The equation of the tangent

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כדי לכתוב משוואה של ישר צריך שני דברים, ורק שניים: שיפוע, ונקודה שהישר עובר דרכה. זה נכון לכל ישר בעולם — וגם למשיק.

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

משוואת ישר שעובר בנקודה (x0, y0)(x_0,\, y_0) ושיפועו mm

הנוסחה הזו מוכרת מהגיאומטריה האנליטית, והיא לא משתנה כאן. כל מה שנשאר הוא למלא שני מקומות: מהו mm, ומהי נקודת ההשקה (x0, y0)(x_0,\, y_0).

למה לא מספיק לדעת רק את השיפוע כדי לכתוב את משוואת המשיק?

Show the answer and the solution

כי לאותו שיפוע יש אינסוף ישרים מקבילים. הנקודה היא מה שבוחר מתוכם את הישר האחד שבאמת נוגע בגרף.

מאיפה מגיע כל אחד מהשניים

m=f′(x0)m = f'(x_0)

השיפוע — מהנגזרת. זה כל תפקידה כאן.

y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה — מהפונקציה עצמה.

זו הנקודה המרכזית של הפרק: שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה. לעקומה אין שיפוע אחד, ולכן אי אפשר סתם לקרוא את mm מהגרף — גוזרים, ומציבים את ה-xx של נקודת ההשקה.

f′(x)f'(x) הוא ביטוי, והוא משתנה מנקודה לנקודה. f′(x0)f'(x_0) הוא מספר. שיפוע של ישר הוא תמיד מספר — ולכן חייבים להציב.

נתון f(x)=x2f(x) = x^2. מהו שיפוע המשיק בנקודה שבה x0=5x_0 = 5?

Show the answer and the solution

f′(x)=2xf'(x) = 2x, ולכן f′(5)=10f'(5) = 10. השיפוע הוא 10 — מספר, לא ביטוי.

שלושת השלבים

11

הנקודה — מציבים x0x_0 בפונקציה ומקבלים y0=f(x0)y_0 = f(x_0).

22

השיפוע — גוזרים, מציבים x0x_0 בנגזרת ומקבלים m=f′(x0)m = f'(x_0).

33

הישר — מציבים את שניהם ב-y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) ומפשטים.

הסדר בין שני השלבים הראשונים לא חשוב, אבל ההפרדה ביניהם כן: הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. ערבוב בין השתיים הוא הטעות שחוזרת הכי הרבה במבחנים.

משיק בנקודה נתונה

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3.

f(3)=9−12+3=0\begin{aligned}f(3) &= 9 - 12 + 3 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת ההשקה היא (3, 0)(3,\, 0)

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

גוזרים

m=f′(3)=6−4=2\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע — מספר

y−0=2(x−3)y - 0 = 2(x - 3)

מציבים שיפוע ונקודה

y=2x−6y = 2x - 6

משוואת המשיק

בדוגמה יצא y0=0y_0 = 0. האם זה אומר שגם השיפוע אפס?

Show the answer and the solution

לא. y0=0y_0 = 0 אומר רק שנקודת ההשקה יושבת על ציר ה-xx. השיפוע יצא 2, והוא מגיע מהנגזרת בלבד.

כשהגובה שלילי

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 בנקודה שבה x0=4x_0 = 4.

f(4)=16−24+5=−3\begin{aligned}f(4) &= 16 - 24 + 5 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההשקה היא (4, −3)(4,\, -3)

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6

גוזרים

m=f′(4)=8−6=2\begin{aligned}m &= f'(4) \\ &= 8 - 6 \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−(−3)=2(x−4)y - (-3) = 2(x - 4)

שימו לב לסימן — מינוס על מינוס

y=2x−11y = 2x - 11

משוואת המשיק

משיק אופקי

ישר אופקי הוא ישר ששיפועו אפס. לכן משיק אופקי מתקבל בדיוק היכן ש-f′(x)=0f'(x) = 0 — וזו בדיוק נקודת הקיצון שכבר הכרנו. גם כאן חוזר אותו זוג: הנגזרת נותנת את ה-xx, והפונקציה נותנת את הגובה.

המשיק בנקודת הקיצון

מצאו את המשיק האופקי לגרף f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x.

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

גוזרים

2x−4=0⇒x=2\begin{aligned}2x - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי — שיפוע אפס

f(2)=4−8=−4\begin{aligned}f(2) &= 4 - 8 \\ &= -4\end{aligned}

הגובה מהמקורית

y=−4y = -4

ישר אופקי דרך (2, −4)(2,\, -4)

שתי הטעויות של המשיק.

y0=f′(x0)y_0 = f'(x_0)
y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה מגיע מהפונקציה המקורית. הנגזרת נותנת שיפוע, לא גובה.

m=f′(x)m = f'(x)
m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע חייב לצאת מספר. אם נשאר xx בתשובה — לא הצבתם את נקודת ההשקה.

Exercises

Exercise 1

מהו שיפוע המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x0=4x_0 = 4?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f′(x)=2xf'(x) = 2x

גוזרים

f′(4)=8f'(4) = 8

מציבים את x0x_0

השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודה — ולכן מספר.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי משוואת המשיק לגרף y=x2y = x^2 בנקודה (1, 1)(1,\, 1)?

  1. y=x−1y = x - 1
  2. y=2xy = 2x
  3. y=2x−1y = 2x - 1
  4. y=2x+1y = 2x + 1
Show the answer and the solution

Answer: C y=2x−1y = 2x - 1

Worked solution:

m=f′(1)=2\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע מהנגזרת

y−1=2(x−1)y - 1 = 2(x - 1)

שיפוע ונקודה

y=2x−1y = 2x - 1

מפשטים

בדיקה מהירה: הישר עובר ב-(1, 1)(1,\, 1), כי 2⋅1−1=12 \cdot 1 - 1 = 1.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x. מהו ה-yy של נקודת ההשקה כאשר x0=2x_0 = 2?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f(2)=8−4=4\begin{aligned}f(2) &= 8 - 4 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים במקורית

הגובה תמיד מגיע מ-ff, לעולם לא מ-f′f'.

Check the answer on elev

Exercise 4

באותה פונקציה f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x — מהו שיפוע המשיק ב-x0=2x_0 = 2?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2

גוזרים

f′(2)=12−2=10\begin{aligned}f'(2) &= 12 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

מציבים

אותה נקודה, שתי הצבות שונות: ff לגובה, f′f' לשיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 ונקודת השקה שבה x0=4x_0 = 4. השלימו:

הגובה הוא f(4)=f(4) = ____, ושיפוע המשיק הוא f′(4)=f'(4) = ____

Show the answer and the solution

Answer: הגובה הוא f(4)=f(4) = -3, ושיפוע המשיק הוא f′(4)=f'(4) = 2

Worked solution:

f(4)=16−24+5=−3\begin{aligned}f(4) &= 16 - 24 + 5 \\ &= -3\end{aligned}

הגובה

f′(x)=2x−6⇒f′(4)=2\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 6 \Rightarrow f'(4) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

שני המספרים האלה הם בדיוק מה שצריך כדי לכתוב את הישר.

Check the answer on elev

Exercise 6

מוצאים את המשיק ל-f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f′(x)=2xf'(x) = 2x
m=f′(3)=6\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}
y0=f′(3)=6\begin{aligned}y_0 &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: y0=f′(3)=6y_0 = f'(3) = 6 → y0=f(3)=9y_0 = f(3) = 9

Worked solution:

y0=f(3)=9\begin{aligned}y_0 &= f(3) \\ &= 9\end{aligned}

הגובה מהפונקציה

y−9=6(x−3)⇒y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

המשיק הנכון

הנגזרת שימשה כבר לשיפוע. היא לא יכולה לשמש גם לגובה.

Check the answer on elev

Exercise 7

כדי לכתוב את משוואת המשיק מספיק לדעת את השיפוע.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

בנוסחה יש גם mm וגם (x0, y0)(x_0,\, y_0)

y=2x+cy = 2x + c

בלי נקודה, cc נשאר חופשי — אינסוף ישרים מקבילים

השיפוע קובע את הכיוון בלבד. הנקודה קובעת איזה מבין הישרים המקבילים זה.

Check the answer on elev

Exercise 8

באיזה xx המשיק לגרף f(x)=x2−10xf(x) = x^2 - 10x הוא אופקי?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

f′(x)=2x−10f'(x) = 2x - 10

גוזרים

2x−10=0⇒x=5\begin{aligned}2x - 10 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

אופקי פירושו שיפוע אפס

משיק אופקי ונקודת קיצון הם אותה נקודה.

Check the answer on elev

Exercise 9

המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה (3, 9)(3,\, 9) חותך את ציר ה-yy. מהו ה-yy של נקודת החיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: -9

Worked solution:

m=f′(3)=6\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע

y−9=6(x−3)⇒y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=−9\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -9\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy

אחרי שיש משוואה של ישר, ממשיכים איתה כמו עם כל ישר אחר.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=x3f(x) = x^3 בנקודה שבה x0=1x_0 = 1?

  1. y=3x+1y = 3x + 1
  2. y=x+2y = x + 2
  3. y=3x−2y = 3x - 2
  4. y=3xy = 3x
Show the answer and the solution

Answer: C y=3x−2y = 3x - 2

Worked solution:

f(1)=1f(1) = 1

הנקודה (1, 1)(1,\, 1)

f′(x)=3x2⇒m=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 \Rightarrow m \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע

y−1=3(x−1)⇒y=3x−2\begin{aligned}y - 1 &= 3(x - 1) \Rightarrow y \\ &= 3x - 2\end{aligned}

מציבים ומפשטים

בדיקה: ב-x=1x = 1 הישר נותן 3−2=13 - 2 = 1, בדיוק גובה הגרף.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 2

Exercise 11

א. לגרף הפונקציה f(x)=x4−6xf(x)=x^4-6x יש משיק ששיפועו 2626. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת ההשקה.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=4x3−6f'(x)=4x^3-6

גוזרים

4x3−6=26 ⇒ x3=8\begin{aligned}4x^3-6 &= 26 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 8\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת

x=2x=2

השורש השלישי של 88

נקודת ההשקה ב-x=2x=2. ל-x3=8x^3=8 יש פתרון אחד בלבד, ולכן יש משיק אחד בלבד בשיפוע הזה.

Check the answer on elev

Exercise 12

א. לגרף הפונקציה f(x)=x4−6xf(x)=x^4-6x יש משיק ששיפועו 2626, ונקודת ההשקה שלו ב-x=2x=2. מצאו את משוואת המשיק.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= 26 x+x+ -48

Worked solution:

f(2)=16−12=4\begin{aligned}f(2) &= 16-12 \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה: (2, 4)(2,\,4) — מ-ff, לא מ-f′f'

y−4=26(x−2)y-4=26(x-2)

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

y=26x−48y=26x-48

פותחים סוגריים

משוואת המשיק: y=26x−48y=26x-48. בדיקה: 26⋅2−48=426 \cdot 2-48=4 ✓.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade