Product rule and composite function

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ניחוש טבעי: הנגזרת של מכפלה היא מכפלת הנגזרות. נבדוק על x2⋅x3x^2 \cdot x^3. לפי הניחוש: 2x⋅3x2=6x32x \cdot 3x^2 = 6x^3. אבל x2⋅x3=x5x^2 \cdot x^3 = x^5, והנגזרת שלה היא 5x45x^4. הניחוש נכשל, ולא בגלל טעות חישוב.

כלל המכפלה

(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

גוזרים את הראשון וכופלים בשני, ועוד הראשון כפול נגזרת השני

בדיקה על x2⋅x3x^2 \cdot x^3: 2x⋅x3+x2⋅3x2=2x4+3x4=5x42x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4. בדיוק הנגזרת של x5x^5. הכלל עובד גם כשאפשר לפתוח סוגריים, וגם כשלא נוח.

מכפלה של שני פולינומים

גזרו: f(x)=(x2+1)(x3−2x)f(x) = (x^2+1)(x^3-2x).

f′=(x2+1)′⋅(x3−2x)+(x2+1)⋅(x3−2x)′f' = (x^2+1)' \cdot (x^3-2x) + (x^2+1) \cdot (x^3-2x)'

כלל המכפלה

=2x(x3−2x)+(x2+1)(3x2−2)= 2x(x^3-2x) + (x^2+1)(3x^2-2)

גוזרים כל גורם בנפרד

=2x4−4x2+3x4−2x2+3x2−2= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2

פותחים סוגריים

f′(x)=5x4−3x2−2f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2

מכנסים

(x2+1)(x3−2x)=x5−x3−2x ⇒ 5x4−3x2−2 ✓(x^2+1)(x^3-2x) = x^5 - x^3 - 2x \ \Rightarrow \ 5x^4 - 3x^2 - 2 \ \checkmark

בדיקה: פותחים סוגריים לפני הגזירה ומקבלים אותו דבר

גזרו את f(x)=x(x+3)f(x) = x(x+3) בשתי דרכים: בכלל המכפלה, ואחרי פתיחת סוגריים.

Show the answer and the solution

כלל המכפלה: 1⋅(x+3)+x⋅1=2x+31 \cdot (x+3) + x \cdot 1 = 2x+3. פתיחת סוגריים: x2+3xx^2+3x, והנגזרת 2x+32x+3. אותה תשובה, וכך תמיד: שתי הדרכים חייבות להסכים.

כשאפשר לפתוח סוגריים בקלות, פתחו וגזרו איבר-איבר. כלל המכפלה נחוץ כשהפתיחה ארוכה, וכשגורם אחד הוא בעצמו חזקה של סוגריים, כמו x2(x−1)3x^2(x-1)^3.

פונקציה בתוך פונקציה — שני שלבים

מהי הנגזרת של (2x+1)3(2x+1)^3? אפשר לפתוח את הסוגריים, אבל (2x+1)10(2x+1)^{10} כבר אי אפשר. הפונקציה בנויה משתי שכבות: פנימית 2x+12x+1, וחיצונית «בחזקת 3». גוזרים בשני שלבים, ולא יותר.

1:3(2x+1)21: \quad 3(2x+1)^2

גוזרים את החיצונית כאילו הסוגריים הם xx: המעריך יורד ומכפיל, ומה שבפנים נשאר כמו שהוא.

2:3(2x+1)2⋅2=6(2x+1)22: \quad 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2

כופלים בנגזרת הפנימית. הנגזרת של 2x+12x+1 היא 22.

((ax+b)n)′=n(ax+b)n−1⋅a(g(x)n)′=n⋅g(x)n−1⋅g′(x)\begin{aligned}\big((ax+b)^n\big)' &= n(ax+b)^{n-1} \cdot a \qquad \big(g(x)^n\big)' \\ &= n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)\end{aligned}

החיצונית נגזרת ראשונה, ואז כופלים בנגזרת של מה שבפנים

((3x−2)4)′=4(3x−2)3⋅3=12(3x−2)3\begin{aligned}\big((3x-2)^4\big)' &= 4(3x-2)^3 \cdot 3 \\ &= 12(3x-2)^3\end{aligned}

פנימית ממעלה ראשונה: כופלים במקדם של xx

((5−x)2)′=2(5−x)⋅(−1)=−2(5−x)\begin{aligned}\big((5-x)^2\big)' &= 2(5-x) \cdot (-1) \\ &= -2(5-x)\end{aligned}

הנגזרת הפנימית היא −1-1, והסימן משתנה

((x2−1)3)′=3(x2−1)2⋅2x=6x(x2−1)2\begin{aligned}\big((x^2-1)^3\big)' &= 3(x^2-1)^2 \cdot 2x \\ &= 6x(x^2-1)^2\end{aligned}

פנימית ריבועית: הנגזרת הפנימית היא 2x2x, והיא נכנסת למכפלה

נגזרת של חזקה של סוגריים, ושיפוע בנקודה

נתונה f(x)=(x2−4x)3f(x) = (x^2-4x)^3. מצאו את f′(x)f'(x) ואת שיפוע המשיק בנקודה שבה x=1x=1.

f′(x)=3(x2−4x)2⋅(2x−4)f'(x) = 3(x^2-4x)^2 \cdot (2x-4)

החיצונית: 3(…)23(\ldots)^2; הפנימית: 2x−42x-4

x=1:1−4=−32−4=−2\begin{aligned}x &= 1: \quad 1-4 \\ &= -3 \\ \quad 2-4 &= -2\end{aligned}

מציבים בפנימית ובנגזרתה

f′(1)=3⋅(−3)2⋅(−2)=3⋅9⋅(−2)=−54\begin{aligned}f'(1) &= 3 \cdot (-3)^2 \cdot (-2) \\ &= 3 \cdot 9 \cdot (-2) \\ &= -54\end{aligned}

שיפוע המשיק ב-x=1x=1

מהי הנגזרת של f(x)=(x3+1)2f(x) = (x^3+1)^2?

Show the answer and the solution

2(x3+1)⋅3x2=6x2(x3+1)2(x^3+1) \cdot 3x^2 = 6x^2(x^3+1). בדיקה בפתיחת סוגריים: x6+2x3+1x^6+2x^3+1, והנגזרת 6x5+6x2=6x2(x3+1)6x^5+6x^2 = 6x^2(x^3+1) ✓.

למה ((2x+1)3)′\big((2x+1)^3\big)' אינו 3(2x+1)23(2x+1)^2 בלבד?

Show the answer and the solution

כי בפנים לא יושב xx אלא 2x+12x+1, שמשתנה פי 2 מהר יותר מ-xx. השלב השני, הכפל ב-22, הוא מה שמתקן את זה. בדיקה על (2x+1)2=4x2+4x+1(2x+1)^2 = 4x^2+4x+1: הנגזרת 8x+4=4(2x+1)8x+4 = 4(2x+1), ולא 2(2x+1)2(2x+1).

שלוש הטעויות של הפרק.

(x2⋅x3)′=2x⋅3x2(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2
(x2⋅x3)′=2x⋅x3+x2⋅3x2=5x4\begin{aligned}(x^2 \cdot x^3)' &= 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 \\ &= 5x^4\end{aligned}

מכפלת הנגזרות אינה נגזרת המכפלה. בדיקה: x5x^5 נותנת 5x45x^4, לא 6x36x^3.

((2x+1)3)′=3(2x+1)2\big((2x+1)^3\big)' = 3(2x+1)^2
((2x+1)3)′=3(2x+1)2⋅2\big((2x+1)^3\big)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2

שכחו את השלב השני: הכפל בנגזרת הפנימית.

((x2−1)3)′=3(2x)2\big((x^2-1)^3\big)' = 3(2x)^2
((x2−1)3)′=3(x2−1)2⋅2x\big((x^2-1)^3\big)' = 3(x^2-1)^2 \cdot 2x

גזרו את הפנימית בתוך הסוגריים. בשלב הראשון מה שבפנים נשאר כמו שהוא; הנגזרת הפנימית מכפילה מבחוץ.

Exercises

Exercise 1

גזרו בעזרת כלל המכפלה: f(x)=x2(x+1)f(x) = x^2(x+1)

  1. 3x2+2x3x^2 + 2x
  2. 2x⋅12x \cdot 1
  3. 2x2x
  4. 3x23x^2
Show the answer and the solution

Answer: A 3x2+2x3x^2 + 2x

Worked solution:

f′=2x⋅(x+1)+x2⋅1f' = 2x \cdot (x+1) + x^2 \cdot 1

כלל המכפלה

=2x2+2x+x2=3x2+2x= 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x

פותחים ומכנסים

x3+x2 ⇒ 3x2+2x ✓x^3 + x^2 \ \Rightarrow \ 3x^2 + 2x \ \checkmark

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: 3x2+2x3x^2 + 2x. 2x⋅12x \cdot 1 הוא מכפלת הנגזרות, הניחוש שנכשל. 3x23x^2 שוכח את האיבר השני של הכלל.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=(x+2)(x2−3)f(x) = (x+2)(x^2-3). חשבו את f′(1)f'(1).

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f′(x)=1⋅(x2−3)+(x+2)⋅2xf'(x) = 1 \cdot (x^2-3) + (x+2) \cdot 2x

כלל המכפלה

f′(1)=(1−3)+3⋅2=−2+6=4\begin{aligned}f'(1) &= (1-3) + 3 \cdot 2 \\ &= -2 + 6 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=1x=1 בלי לפתוח סוגריים

f(x)=x3+2x2−3x−6 ⇒ f′(1)=3+4−3=4 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 + 2x^2 - 3x - 6 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 3 + 4 - 3 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

אחרי הגזירה אפשר להציב מיד, בלי לפשט: (−2)+6=4(-2) + 6 = 4. הפישוט הוא רק בדיקה.

Check the answer on elev

Exercise 3

גזרו: f(x)=(3x+1)4f(x) = (3x+1)^4

  1. 4(3x+1)34(3x+1)^3
  2. 12(3x+1)312(3x+1)^3
  3. 12(3x+1)412(3x+1)^4
  4. 4⋅334 \cdot 3^3
Show the answer and the solution

Answer: B 12(3x+1)312(3x+1)^3

Worked solution:

4(3x+1)34(3x+1)^3

שלב 1: החיצונית, הסוגריים נשארים

4(3x+1)3⋅3=12(3x+1)34(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3

שלב 2: כופלים בנגזרת הפנימית 33

הנכונה: 12(3x+1)312(3x+1)^3. 4(3x+1)34(3x+1)^3 שוכח את השלב השני. 12(3x+1)412(3x+1)^4 לא הוריד את המעריך.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=(2x−5)3f(x) = (2x-5)^3. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=3x=3?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f′(x)=3(2x−5)2⋅2=6(2x−5)2\begin{aligned}f'(x) &= 3(2x-5)^2 \cdot 2 \\ &= 6(2x-5)^2\end{aligned}

שני השלבים

f′(3)=6⋅(6−5)2=6⋅1=6\begin{aligned}f'(3) &= 6 \cdot (6-5)^2 \\ &= 6 \cdot 1 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים

בלי הכפל ב-22 מקבלים 33: חצי מהשיפוע האמיתי.

Check the answer on elev

Exercise 5

גזרו: f(x)=(x2−1)3f(x) = (x^2-1)^3

  1. 6x(x2−1)36x(x^2-1)^3
  2. 3(2x)23(2x)^2
  3. 6x(x2−1)26x(x^2-1)^2
  4. 3(x2−1)23(x^2-1)^2
Show the answer and the solution

Answer: C 6x(x2−1)26x(x^2-1)^2

Worked solution:

3(x2−1)23(x^2-1)^2

שלב 1: החיצונית

3(x2−1)2⋅2x=6x(x2−1)23(x^2-1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2-1)^2

שלב 2: הנגזרת הפנימית 2x2x מכפילה

הנכונה: 6x(x2−1)26x(x^2-1)^2. 3(x2−1)23(x^2-1)^2 בלי הפנימית; 3(2x)23(2x)^2 גזר את הפנימית בתוך הסוגריים; 6x(x2−1)36x(x^2-1)^3 לא הוריד את המעריך.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=(x2+3)2f(x) = (x^2+3)^2. חשבו את f′(1)f'(1).

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

f′(x)=2(x2+3)⋅2x=4x(x2+3)\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2+3) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2+3)\end{aligned}

שני השלבים

f′(1)=4⋅1⋅4=16\begin{aligned}f'(1) &= 4 \cdot 1 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

מציבים

f(x)=x4+6x2+9 ⇒ f′(1)=4+12=16 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^4 + 6x^2 + 9 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 4 + 12 \\ &= 16 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בפתיחת סוגריים

כאן אפשר גם לפתוח סוגריים, ושתי הדרכים נותנות 1616. מי שקיבל 88 שכח את הכפל ב-2x2x.

Check the answer on elev

Exercise 7

גוזרים את f(x)=x3(x−2)f(x) = x^3(x-2) בכלל המכפלה. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f(x)=x3(x−2)f(x) = x^3(x-2)
f′(x)=3x2⋅1f'(x) = 3x^2 \cdot 1
f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
Show the answer and the solution

Answer: f′(x)=3x2⋅1f'(x) = 3x^2 \cdot 1 → f′(x)=3x2(x−2)+x3⋅1f'(x) = 3x^2(x-2) + x^3 \cdot 1

Worked solution:

f′(x)=3x2(x−2)+x3=4x3−6x2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2(x-2) + x^3 \\ &= 4x^3 - 6x^2\end{aligned}

כלל המכפלה, ואז פישוט

f(x)=x4−2x3 ⇒ f′(x)=4x3−6x2 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^4 - 2x^3 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 4x^3 - 6x^2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

השורה השנייה כפלה נגזרת בנגזרת. הכלל הוא סכום של שתי מכפלות: כל פעם גוזרים גורם אחד בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של f(x)=(x2+1)2f(x) = (x^2+1)^2 היא 2(x2+1)2(x^2+1).

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=2(x2+1)⋅2x=4x(x2+1)\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2+1) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2+1)\end{aligned}

שני השלבים

f(x)=x4+2x2+1 ⇒ f′(x)=4x3+4x=4x(x2+1)\begin{aligned}f(x) &= x^4 + 2x^2 + 1 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 4x^3 + 4x \\ &= 4x(x^2+1)\end{aligned}

בדיקה בפתיחת סוגריים

הטענה לא נכונה. 2(x2+1)2(x^2+1) הוא רק השלב הראשון. הנגזרת הפנימית 2x2x חסרה, ובלעדיה התוצאה שגויה בכל x≠12x \ne \frac{1}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=(x2−2x)3f(x) = (x^2-2x)^3. השלימו.

f(3)=f(3)= ____ , f′(3)=f'(3)= ____

Show the answer and the solution

Answer: f(3)=f(3)= 27 , f′(3)=f'(3)= 108

Worked solution:

f(3)=(9−6)3=33=27\begin{aligned}f(3) &= (9-6)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27\end{aligned}

הגובה, מהפונקציה

f′(x)=3(x2−2x)2⋅(2x−2)f'(x) = 3(x^2-2x)^2 \cdot (2x-2)

שני השלבים

f′(3)=3⋅32⋅4=108\begin{aligned}f'(3) &= 3 \cdot 3^2 \cdot 4 \\ &= 108\end{aligned}

9−6=39-6=3 ו-6−2=46-2=4

שני מספרים שונים מאותה נקודה: 2727 הוא הגובה, 108108 הוא השיפוע. ומי שקיבל 2727 גם בשיפוע שכח לכפול ב-2x−22x-2.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=(x−1)(x2+2)f(x) = (x-1)(x^2+2). מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x=2?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

f′(x)=1⋅(x2+2)+(x−1)⋅2xf'(x) = 1 \cdot (x^2+2) + (x-1) \cdot 2x

כלל המכפלה

f′(2)=6+1⋅4=10\begin{aligned}f'(2) &= 6 + 1 \cdot 4 \\ &= 10\end{aligned}

מציבים

f(x)=x3−x2+2x−2 ⇒ f′(2)=12−4+2=10 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - x^2 + 2x - 2 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12 - 4 + 2 \\ &= 10 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שיפוע המשיק הוא f′(2)f'(2), לא f(2)=6f(2) = 6. הגובה 66 ישמש רק כשיבקשו את משוואת המשיק.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade