Set 4 — advanced · Analytic geometry: points, segments and lines · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בשלושה צעדים ויותר: תיכון בצורה הכללית, פרמטר של נקודות על ישר, קודקוד רביעי, מרחק לנקודת חיתוך, שטח עם הצירים, ושיפוע שמוצאים מתוך שטח.

כשיש פרמטר, כתבו את התנאי כמשוואה: «על הישר» פירושו הצבה, «מקביל» פירושו שיפועים שווים, «מאונך» פירושו מכפלה $-1$ .

Exercises

Exercise 1

ישר עובר דרך $(1,\,5)$ ו- $(3,\,9)$ . מצאו את משוואתו ואת נקודת החיתוך שלו עם ציר ה- $x$ .

$y =$ ____ $x +$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ 2 $x +$ 3 ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x =$ -1.5

Worked solution:

\begin{aligned}m &= \frac{9 - 5}{3 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y - 5 &= 2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x + 3\end{aligned}

המשוואה

\begin{aligned}2x + 3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1.5\end{aligned}

ציר ה- $x$ : $y = 0$

החיתוך עם ציר ה- $x$ יכול להיות שבר או מספר שלילי. $-\frac{3}{2} = -1.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונות הנקודות $A(1,\,1)$ , $B(3,\,5)$ , $C(0,\,5)$ , $D(4,\,1)$ . מצאו את נקודת החיתוך של הישרים $AB$ ו- $CD$ .

$($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 2 $,$ 3 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x - 1\end{aligned}

הישר $AB$

\begin{aligned}m_{CD} &= \frac{1 - 5}{4 - 0} \\ &= -1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 5\end{aligned}

הישר $CD$ : $C$ על ציר ה- $y$

\begin{aligned}2x - 1 &= -x + 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 3\end{aligned}

חיתוך

ארבע נקודות, שני ישרים, חיתוך אחד. כל ישר צריך שיפוע משלו: לא לערבב את $B$ עם $C$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(2,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(4,\,7)$ . מהי משוואת התיכון מ- $A$ לצלע $BC$ , בצורה הכללית?

$4x - 3y - 5 = 0$
$4x - 3y + 5 = 0$
$3x - 4y - 2 = 0$
$4x + 3y - 11 = 0$

Show the answer and the solution

Answer: A $4x - 3y - 5 = 0$

Worked solution:

\begin{aligned}M &= \left( \frac{6+4}{2},\ \frac{3+7}{2} \right) \\ &= (5,\,5)\end{aligned}

אמצע $BC$

\begin{aligned}m_{AM} &= \frac{5 - 1}{5 - 2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y - 1 &= \frac{4}{3}(x - 2) \ \Rightarrow \ 3y - 3 \\ &= 4x - 8 \ \Rightarrow \ 4x - 3y - 5 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב- $3$ ומעבירים

4 \cdot 5 - 3 \cdot 5 - 5 = 0

בדיקה עם $M$ ✓

התשובה: $4x - 3y - 5 = 0$ . דרך מהירה: מציבים את $A(2,\,1)$ ואת $M(5,\,5)$ בכל אפשרות. רק אחת מתאפסת בשתיהן.

Check the answer on elev

Exercise 4

הנקודות $A(1,\,2)$ , $B(3,\,k)$ ו- $C(5,\,10)$ נמצאות על ישר אחד. מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{10 - 2}{5 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע של הישר, משתי הנקודות הידועות

\begin{aligned}y - 2 &= 2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x\end{aligned}

משוואת הישר

\begin{aligned}k &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים $x = 3$

דרך שנייה: $B$ הוא בדיוק אמצע $AC$ , כי $3 = \frac{1+5}{2}$ , ולכן $k = \frac{2+10}{2} = 6$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: המרובע $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(8,\,4)$ , $D(2,\,4)$ הוא מעוין.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= 0 \\ \quad m_{AD} &= m_{BC} \\ &= 2\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}AB &= 6 \\ \quad AD &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

צלעות סמוכות שונות

הטענה לא נכונה. זו מקבילית, אבל לא מעוין: $AB \neq AD$ . בציור המרובע נראה «מוטה», וזה מטעה. מכריעים בחישוב.

Check the answer on elev

Exercise 6

$ABCD$ מקבילית. $A(1,\,2)$ , $B(5,\,1)$ , $C(7,\,5)$ . מצאו את $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $D($ 3 $,$ 6 $)$

Worked solution:

M_{AC} = (4,\,3.5)

אמצע האלכסון $AC$

\begin{aligned}x_D &= 2 \cdot 4 - 5 \\ &= 3 \\ \quad y_D &= 2 \cdot 3.5 - 1 \\ &= 6\end{aligned}

הקצה השני של $BD$

\begin{aligned}m_{AB} &= -\frac{1}{4} \\ &= m_{DC}\end{aligned}

בדיקה ✓

האמצע יכול להיות שבר, $3.5$ , ועדיין $D$ שלם. $D = A + C - B$ נותן ישירות $(1+7-5,\ 2+5-1)$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הישרים $y = x + 1$ ו- $y = -x + 7$ נחתכים בנקודה $P$ . חשבו את המרחק של $P$ מראשית הצירים.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}x + 1 &= -x + 7 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ y &= 4\end{aligned}

נקודת החיתוך $P(3,\,4)$

\begin{aligned}OP &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

שני שלבים: חיתוך, ואז מרחק. הישרים בשיפועים $1$ ו- $-1$ מאונכים, אבל זה לא נדרש כאן.

Check the answer on elev

Exercise 8

הישר $y = -2x + 8$ יוצר משולש עם שני הצירים. חשבו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

x = 0 \ \Rightarrow \ (0,\,8)

חיתוך עם ציר ה- $y$

-2x + 8 = 0 \ \Rightarrow \ (4,\,0)

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 8}{2} \\ &= 16\end{aligned}

משולש ישר זווית בראשית

הניצבים הם $4$ ו- $8$ , לא $-2$ ו- $8$ : השיפוע אינו אורך.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונות הנקודות $A(-2,\,2)$ ו- $B(4,\,4)$ . מהי משוואת האנך האמצעי של $AB$ ?

$y = 3x$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$
$y = -3x + 3$
$y = -3x + 6$

Show the answer and the solution

Answer: D $y = -3x + 6$

Worked solution:

M = (1,\,3)

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 2}{4 - (-2)} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -3\end{aligned}

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 3 &= -3(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 6\end{aligned}

דרך $M$

התשובה: $y = -3x + 6$ . $y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ הוא הישר $AB$ עצמו. $y = -3x + 3$ לקח את $y_M$ בתור $b$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

הישר $y = mx + 4$ , כאשר $m < 0$ , יוצר עם הצירים משולש ששטחו $8$ . מצאו את $m$ .

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

(0,\,4)

חיתוך עם ציר ה- $y$ : הניצב האנכי $4$

\begin{aligned}mx + 4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -\frac{4}{m}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ : חיובי כי $m < 0$

\begin{aligned}\frac{4 \cdot \left(-\frac{4}{m}\right)}{2} &= 8 \ \Rightarrow \ -\frac{8}{m} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ m \\ &= -1\end{aligned}

שטח המשולש

הניצב האופקי הוא $-\frac{4}{m}$ , ומכיוון ש- $m$ שלילי הוא חיובי. בדיקה: $y = -x + 4$ חותך ב- $(4,\,0)$ , ושטח $\frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ ✓.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev