Full study of a polynomial

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

«חקרו את הפונקציה» היא שאלה עם רשימה קבועה של סעיפים, ותמיד באותו סדר: תחום הגדרה, זוגיות, חיתוך עם הצירים, עלייה וירידה, נקודות קיצון, ובסוף סקיצה. כל סעיף נותן חתיכה של הציור, והסקיצה מרכיבה אותן.

1. תחום הגדרה — 2. זוגיות

לפולינום אין הגבלה: אפשר להציב כל מספר. תחום ההגדרה הוא כל xx. הזוגיות נבדקת בהצבת −x-x: אם f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) הפונקציה זוגית והגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy; אם f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) היא אי-זוגית והגרף סימטרי ביחס לראשית.

f(x)=x4−2x2 : f(−x)=x4−2x2=f(x)\begin{aligned}f(x) &= x^4 - 2x^2 \ : \ f(-x) \\ &= x^4 - 2x^2 \\ &= f(x)\end{aligned}

זוגית. רק חזקות זוגיות (וגם מספר חופשי).

f(x)=x3−x : f(−x)=−x3+x=−f(x)\begin{aligned}f(x) &= x^3 - x \ : \ f(-x) \\ &= -x^3 + x \\ &= -f(x)\end{aligned}

אי-זוגית. רק חזקות אי-זוגיות.

f(x)=x2+x : f(−x)=x2−x\begin{aligned}f(x) &= x^2 + x \ : \ f(-x) \\ &= x^2 - x\end{aligned}

לא זוגית ולא אי-זוגית. חזקות מעורבות: f(−1)=0f(-1) = 0 ו-f(1)=2f(1) = 2.

האם f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 זוגית, אי-זוגית, או לא זו ולא זו?

Show the answer and the solution

f(−x)=−x3−3x2f(-x) = -x^3 - 3x^2. זה לא f(x)f(x) ולא −f(x)=−x3+3x2-f(x) = -x^3 + 3x^2. לא זו ולא זו. בדיקה מהירה: f(1)=−2f(1) = -2 ו-f(−1)=−4f(-1) = -4, לא שווים ולא נגדיים.

3. חיתוך עם הצירים

x=0 ⇒ (0, f(0))x = 0 \ \Rightarrow \ (0,\, f(0))

ציר yy: מציבים אפס. תמיד נקודה אחת, והיא המספר החופשי.

f(x)=0 ⇒ (x1, 0) (x2, 0) …\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ (x_1,\,0) \\ \ (x_2,\,0) \\ \ \ldots\end{aligned}

ציר xx: פותרים משוואה. מוציאים גורם משותף, מפרקים לגורמים, ופותרים כל גורם.

4. עלייה, ירידה ונקודות קיצון — טבלת הסימנים של f′f'

גוזרים, פותרים f′(x)=0f'(x) = 0 ומקבלים נקודות חשודות. הן חותכות את ציר ה-xx לקטעים, ובכל קטע בודקים את הסימן של f′f' בנקודה אחת. פלוס: ff עולה. מינוס: ff יורדת. נקודה חשודה שבה הסימן מתחלף היא נקודת קיצון: מפלוס למינוס מקסימום, ממינוס לפלוס מינימום.

סוג הקיצון נקבע רק מסימני f′f' משני צדי הנקודה. נקודה חשודה שבה הסימן לא מתחלף, כמו x=0x=0 ב-f(x)=x3f(x)=x^3, אינה קיצון: הגרף רק משתטח לרגע וממשיך לעלות.

חקירה מלאה

חקרו את f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x ושרטטו סקיצה.

כל x\text{כל } x

תחום ההגדרה: פולינום מוגדר לכל xx

f(−x)=−x3−6x2−9xf(-x) = -x^3 - 6x^2 - 9x

לא זוגית ולא אי-זוגית

f(0)=0 ⇒ (0, 0)f(0) = 0 \ \Rightarrow \ (0,\,0)

חיתוך עם ציר yy

x(x2−6x+9)=x(x−3)2=0 ⇒ x=0 x=3\begin{aligned}x(x^2 - 6x + 9) &= x(x-3)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx: (0, 0)(0,\,0) ו-(3, 0)(3,\,0)

f′(x)=3(x−1)(x−3)=0 ⇒ x=1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 3(x-1)(x-3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות חשודות

+ ∣1 − ∣3 ++ \ \big|_{1}\ - \ \big|_{3}\ +

טבלת סימנים: עולה, יורדת, עולה

max⁡(1, 4)min⁡(3, 0)\max (1,\,4) \qquad \min (3,\,0)

הגבהים מ-ff

הסקיצה של f(x) = x³ − 6x² + 9x
-1012345-6-4-22468xy
הסקיצה מרכיבה את הסעיפים: עוברת ב-(0, 0)(0,\,0), עולה עד המקסימום (1, 4)(1,\,4), יורדת עד המינימום (3, 0)(3,\,0) שהוא גם נקודת חיתוך עם ציר ה-xx, ועולה משם. הגרף נוגע בציר ב-x=3x=3 ולא חוצה אותו.

האם (1, 4)(1,\,4) היא הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף כולו?

Show the answer and the solution

לא. מימין ל-33 הגרף עולה בלי גבול: f(5)=125−150+45=20>4f(5) = 125 - 150 + 45 = 20 > 4. הנקודה (1, 4)(1,\,4) היא מקסימום מקומי: הגבוהה ביותר בסביבתה בלבד.

5. קיצון מקומי, קיצון מוחלט, וקצוות של קטע

קיצון מקומי הוא הנקודה הגבוהה (או הנמוכה) ביותר בסביבתה. קיצון מוחלט הוא הערך הגדול (או הקטן) ביותר בכל התחום. כשהתחום הוא קטע סגור a≤x≤ba \le x \le b, הערך המוחלט נמצא באחד משני מקומות: בנקודה חשודה בתוך הקטע, או בקצה של הקטע. לכן מחשבים את ff בכל הנקודות החשודות שבקטע וגם ב-aa וב-bb, ומשווים.

ערך מוחלט בקטע סגור

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x בקטע −1≤x≤3.5-1 \le x \le 3.5.

f′(x)=0 ⇒ x=1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שתי הנקודות החשודות נמצאות בתוך הקטע

f(1)=4f(3)=0\begin{aligned}f(1) &= 4 \\ \quad f(3) &= 0\end{aligned}

הערכים בנקודות החשודות

f(−1)=−1−6−9=−16f(3.5)=0.875\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 6 - 9 \\ &= -16 \\ \quad f(3.5) &= 0.875\end{aligned}

הערכים בקצוות

max⁡=4 (x=1)min⁡=−16 (x=−1)\begin{aligned}\max &= 4 \ (x=1) \qquad \min \\ &= -16 \ (x=-1)\end{aligned}

המקסימום המוחלט בנקודה פנימית, המינימום המוחלט בקצה

ובקטע 2≤x≤42 \le x \le 4: היכן הערך הגדול ביותר של אותה פונקציה?

Show the answer and the solution

רק x=3x=3 חשודה בתוך הקטע, ושם f(3)=0f(3) = 0. בקצוות: f(2)=8−24+18=2f(2) = 8 - 24 + 18 = 2 ו-f(4)=64−96+36=4f(4) = 64 - 96 + 36 = 4. הערך הגדול ביותר הוא 44, בקצה x=4x=4, למרות שאין שם נגזרת אפס. הנגזרת לא «רואה» את הקצוות.

כותבים את החקירה בסדר של הסעיפים, ובכל סעיף מציגים חישוב. בסקיצה מסמנים את הנקודות שמצאתם: חיתוך עם הצירים ונקודות קיצון, עם השיעורים שלהן.

שלוש הטעויות של החקירה.

f′(0)=0 ⇒ (0, 0) קיצוןf'(0) = 0 \ \Rightarrow \ (0,\,0) \ \text{קיצון}
f(x)=x3: f′(−1)>0 f′(1)>0\begin{aligned}f(x) &= x^3: \ f'(-1) > 0 \\ \ f'(1) > 0\end{aligned}

נגזרת אפס היא חשד, לא הוכחה. בלי החלפת סימן אין קיצון.

ymax⁡=f′(1)y_{\max} = f'(1)
ymax⁡=f(1)y_{\max} = f(1)

הגובה של הקיצון מגיע מ-ff. בנקודת הקיצון f′f' שווה אפס תמיד.

max⁡=f(1) בקטע −1≤x≤3.5\max = f(1) \ \text{בקטע} \ -1 \le x \le 3.5
min⁡=f(−1)=−16\begin{aligned}\min &= f(-1) \\ &= -16\end{aligned}

בקטע סגור בודקים גם את הקצוות. הערך הקטן ביותר כאן נמצא בקצה, ולא בנקודה חשודה.

Exercises

Exercise 1

הפונקציה f(x)=x4−3x2f(x) = x^4 - 3x^2 היא:

  1. זוגית
  2. זוגית וגם אי-זוגית
  3. לא זוגית ולא אי-זוגית
  4. אי-זוגית
Show the answer and the solution

Answer: A זוגית

Worked solution:

f(−x)=(−x)4−3(−x)2=x4−3x2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 3(-x)^2 \\ &= x^4 - 3x^2 \\ &= f(x)\end{aligned}

חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית

הנכונה: זוגית. רק חזקות זוגיות, ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. «זוגית וגם אי-זוגית» מתקיים רק לפונקציה f(x)=0f(x) = 0.

Check the answer on elev

Exercise 2

הפונקציה f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x היא:

  1. זוגית
  2. אי אפשר לדעת בלי גרף
  3. לא זוגית ולא אי-זוגית
  4. אי-זוגית
Show the answer and the solution

Answer: D אי-זוגית

Worked solution:

f(−x)=−x3−2x=−(x3+2x)=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= -x^3 - 2x \\ &= -(x^3 + 2x) \\ &= -f(x)\end{aligned}

כל איבר מחליף סימן

הנכונה: אי-זוגית. רק חזקות אי-זוגיות, והגרף סימטרי ביחס לראשית. זוגיות נקבעת באלגברה, בלי גרף.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5. השלימו את נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר xx, הנקודה בעלת ה-xx החיובי: (( ____ ,0), 0)

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר yy: (0,(0, -5 )) ; עם ציר xx, הנקודה בעלת ה-xx החיובי: (( 5 ,0), 0)

Worked solution:

f(0)=−5f(0) = -5

ציר yy: מציבים אפס

x2−4x−5=(x−5)(x+1)=0 ⇒ x=5 x=−1\begin{aligned}x^2 - 4x - 5 &= (x-5)(x+1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= -1\end{aligned}

ציר xx: פותרים

שתי נקודות על ציר ה-xx: (5, 0)(5,\,0) ו-(−1, 0)(-1,\,0). מי שכתב (−5, 0)(-5,\,0) בלבל בין המספר החופשי לבין שורש.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=−x3+3x+1f(x) = -x^3 + 3x + 1. מהו שיעור ה-xx של נקודת המקסימום?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=−3x2+3=−3(x−1)(x+1)=0 ⇒ x=±1\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2 + 3 \\ &= -3(x-1)(x+1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(0)=3>0f′(2)=−9<0\begin{aligned}f'(0) &= 3 > 0 \\ \quad f'(2) &= -9 < 0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מפלוס למינוס

x=1x = 1

מקסימום

סביב x=−1x=-1 הסימן עובר ממינוס לפלוס (f′(−2)=−9f'(-2) = -9), ולכן שם מינימום. שתי נקודות חשודות, ורק הטבלה אומרת איזו היא איזו.

Check the answer on elev

Exercise 5

באותה פונקציה, f(x)=−x3+3x+1f(x) = -x^3 + 3x + 1: מהי הנקודה (−1, −1)(-1,\,-1)?

  1. נקודת מקסימום
  2. נקודה על הגרף שאינה קיצון
  3. נקודת חיתוך עם ציר xx
  4. נקודת מינימום
Show the answer and the solution

Answer: D נקודת מינימום

Worked solution:

f(−1)=1−3+1=−1\begin{aligned}f(-1) &= 1 - 3 + 1 \\ &= -1\end{aligned}

הנקודה על הגרף

f′(−1)=0f′(−2)=−9<0f′(0)=3>0\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \\ \quad f'(-2) &= -9 < 0 \\ \quad f'(0) &= 3 > 0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

הנכונה: נקודת מינימום. הגובה שלילי לא הופך נקודה למינימום: מה שקובע הוא החלפת הסימן של f′f'.

Check the answer on elev

Exercise 6

הגרף של f(x) = x³ − 12x
-4-3-2-101234-20-15-10-55101520xy

בשרטוט: הגרף של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. מיינו את הקטעים לפי ההתנהגות של ff.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • −2<x<2-2 < x < 2
  • 0<x<10 < x < 1
  • x<−2x < -2
  • x>2x > 2
Show the answer and the solution

Answer: x<−2x < -2 — ff עולה · −2<x<2-2 < x < 2 — ff יורדת · x>2x > 2 — ff עולה · 0<x<10 < x < 1 — ff יורדת

Worked solution:

f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 3(x-2)(x+2)\end{aligned}

נקודות חשודות ±2\pm 2

f′(−3)=15>0f′(0)=−12<0f′(3)=15>0\begin{aligned}f'(-3) &= 15 > 0 \\ \quad f'(0) &= -12 < 0 \\ \quad f'(3) &= 15 > 0\end{aligned}

עולה, יורדת, עולה

0<x<10 < x < 1 הוא חלק מהקטע −2<x<2-2 < x < 2, ולכן ff יורדת שם. בין −2-2 ל-22 הגרף יורד כל הזמן, גם כשהוא חוצה את ציר ה-xx ב-x=0x=0.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1 בקטע 0≤x≤50 \le x \le 5. א. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f′(x)=2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה בתוך הקטע

f(2)=−3f(0)=1f(5)=6\begin{aligned}f(2) &= -3 \\ \quad f(0) &= 1 \\ \quad f(5) &= 6\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות

max⁡=6 (x=5)\max = 6 \ (x = 5)

בקצה הימני

הנגזרת מוצאת רק את x=2x=2, ושם מינימום. הערך הגדול ביותר נמצא בקצה x=5x=5, ומי שלא בדק קצוות לא ימצא אותו.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1 בקטע 0≤x≤50 \le x \le 5. ב. מהו הערך הקטן ביותר של ff בקטע?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

f(2)=4−8+1=−3\begin{aligned}f(2) &= 4 - 8 + 1 \\ &= -3\end{aligned}

בנקודה החשודה x=2x=2

f(0)=1f(5)=6\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \quad f(5) &= 6\end{aligned}

הקצוות גבוהים יותר

min⁡=−3 (x=2)\min = -3 \ (x = 2)

בנקודה פנימית

כאן הערך הקטן ביותר הוא נקודת המינימום, כי היא בתוך הקטע. אם הקטע היה 3≤x≤53 \le x \le 5, המינימום היה בקצה x=3x=3.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x3f(x) = x^3 יש נקודת קיצון ב-x=0x=0, כי f′(0)=0f'(0) = 0.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=3x2 ⇒ f′(0)=0\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(−1)=3>0f′(1)=3>0\begin{aligned}f'(-1) &= 3 > 0 \\ \quad f'(1) &= 3 > 0\end{aligned}

אין החלפת סימן

הטענה לא נכונה. ff עולה משני צדי x=0x=0: הגרף רק משתטח לרגע. נגזרת אפס היא תנאי הכרחי לקיצון, לא מספיק.

Check the answer on elev

Exercise 10

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 וקבעו את סוגן.

  1. מקסימום (−1, 0)(-1,\,0) ומינימום (3, 0)(3,\,0)
  2. מקסימום (−1, 10)(-1,\,10) ומינימום (3, −22)(3,\,-22)
  3. מינימום (−1, 10)(-1,\,10) ומקסימום (3, −22)(3,\,-22)
  4. מינימום (3, −22)(3,\,-22) בלבד
Show the answer and the solution

Answer: B מקסימום (−1, 10)(-1,\,10) ומינימום (3, −22)(3,\,-22)

Worked solution:

f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x-3)(x+1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(−2)=15>0f′(0)=−9<0f′(4)=15>0\begin{aligned}f'(-2) &= 15 > 0 \\ \quad f'(0) &= -9 < 0 \\ \quad f'(4) &= 15 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

f(−1)=−1−3+9+5=10f(3)=27−27−27+5=−22\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 9 + 5 \\ &= 10 \\ \quad f(3) &= 27 - 27 - 27 + 5 \\ &= -22\end{aligned}

הגבהים מ-ff

הנכונה: מקסימום (−1, 10)(-1,\,10) ומינימום (3, −22)(3,\,-22). הגבהים 00 הם ערכי f′f' בנקודות, לא ערכי ff. ו«מינימום בלבד» שוכח את החשודה השנייה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade