Set 3 — challenging

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שבהן הגרף הוא הנתון: לקרוא משוואה מפרבולה מוזזת, לספור פתרונות של ∣g(x)∣=k|g(x)| = k, שורש משוקף, וקיצון אחרי מתיחה.

מול גרף, קודם מסמנים את הנקודה המיוחדת: קודקוד, נקודת התחלה או פסגה של הקיפול. ממנה יוצאים כל המספרים.

Exercises

Exercise 1

הגרף של g
(1,4)-3-2-1012345-5-4-3-2-112345xy

הגרף שלמטה הוא פרבולה שקודקודה (1, 4)(1,\,4), והיא מתקבלת מ-y=x2y = x^2 בהזזה ובשיקוף. מהי משוואת gg?

  1. g(x)=−(x+1)2+4g(x) = -(x + 1)^2 + 4
  2. g(x)=(x−1)2+4g(x) = (x - 1)^2 + 4
  3. g(x)=−(x−1)2−4g(x) = -(x - 1)^2 - 4
  4. g(x)=−(x−1)2+4g(x) = -(x - 1)^2 + 4
Show the answer and the solution

Answer: D g(x)=−(x−1)2+4g(x) = -(x - 1)^2 + 4

Worked solution:

(1, 4) ⇒ p=1 k=4\begin{aligned}(1,\,4) \ \Rightarrow \ p &= 1 \\ \ k &= 4\end{aligned}

הקודקוד: 1 ימינה, 4 למעלה

∩ ⇒ a=−1\cap \ \Rightarrow \ a = -1

הזרועות כלפי מטה: שיקוף בציר ה-xx, מינוס לפני הסוגריים

g(0)=−1+4=3\begin{aligned}g(0) &= -1 + 4 \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה בנקודה נוספת

הנכונה: −(x−1)2+4-(x - 1)^2 + 4. המינוס לפני הסוגריים הופך את הפרבולה; (x−1)(x - 1) מזיז ימינה; +4+4 מעלה. שלוש קריאות, שלושה מספרים.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה g(x)=4−x+1g(x) = \sqrt{4 - x} + 1. מצאו את הערך הגדול ביותר בתחום ההגדרה, ואת שיעור ה-yy של נקודת ההתחלה.

x≤x \leq ____ ; y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x≤x \leq 4 ; y=y = 1

Worked solution:

4−x≥0 ⇒ x≤44 - x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מינוס לפני xx: הגרף פונה שמאלה

g(4)=0+1=1\begin{aligned}g(4) &= \sqrt{0} + 1 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההתחלה (4, 1)(4,\,1)

4−x=−(x−4)\sqrt{4 - x} = \sqrt{-(x - 4)}: שיקוף של x\sqrt{x} בציר ה-yy, ואז 4 ימינה ו-1 למעלה. הגרף מתחיל ב-(4, 1)(4,\,1) ופונה שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 3

h(x) = |x² − 4|
(-2,0)(2,0)(0,4)-4-3-2-101234-112345678xy

נתונה h(x)=∣x2−4∣h(x) = |x^2 - 4| (הגרף למטה). לאיזה ערך של kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 3 פתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x2−4: min⁡(0, −4)x^2 - 4: \ \min (0,\,-4)

המינימום של הפרבולה

h: max⁡(0, 4)h: \ \max (0,\,4)

אחרי הקיפול: פסגה בגובה 4

k=4k = 4

הישר שנוגע בפסגה חותך 3 פעמים

k=4k = 4: הערך המוחלט של המינימום. מתחתיו 4 פתרונות, מעליו 2, ובדיוק שם 3.

Check the answer on elev

Exercise 4

איך מתקבל הגרף של g(x)=−x−3g(x) = -\sqrt{x - 3} מהגרף של f(x)=xf(x) = \sqrt{x}?

  1. הזזה של 3 שמאלה ושיקוף בציר ה-xx
  2. הזזה של 3 למטה ושיקוף בציר ה-xx
  3. הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-yy
  4. הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx
Show the answer and the solution

Answer: D הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx

Worked solution:

x−3 ⇒ 3 ימינהx - 3 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{ימינה}

בתוך השורש

−f ⇒ שיקוף-f \ \Rightarrow \ \text{שיקוף}

מינוס מחוץ לשורש: בציר ה-xx

(3, 0), (4, −1), (7, −2)(3,\,0) ,\ (4,\,-1) ,\ (7,\,-2)

נקודות על gg: מתחילה ב-(3, 0)(3,\,0) ויורדת

הנכונה: 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx. הגרף מתחיל ב-(3, 0)(3,\,0) ופונה ימינה ולמטה. שיקוף בציר ה-yy היה מכניס את המינוס לתוך השורש.

Check the answer on elev

Exercise 5

לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 3)(1,\,3) ונקודת מינימום (4, −2)(4,\,-2). מצאו את נקודת המינימום של h(x)=2f(x)h(x) = 2f(x).

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 4 , y=y = -4

Worked solution:

(4, 2⋅(−2))=(4, −4)(4,\,2 \cdot (-2)) = (4,\,-4)

מתיחה פי 2: ה-yy מוכפל

a=2>0a = 2 > 0

הסוג נשמר

מינימום (4, −4)(4,\,-4), ומקסימום (1, 6)(1,\,6). מתיחה מרחיקה את הגרף מציר ה-xx לשני הכיוונים.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=x4−4x2f(x) = x^4 - 4x^2. חשבו את f(−3)f(-3).

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

(−3)4=81(−3)2=9\begin{aligned}(-3)^4 &= 81 \\ \quad (-3)^2 &= 9\end{aligned}

מעריכים זוגיים

81−36=4581 - 36 = 45

מציבים

4545. ff זוגית, ולכן f(−3)=f(3)f(-3) = f(3): המינוס לא משפיע.

Check the answer on elev

Exercise 7

הפונקציה f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2 היא זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(−x)=(−x−1)2=(x+1)2≠(x−1)2\begin{aligned}f(-x) &= (-x - 1)^2 \\ &= (x + 1)^2 \neq (x - 1)^2\end{aligned}

מציבים −x-x

f(1)=0f(−1)=4\begin{aligned}f(1) &= 0 \\ \quad f(-1) &= 4\end{aligned}

דוגמה נגדית

לא נכון. הפרבולה סימטרית, אבל סביב הישר x=1x = 1, לא סביב ציר ה-yy. זוגיות דורשת סימטריה לציר ה-yy דווקא.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף של f
(1,5)(3,1)01234-3-2-11234567xy

בגרף שלמטה, לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 5)(1,\,5) ונקודת מינימום (3, 1)(3,\,1). כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לפונקציה k(x)=f(x)−3k(x) = f(x) - 3?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

k: max⁡(1, 2), min⁡(3, −2)k: \ \max (1,\,2) ,\ \min (3,\,-2)

3 למטה

f(x)−3=0 ⇔ f(x)=3\begin{aligned}f(x) - 3 &= 0 \ \Leftrightarrow \ f(x) \\ &= 3\end{aligned}

או: כמה פעמים הישר y=3y = 3 חותך את ff

33

משמאל למקסימום, בין הקיצונים, ומימין למינימום

3 נקודות. הישר y=3y = 3 עובר בין המינימום 11 למקסימום 55, ולכן חותך את הגרף שלוש פעמים. אם היה עובר מעל 55 או מתחת ל-11: פעם אחת.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה g(x)=(x+3)2−1g(x) = (x + 3)^2 - 1 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)|. מצאו את נקודת המקסימום של hh.

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = -3 , y=y = 1

Worked solution:

g: min⁡(−3, −1)g: \ \min (-3,\,-1)

הקודקוד: 3 שמאלה, 1 למטה

h: (−3, ∣−1∣)=(−3, 1)h: \ (-3,\,|-1|) = (-3,\,1)

הקיפול הופך אותו למקסימום

מקסימום (−3, 1)(-3,\,1). נקודות האפס (−4, 0)(-4,\,0) ו-(−2, 0)(-2,\,0) הן שני המינימום של hh.

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה פתרונות יש למשוואה ∣x3∣=5|x^3| = 5?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x3=5 או x3=−5\begin{aligned}x^3 &= 5 \ \text{או} \ x^3 \\ &= -5\end{aligned}

שתי משוואות

x=53 x=−53\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{5} \ \\ \quad x &= -\sqrt[3]{5}\end{aligned}

לכל אחת פתרון יחיד: מעריך אי-זוגי

2 פתרונות. ∣x3∣|x^3| היא x3x^3 שהחצי השמאלי שלה התקפל למעלה: גרף בצורת UU רחב, וכל ישר y=k>0y = k > 0 חותך אותו פעמיים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade