff אין נקודות קיצון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)>0 לכל xf'(x) > 0 \ \text{לכל} \ x

הגרף מעל הציר

f′(x)≠0f'(x) \ne 0

אין נקודה חשודה, ולכן אין קיצון

הטענה נכונה. ff עולה בכל התחום. דוגמה: f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x, שנגזרתה 3x2+13x^2 + 1 חיובית תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף של f(x) = x² − 2x − 3
-2-101234-5-4-3-2-112345xy

בשרטוט נתון הגרף של f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3, פרבולה שקודקודה ב-(1, −4)(1,\,-4). איזה תיאור מתאים לגרף של f′f'?

  1. פרבולה שקודקודה ב-(1, −4)(1,\,-4)
  2. ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  3. ישר יורד שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  4. ישר אופקי y=−4y = -4
Show the answer and the solution

Answer: B ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1

Worked solution:

f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2

ישר, שיפוע 22

2x−2=0 ⇒ x=1\begin{aligned}2x - 2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

חוצה את הציר בקודקוד של ff

x<1: f′<0x>1: f′>0x < 1: \ f' < 0 \qquad x > 1: \ f' > 0

ff יורדת ואז עולה: מינימום

הנכונה: ישר עולה שחותך את הציר ב-x=1x=1. הגרף של f′f' אינו פרבולה: לפולינום ממעלה שנייה נגזרת ממעלה ראשונה. ו-−4-4 הוא הגובה של ff, לא של f′f'.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x3+axf(x) = x^3 + ax. המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x=2 מקביל לישר y=15x−1y = 15x - 1. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

m=15m = 15

משיקים מקבילים: אותו שיפוע

f′(x)=3x2+a ⇒ f′(2)=12+a=15\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + a \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12 + a \\ &= 15\end{aligned}

שיפוע המשיק ב-x=2x=2

a=3a = 3

פותרים

«מקביל לישר» הוא תנאי על השיפוע, ולכן על f′f'. המספר −1-1 בישר לא משתתף: ישרים מקבילים נבדלים בדיוק בו.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=ax3+bxf(x) = ax^3 + bx. לפונקציה נקודת קיצון ב-(1, 2)(1,\,2). מצאו את bb.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=3ax2+b ⇒ f′(1)=3a+b=0\begin{aligned}f'(x) &= 3ax^2 + b \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 3a + b \\ &= 0\end{aligned}

קיצון ב-x=1x=1

f(1)=a+b=2\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה על הגרף

2a=−2 ⇒ a=−1b=3\begin{aligned}2a &= -2 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \quad b &= 3\end{aligned}

מחסרים

f(x)=−x3+3x: f′(x)=−3x2+3=0 ⇒ x=±1 ✓\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 3x: \ f'(x) \\ &= -3x^2 + 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: f(1)=2f(1) = 2

נקודת קיצון נתונה עם שני שיעורים נותנת שני תנאים: f′(1)=0f'(1) = 0 מה-xx, ו-f(1)=2f(1) = 2 מה-yy.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 11

Exercise 11

א. הפונקציה ff מוגדרת לכל xx. היא יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. מיינו את הקטעים לפי הסימן של f′f'.

  • f′(x)>0f'(x)>0
  • f′(x)<0f'(x)<0
  • −0.5<x<2.5-0.5<x<2.5
  • −1<x<3-1<x<3
  • 0<x<20<x<2
  • 4<x<64<x<6
  • x<−1x<-1
  • x>3x>3
Show the answer and the solution

Answer: −1<x<3-1<x<3 — f′(x)>0f'(x)>0 · 0<x<20<x<2 — f′(x)>0f'(x)>0 · −0.5<x<2.5-0.5<x<2.5 — f′(x)>0f'(x)>0 · x<−1x<-1 — f′(x)<0f'(x)<0 · x>3x>3 — f′(x)<0f'(x)<0 · 4<x<64<x<6 — f′(x)<0f'(x)<0

Worked solution:

f↗ ⇒ f′>0f \nearrow \ \Rightarrow \ f'>0

איפה ff עולה, הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx

f↘ ⇒ f′<0f \searrow \ \Rightarrow \ f'<0

איפה ff יורדת, הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

כל קטע שנמצא כולו בתוך −1<x<3-1<x<3 שייך ל-f′>0f'>0. כל קטע שנמצא כולו בתוך x<−1x<-1 או בתוך x>3x>3 שייך ל-f′<0f'<0.

Check the answer on elev

Exercise 12

א. הפונקציה ff היא פולינום ממעלה שלישית. היא יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. איזה תיאור מתאים לגרף של f′f'?

  1. פרבולה «עצובה» שקודקודה בנקודה (−1, 0)(-1,\,0)
  2. ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  3. פרבולה «שמחה» (פתוחה כלפי מעלה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3
  4. פרבולה «עצובה» (פתוחה כלפי מטה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3
Show the answer and the solution

Answer: D פרבולה «עצובה» (פתוחה כלפי מטה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3

Worked solution:

f′(−1)=f′(3)=0\begin{aligned}f'(-1) &= f'(3) \\ &= 0\end{aligned}

בנקודות הקיצון של ff הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx

−1<x<3: f′>0-1<x<3: \ f'>0

בין השורשים f′f' מעל הציר

x<−1, x>3: f′<0x<-1, \ x>3: \ f'<0

מחוץ לשורשים f′f' מתחת לציר

הנגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה. היא חיובית בין השורשים ושלילית מחוצה להם, ולכן היא עצובה. הפרבולה ה«שמחה» הפוכה בסימנים.

Check the answer on elev

Exercise 13

א. הפונקציה ff יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. בשרטוט: הפרבולה y=x2−2x−3y=x^2-2x-3. הוכיחו או הפריכו: הפרבולה בשרטוט יכולה להיות הגרף של f′f'.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x2−2x−3=(x+1)(x−3)x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

השורשים נכונים: −1-1 ו-33

x=0: 0−0−3=−3<0\begin{aligned}x &= 0: \ 0-0-3 \\ &= -3<0\end{aligned}

אבל בין השורשים הפרבולה מתחת לציר

הטענה לא נכונה. ב-−1<x<3-1<x<3 הפונקציה ff עולה, ולכן שם f′>0f'>0. הפרבולה בשרטוט שלילית בקטע הזה: היא מתאימה לפונקציה שעולה ויורדת בדיוק הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 14

ב. הפונקציה ff מוגדרת לכל xx. היא עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. בכמה נקודות הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x=−2 x=1 x=4\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

בכל אחת מהן ff מחליפה כיוון: נקודות קיצון

f′(−2)=f′(1)=f′(4)=0\begin{aligned}f'(-2) &= f'(1) \\ &= f'(4) \\ &= 0\end{aligned}

ושם הסימן של f′f' מתחלף

שלוש נקודות: x=−2x=-2, x=1x=1, x=4x=4. כל נקודת קיצון של ff היא נקודה שבה f′f' חוצה את ציר ה-xx.

Check the answer on elev

Exercise 15

ב. הפונקציה ff עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. מה הסימנים של f′f' בארבעת הקטעים, משמאל לימין?

  1. +, +, −, −+,\ +,\ -,\ -
  2. +, −, −, ++,\ -,\ -,\ +
  3. −, +, −, +-,\ +,\ -,\ +
  4. +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -
Show the answer and the solution

Answer: D +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -

Worked solution:

x<−2: f↗ ⇒ +x<-2: \ f \nearrow \ \Rightarrow \ +

עולה

−2<x<1: f↘ ⇒ −-2<x<1: \ f \searrow \ \Rightarrow \ -

יורדת

1<x<4: f↗ ⇒ +1<x<4: \ f \nearrow \ \Rightarrow \ +

עולה

x>4: f↘ ⇒ −x>4: \ f \searrow \ \Rightarrow \ -

יורדת

הנכונה: +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -. הגרף של f′f' מתחיל מעל הציר, חוצה אותו שלוש פעמים, ומסתיים מתחתיו.

Check the answer on elev

Exercise 16

ב. הפונקציה ff עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. הוכיחו או הפריכו: f′(0)>0f'(0)>0.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

−2<0<1-2<0<1

x=0x=0 בקטע שבו ff יורדת

f′(0)<0f'(0)<0

ולכן שם f′f' שלילית

הטענה לא נכונה: f′(0)<0f'(0)<0. הסימן של f′f' נקבע לפי הכיוון של ff, לא לפי הגובה של הגרף.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade