Introduction to calculus

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לישר יש שיפוע אחד לכל אורכו. לעקומה — שיפוע שונה בכל נקודה. הנגזרת היא הכלי שנותן את השיפוע הזה.

מבחינה גרפית: הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק לגרף באותה נקודה — הישר שעובר באותה נקודה ובאותו כיוון כמו הגרף. הוא יכול גם לחצות את הגרף: המשיק ל-y=x3y = x^3 בנקודה (0, 0)(0,\,0) עושה זאת.

כללי הגזירה

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

הכלל המרכזי — המעריך יורד ומכפיל.

(c)′=0(c)' = 0

נגזרת של מספר קבוע היא אפס — קו אופקי, שיפוע אפס.

(cx)′=c(cx)' = c

נגזרת של cxcx היא cc — זהו שיפוע הישר.

(f+g)′=f′+g′(f−g)′=f′−g′\begin{aligned}(f + g)' &= f' + g' \\ \quad (f - g)' &= f' - g'\end{aligned}

סכום והפרש: גוזרים איבר-איבר, והסימן שבין האיברים נשאר.

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

מקדם קבוע נשאר במקומו ומכפיל את הנגזרת: (4x3)′=4⋅3x2=12x2(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2.

(x)′=1(x0)′=(1)′=0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ \quad (x^0)' &= (1)' \\ &= 0\end{aligned}

שני קצוות של אותו כלל: x=x1x = x^1 נותן 1⋅x0=11 \cdot x^0 = 1, וקבוע נותן אפס.

מהי הנגזרת של f(x)=x4−xf(x) = x^4 - x?

Show the answer and the solution

f′(x)=4x3−1f'(x) = 4x^3 - 1. ההפרש נשאר הפרש, ו-(x)′=1(x)' = 1: הנגזרת של −x-x היא −1-1, לא אפס.

גזירה בסיסית

גזרו: f(x)=x3−4x2+5x−7f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 7.

(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

המעריך 3 יורד ומכפיל

(−4x2)′=−8x(-4x^2)' = -8x

ו-2 מכפיל את 4−

(5x)′=5(5x)' = 5

שיפוע קבוע

(−7)′=0(-7)' = 0

קבוע נעלם

f′(x)=3x2−8x+5f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

הנגזרת

מקדם, חזקה גבוהה והפרש

גזרו: f(x)=2x5−3x2+x−8f(x) = 2x^5 - 3x^2 + x - 8.

(2x5)′=2⋅5x4=10x4\begin{aligned}(2x^5)' &= 2 \cdot 5x^4 \\ &= 10x^4\end{aligned}

המקדם 22 נשאר, המעריך 55 יורד ומכפיל

(−3x2)′=−6x(-3x^2)' = -6x

הסימן נשאר עם האיבר

(x)′=1(−8)′=0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ \quad (-8)' &= 0\end{aligned}

xx הוא x1x^1; הקבוע נעלם

f′(x)=10x4−6x+1f'(x) = 10x^4 - 6x + 1

מחברים את ארבע הנגזרות באותו סדר

למה זה שימושי — נקודות קיצון

במקסימום או במינימום הגרף לרגע אחד לא עולה ולא יורד — כלומר המשיק אופקי, והשיפוע אפס.

f′(x)=0f'(x) = 0

לכן כדי למצוא נקודות קיצון: גוזרים, משווים לאפס, פותרים — ומציבים בפונקציה המקורית כדי לקבל את הגובה.

להבחין בין מקסימום למינימום: בודקים את סימן הנגזרת משני צדי הנקודה. מפלוס למינוס — מקסימום. ממינוס לפלוס — מינימום.

נקודת קיצון

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5.

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6

גוזרים

2x−6=0⇒x=3\begin{aligned}2x - 6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים לאפס

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים במקורית

(3, −4) מינימום(3,\, -4) \ \text{מינימום}

כי a>0a > 0

שתי הטעויות של הנגזרת.

(x3)′=3x3(x^3)' = 3x^3
3x23x^2

המעריך יורד באחד אחרי שהוא מכפיל.

y0=f′(3)y_0 = f'(3)
y0=f(3)y_0 = f(3)

הגובה מגיע מהפונקציה המקורית. הנגזרת בקיצון שווה אפס תמיד.

מהי הנגזרת של f(x)=5x4f(x) = 5x^4?

Show the answer and the solution

f′(x)=20x3f'(x) = 20x^3 — מורידים את המעריך למקדם ומחסרים 1. נגזרת של קבוע היא אפס.

מה המשמעות הגאומטרית של f′(a)f'(a)?

Show the answer and the solution

שיפוע המשיק לגרף בנקודה x=ax = a. זו כל הסיבה שהנגזרת מוצאת קיצון: בקיצון המשיק אופקי.

Exercises

Exercise 1

גזרו: f(x)=x3f(x) = x^3

  1. 3x3x
  2. x2x^2
  3. 3x23x^2
  4. 3x33x^3
Show the answer and the solution

Answer: C 3x23x^2

Worked solution:

nxn−1n x^{n-1}

הכלל

3x23x^2

המעריך יורד אחרי שהכפיל

שני שלבים: מכפיל, ואז יורד באחד.

Check the answer on elev

Exercise 2

גזרו: f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5

  1. 2x−6x2x - 6x
  2. 2x−62x - 6
  3. x−6x - 6
  4. 2x−6+52x - 6 + 5
Show the answer and the solution

Answer: B 2x−62x - 6

Worked solution:

(x2)′=2x(x^2)' = 2x

ראשון

(−6x)′=−6(-6x)' = -6

שני

(5)′=0(5)' = 0

הקבוע נעלם

גוזרים איבר-איבר.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו ה-xx של נקודת הקיצון של f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2x−6=02x - 6 = 0

משווים נגזרת לאפס

x=3x = 3

פותרים

בקיצון המשיק אופקי — שיפוע אפס.

Check the answer on elev

Exercise 4

באותה פונקציה — מהו ה-yy של נקודת הקיצון?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים במקורית

הנגזרת בקיצון שווה אפס — היא לא נותנת את הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 5

גזרו f(x)=5x+12f(x) = 5x + 12 ומצאו את f′(2)f'(2).

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

f′(x)=5f'(x) = 5

נגזרת של ישר היא השיפוע

f′(2)=5f'(2) = 5

קבועה בכל נקודה

לישר אותו שיפוע בכל מקום — ולכן הנגזרת קבועה.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהי הנגזרת של f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה x=3x = 3?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f′(x)=2x  ⇒  f′(3)=6\begin{aligned}f'(x) &= 2x \;\Rightarrow\; f'(3) \\ &= 6\end{aligned}

גוזרים — ואז מציבים

Check the answer on elev

Exercise 7

גזרו: (3x2)(3x^2) בגרש =

____x.

Show the answer and the solution

Answer: 6x.

Worked solution:

(3x2)′=6x(3x^2)' = 6x

המקדם נשאר, המעריך יורד

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו שיפוע המשיק לגרף y=x2−4xy = x^2 - 4x בנקודה שבה x=3x = 3?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

y′=2x−4  ⇒  y′(3)=2\begin{aligned}y' &= 2x - 4 \;\Rightarrow\; y'(3) \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע המשיק — ערך הנגזרת

Check the answer on elev

Exercise 9

גזירה עם שגיאה — מצאו את השורה:

f(x)=x3f(x) = x^3
f′(x)=3x3f'(x) = 3x^3
Show the answer and the solution

Answer: f′(x)=3x3f'(x) = 3x^3 → f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

Worked solution:

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

המעריך יורד באחד

המעריך יורד מקדימה ויורד באחד: משלוש לשתיים.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהי הנגזרת של פונקציה קבועה, כמו f(x)=7f(x) = 7?

  1. 7
  2. 1
  3. 7x7x
  4. 0
Show the answer and the solution

Answer: D 0

Worked solution:

(7)′=0(7)' = 0

קבוע לא משתנה — קצב אפס

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade