Rate of change — from the secant to the tangent

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אוטובוס בכביש 6 נוסע במהירות קבועה: בכל שעה הוא מתקדם 90 ק"מ, ולא משנה באיזו שעה מסתכלים. מכונית שיוצאת מרמזור מאיצה: בשנייה הראשונה היא מתקדמת מעט, בשנייה השלישית הרבה יותר. לשני הסיפורים יש גרף, ושני הגרפים נראים אחרת.

ישר: אותה מדרגה בכל צעד
+2+2012340246810xy
הגרף של y=2x+1y=2x+1. כל צעד של 11 ימינה מעלה את הגרף ב-22, תמיד. זה השיפוע של הישר, והוא אותו מספר בכל מקום.
עקומה: המדרגות גדלות
+1+3+5+7012340246810121416xy
הגרף של y=x2y=x^2. אותם צעדים של 11 ימינה, אבל המדרגות הן 11, 33, 55, 77: קצב השינוי משתנה מנקודה לנקודה. לעקומה אין שיפוע אחד.

בגרף של y=x2y=x^2, כמה תעלה המדרגה בין x=4x=4 ל-x=5x=5?

Show the answer and the solution

25−16=925-16=9. המדרגות הן המספרים האי-זוגיים: 1,3,5,7,91,3,5,7,9. הגרף עולה מהר יותר ויותר.

קצב שינוי ממוצע — שיפוע המיתר

ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

קצב השינוי הממוצע של ff בקטע מ-aa עד bb

לוקחים שתי נקודות על הגרף, A=(a, f(a))A=(a,\,f(a)) ו-B=(b, f(b))B=(b,\,f(b)), ומחשבים את שיפוע הישר שעובר דרכן. הישר הזה נקרא מיתר, והשיפוע שלו הוא קצב השינוי הממוצע בקטע. על ישר המספר הזה קבוע; על עקומה הוא תלוי בקטע שבחרנו.

קצב שינוי ממוצע של x2x^2

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע מ-x=1x=1 עד x=3x=3.

f(1)=1f(3)=9\begin{aligned}f(1) &= 1 \\ \quad f(3) &= 9\end{aligned}

הגבהים בשני הקצוות

9−13−1=82=4\begin{aligned}\frac{9-1}{3-1} &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

שיפוע המיתר בין (1, 1)(1,\,1) ל-(3, 9)(3,\,9)

ומהו קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע מ-x=0x=0 עד x=2x=2?

Show the answer and the solution

4−02−0=2\frac{4-0}{2-0}=2. קטע אחר, מספר אחר. זה ההבדל מישר, שבו כל קטע נותן אותו שיפוע.

מהמיתר אל המשיק — הנגזרת בנקודה

ומה אם רוצים את הקצב בנקודה אחת, לא בקטע? משאירים את AA במקומה ומקרבים אליה את BB. המיתר נעשה קצר יותר ויותר, והשיפוע שלו מתקרב למספר אחד. הישר שאליו המיתר «מתיישר» נקרא משיק, והמספר הזה הוא הנגזרת של ff בנקודה aa, ומסמנים אותו f′(a)f'(a).

h→0 ⇒ f(a+h)−f(a)h→f′(a)h \to 0 \ \Rightarrow \ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)

ההגדרה. כש-hh שואף לאפס, שיפוע המיתר שואף למספר אחד, וזו הנגזרת.

f′(a)=mf'(a) = m

המשמעות הגאומטרית. f′(a)f'(a) הוא שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=ax=a.

f′(a)>0,f′(a)<0f'(a) > 0 ,\quad f'(a) < 0

הסימן. נגזרת חיובית: הגרף עולה שם. נגזרת שלילית: הגרף יורד שם.

הנגזרת של x2x^2 בנקודה x=3x=3, בלי שום כלל

מצאו את f′(3)f'(3) עבור f(x)=x2f(x)=x^2 מתוך שיפוע המיתר.

A=(3, 9)B=(3+h, (3+h)2)\begin{aligned}A &= (3,\,9) \\ \quad B &= (3+h,\,(3+h)^2)\end{aligned}

נקודה קבועה ונקודה קרובה

(3+h)2−9h=9+6h+h2−9h=6h+h2h\begin{aligned}\frac{(3+h)^2-9}{h} &= \frac{9+6h+h^2-9}{h} \\ &= \frac{6h+h^2}{h}\end{aligned}

שיפוע המיתר, לפי נוסחת הכפל המקוצר

=6+h → h→0  6=6+h \ \xrightarrow{\ h \to 0\ } \ 6

ככל ש-hh קטן, השיפוע מתקרב ל-66

f′(3)=6f'(3)=6

שיפוע המשיק בנקודה (3, 9)(3,\,9)

לפי אותו חישוב, למה שווה f′(a)f'(a) עבור f(x)=x2f(x)=x^2 בנקודה כללית aa?

Show the answer and the solution

(a+h)2−a2h=2ah+h2h=2a+h→2a\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h \to 2a. לכן f′(a)=2af'(a)=2a: ב-x=1x=1 זה 22, ב-x=3x=3 זה 66. בשיעור הבא זה יהפוך לכלל.

שלוש מילים, שלושה דברים שונים: מיתר עובר דרך שתי נקודות על הגרף. משיק נוגע בגרף בנקודה אחת. נגזרת היא מספר: שיפוע המשיק.

שתי הטעויות של ההתחלה.

f′(2)=f(3)−f(1)3−1f'(2) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1}
f(2+h)−f(2)h→f′(2)\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \to f'(2)

שיפוע של מיתר הוא קצב ממוצע בקטע. הנגזרת היא מה שהשיפוע הזה מתקרב אליו כשהקטע מתכווץ. ב-x2x^2 הם יוצאים שווים במקרה; בפונקציה אחרת לא.

f′(3)=y=6x−9\begin{aligned}f'(3) &= y \\ &= 6x - 9\end{aligned}
f′(3)=6f'(3) = 6

הנגזרת בנקודה היא מספר, השיפוע. המשיק הוא ישר, והמשוואה שלו תגיע בשיעור נפרד.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=3x−2f(x)=3x-2. מהו קצב השינוי הממוצע של ff בקטע מ-x=1x=1 עד x=5x=5?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(1)=1f(5)=13\begin{aligned}f(1) &= 1 \\ \quad f(5) &= 13\end{aligned}

הגבהים בקצוות

13−15−1=124=3\begin{aligned}\frac{13-1}{5-1} &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

שיפוע המיתר

על ישר קצב השינוי הוא השיפוע, 33, בכל קטע שנבחר. אין צורך לחשב, אבל החישוב מאשר.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x2f(x)=x^2. מהו קצב השינוי הממוצע של ff בקטע מ-x=2x=2 עד x=4x=4?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f(2)=4f(4)=16\begin{aligned}f(2) &= 4 \\ \quad f(4) &= 16\end{aligned}

הגבהים בקצוות

16−44−2=122=6\begin{aligned}\frac{16-4}{4-2} &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

שיפוע המיתר

מי שמחשב 164=4\frac{16}{4}=4 חילק גובה במיקום. מחלקים הפרש גבהים בהפרש מיקומים.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון הישר y=−2x+7y=-2x+7. מהו קצב השינוי שלו בקטע מ-x=1x=1 עד x=10x=10?

  1. תלוי בנקודות שבוחרים
  2. −2-2
  3. 22
  4. 77
Show the answer and the solution

Answer: B −2-2

Worked solution:

f(1)=5f(10)=−13\begin{aligned}f(1) &= 5 \\ \quad f(10) &= -13\end{aligned}

הגבהים

−13−510−1=−189=−2\begin{aligned}\frac{-13-5}{10-1} &= \frac{-18}{9} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע המיתר: השיפוע של הישר

הנכונה: −2-2. על ישר הקצב אינו תלוי בנקודות. 77 הוא הגובה ב-x=0x=0, לא קצב. 22 שוכח את הסימן: הישר יורד.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x2+1f(x)=x^2+1. מהו קצב השינוי הממוצע של ff בקטע מ-x=0x=0 עד x=3x=3?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(0)=1f(3)=10\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \quad f(3) &= 10\end{aligned}

הגבהים בקצוות

10−13−0=3\frac{10-1}{3-0}=3

שיפוע המיתר

ה-+1+1 מרים את כל הגרף, אבל לא משנה את השיפוע: הוא מתבטל בהפרש f(3)−f(0)f(3)-f(0).

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x2f(x)=x^2. שיפוע המיתר בין A=(2, 4)A=(2,\,4) לבין B=(2+h, (2+h)2)B=(2+h,\,(2+h)^2) שווה ל-4+h4+h. השלימו.

כאשר hh שואף לאפס, השיפוע שואף ל- ____ ; לכן f′(2)=f'(2)= ____

Show the answer and the solution

Answer: כאשר hh שואף לאפס, השיפוע שואף ל- 4 ; לכן f′(2)=f'(2)= 4

Worked solution:

(2+h)2−4h=4h+h2h=4+h\begin{aligned}\frac{(2+h)^2-4}{h} &= \frac{4h+h^2}{h} \\ &= 4+h\end{aligned}

שיפוע המיתר

4+h→44+h \to 4

hh קטן, והתוספת נעלמת

f′(2)=4f'(2)=4

שיפוע המשיק ב-(2, 4)(2,\,4)

4+h4+h הוא שיפוע של מיתר, ומשתנה עם hh. 44 הוא המספר האחד שהמיתרים מתקרבים אליו: הנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע מ-x=1x=1 עד x=3x=3 שווה בדיוק ל-f′(2)f'(2).

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

9−13−1=4\frac{9-1}{3-1}=4

שיפוע המיתר

f′(2)=2⋅2=4\begin{aligned}f'(2) &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

הנגזרת באמצע הקטע, לפי f′(a)=2af'(a)=2a

הטענה נכונה. בפרבולה שיפוע המיתר שווה לנגזרת באמצע הקטע. זו תכונה של x2x^2 דווקא, לא כלל כללי: לא להסיק ממנה שמיתר ונגזרת הם אותו דבר.

Check the answer on elev

Exercise 7

הגרף של f(x) = x² − 2x
ABC-2-101234-2-11234xy

בשרטוט: הגרף של f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x ושלוש נקודות עליו. באיזו נקודה הנגזרת שלילית?

  1. בנקודה AA
  2. בנקודה CC
  3. בנקודה BB
  4. באף אחת מהן
Show the answer and the solution

Answer: A בנקודה AA

Worked solution:

A: f′(−1)<0A: \ f'(-1)<0

משמאל לקודקוד הגרף יורד, והמשיק יורד

B: f′(1)=0B: \ f'(1)=0

בקודקוד המשיק אופקי

C: f′(3)>0C: \ f'(3)>0

מימין לקודקוד הגרף עולה

הנכונה: בנקודה AA. הנגזרת שלילית איפה שהגרף יורד, לא איפה שהגרף מתחת לציר: ב-BB הגובה שלילי, אבל המשיק אופקי והנגזרת אפס.

Check the answer on elev

Exercise 8

מכונית יוצאת מרמזור. המרחק שעברה, במטרים, אחרי tt שניות הוא s(t)=t2s(t)=t^2. מהי המהירות הממוצעת שלה, במטרים לשנייה, בין t=2t=2 ל-t=5t=5?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

s(2)=4s(5)=25\begin{aligned}s(2) &= 4 \\ \quad s(5) &= 25\end{aligned}

המרחק בשני הרגעים

25−45−2=213=7\begin{aligned}\frac{25-4}{5-2} &= \frac{21}{3} \\ &= 7\end{aligned}

מרחק חלקי זמן: קצב השינוי הממוצע

מהירות ממוצעת היא שיפוע המיתר של גרף המרחק. המהירות ברגע t=2t=2 היא s′(2)=4s'(2)=4, וברגע t=5t=5 היא 1010: הממוצע 77 נמצא ביניהן.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף של f(x)=x2f(x)=x^2 יורד משמאל לקודקוד (0, 0)(0,\,0) ועולה מימינו. מיינו את הנקודות לפי סימן הנגזרת.

  • הנגזרת חיובית
  • הנגזרת שלילית
  • x=−0.5x=-0.5
  • x=−2x=-2
  • x=0.5x=0.5
  • x=3x=3
Show the answer and the solution

Answer: x=3x=3 — הנגזרת חיובית · x=−2x=-2 — הנגזרת שלילית · x=0.5x=0.5 — הנגזרת חיובית · x=−0.5x=-0.5 — הנגזרת שלילית

Worked solution:

x>0 ⇒ f′(x)=2x>0x>0 \ \Rightarrow \ f'(x)=2x>0

מימין לקודקוד הגרף עולה

x<0 ⇒ f′(x)=2x<0x<0 \ \Rightarrow \ f'(x)=2x<0

משמאל לקודקוד הגרף יורד

הסימן של הנגזרת אומר לאן הגרף הולך, לא איפה הוא נמצא: ב-x=−2x=-2 הגובה 44 חיובי, אבל הגרף יורד שם, והנגזרת שלילית.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהו f′(a)f'(a)?

  1. הגובה של הגרף בנקודה שבה x=ax=a
  2. משוואת המשיק בנקודה שבה x=ax=a
  3. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=ax=a
  4. שיפוע המיתר בין x=0x=0 ל-x=ax=a
Show the answer and the solution

Answer: C שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=ax=a

Worked solution:

f(a)≠f′(a)f(a) \ne f'(a)

הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'

f(a+h)−f(a)h→f′(a)\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)

המיתר מתכווץ סביב aa, לא מתחיל ב-00

הנכונה: שיפוע המשיק בנקודה שבה x=ax=a. הנגזרת היא מספר, לא משוואה של ישר: המשיק הוא הישר, והנגזרת היא השיפוע שלו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade