Set 3 — challenging · Analytic geometry: points, segments and lines · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שמחברות כלים: מקבילית והאלכסונים שלה, סוג של מרובע, גובה ואנך אמצעי, שלוש נקודות על ישר, ישר והצירים, וטרפז.

תיכון מתחיל מאמצע, גובה מתחיל משיפוע הופכי ונגדי, אנך אמצעי משתמש בשניהם. לפני שכותבים, אמרו איזה מהשלושה מבקשים.

Exercises

Exercise 1

נתונה המקבילית $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(6,\,4)$ , $D(2,\,4)$ . מצאו את נקודת המפגש של האלכסונים.

$($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 3 $,$ 2 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{0+6}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: המפגש הוא אמצע $AC$

\begin{aligned}M_{BD} &= \left( \frac{4+2}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

בדיקה: גם אמצע $BD$ ✓

במקבילית אין צורך למצוא את משוואות האלכסונים ולחתוך: המפגש הוא אמצע של כל אחד מהם.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-1,\,0)$ , $B(3,\,0)$ , $C(3,\,4)$ , $D(-1,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

ריבוע
מעוין שאינו ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מלבן

Show the answer and the solution

Answer: A ריבוע

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad BC &= 4 \\ \quad CD &= 4 \\ \quad DA &= 4\end{aligned}

$AB$ ו- $CD$ אופקיים, $BC$ ו- $DA$ אנכיים

AB \perp BC

אופקי מאונך לאנכי: זווית ישרה

התשובה: ריבוע. ארבע צלעות שוות (מעוין) וזווית ישרה (מלבן) יחד. הצלעות מקבילות לצירים, ולכן הכול נקרא בלי נוסחת המרחק.

Check the answer on elev

Exercise 3

הישר $y = 2x + k$ עובר דרך הנקודה $(3,\,-1)$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: -7

Worked solution:

-1 = 2 \cdot 3 + k

הנקודה מקיימת את המשוואה

\begin{aligned}k &= -1 - 6 \\ &= -7\end{aligned}

פותרים

נקודה על ישר: מציבים את שני שיעוריה במשוואה. $k$ הוא החיתוך עם ציר ה- $y$ , והוא שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(2,\,5)$ . מצאו את משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -4 $x +$ 13

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - 1}{6 - (-2)} \\ &= \frac{2}{8} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שיפוע הצלע

m_{\perp} = -4

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 5 &= -4(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x + 13\end{aligned}

דרך $C$

גובה: שיפוע הצלע, הופכי ונגדי, ודרך הקודקוד. האמצע של $AB$ לא משתתף, הוא שייך לתיכון.

Check the answer on elev

Exercise 5

לאיזה ערך של $k$ הישרים $y = kx - 1$ ו- $y = -2x + 3$ מאונכים זה לזה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

k \cdot (-2) = -1

מכפלת השיפועים

k = \frac{1}{2}

פותרים

מי שענה $2$ שכח את הסימן: $2 \cdot (-2) = -4$ . הופכי ונגדי של $-2$ הוא $\frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(3,\,3)$ . איזה משולש הוא?

שווה צלעות
ישר זווית ושווה שוקיים
ישר זווית בלבד
שווה שוקיים בלבד

Show the answer and the solution

Answer: B ישר זווית ושווה שוקיים

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18} \\ \quad BC &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18}\end{aligned}

שתי שוקיים שוות

\begin{aligned}m_{AC} &= 1 \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 - 0}{3 - 6} \\ &= -1 \\ \quad 1 \cdot (-1) &= -1\end{aligned}

$AC \perp BC$ : זווית ישרה ב- $C$

\begin{aligned}18 + 18 &= 36 \\ &= 6^2\end{aligned}

גם פיתגורס ההפוך מאשר

התשובה: ישר זווית ושווה שוקיים. השוקיים בשיפועים $1$ ו- $-1$ : ישרים כאלה תמיד מאונכים. לא שווה צלעות: $AB = 6 \neq \sqrt{18}$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: הנקודות $A(1,\,2)$ , $B(3,\,6)$ ו- $C(5,\,10)$ נמצאות על ישר אחד.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6 - 2}{3 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע $AB$

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{10 - 6}{5 - 3} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע $BC$

m_{AB} = m_{BC}

אותו שיפוע ונקודה משותפת $B$ : אותו ישר

הטענה נכונה. שלוש נקודות על ישר אחד כששני השיפועים שווים. הישר הוא $y = 2x$ , ושלושתן מקיימות אותו.

Check the answer on elev

Exercise 8

הישר $4x - 3y - 12 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . חשבו את אורך $AB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ 4x \\ &= 12 \ \Rightarrow \ A(3,\,0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ -3y \\ &= 12 \ \Rightarrow \ B(0,\,-4)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

$B$ מתחת לציר ה- $x$ : $-3y = 12$ נותן $y = -4$ , לא $4$ . לאורך זה לא משנה, לציור כן.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונות הנקודות $A(1,\,2)$ ו- $B(5,\,4)$ . מצאו את משוואת האנך האמצעי של $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -2 $x +$ 9

Worked solution:

M = (3,\,3)

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 2}{5 - 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 3 &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 9\end{aligned}

דרך $M$

אנך אמצעי: אמצע בשביל הנקודה, מאונך בשביל השיפוע. שני הכלים יחד.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון הטרפז $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,0)$ , $C(6,\,4)$ , $D(2,\,4)$ , כאשר $AB \parallel DC$ . חשבו את שטח הטרפז.

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \quad DC &= 4\end{aligned}

שני הבסיסים אופקיים

h = 4

הגובה: ההפרש בין $y = 0$ ל- $y = 4$

\begin{aligned}S &= \frac{(8 + 4) \cdot 4}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח טרפז

כששני הבסיסים מקבילים לציר ה- $x$ , הגובה הוא הפרש ה- $y$ . הצלעות $AD$ ו- $BC$ אינן הגובה.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev