Set 4 — advanced

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות עם פרמטרים ועם שני שלבים מוסתרים: למצוא aa ו-bb מהתחום ומנקודה, מקדם של פרבולה, השלמה לריבוע לפני ערך מוחלט, וזוגיות ככלי לפתרון משוואה.

פרמטר נמצא ממשוואה: כל נתון (תחום, נקודה, קודקוד) הוא משוואה אחת. ספרו נתונים, ספרו נעלמים.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=ax+bf(x) = \sqrt{ax + b}. תחום ההגדרה של ff הוא x≥2x \geq 2, והגרף עובר בנקודה (6, 2)(6,\,2). מצאו את aa ואת bb.

a=a = ____ , b=b = ____

Show the answer and the solution

Answer: a=a = 1 , b=b = -2

Worked solution:

2a+b=02a + b = 0

הגרף מתחיל ב-x=2x = 2: שם מה שמתחת לשורש מתאפס

6a+b=2 ⇒ 6a+b=4\begin{aligned}\sqrt{6a + b} &= 2 \ \Rightarrow \ 6a + b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה (6, 2)(6,\,2)

4a=4 ⇒ a=1 b=−2\begin{aligned}4a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1 \\ \ b &= -2\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

x−2: x≥2 ✓\sqrt{x - 2}: \ x \geq 2 \ \checkmark

בדיקה: וגם a>0a > 0 מתאים לגרף שפונה ימינה

f(x)=x−2f(x) = \sqrt{x - 2}. התחום נותן משוואה אחת, הנקודה נותנת את השנייה. a>0a > 0 חייב לצאת, כי התחום הוא x≥2x \geq 2 ולא x≤2x \leq 2.

Check the answer on elev

Exercise 2

פרבולה y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + k שקודקודה (2, −3)(2,\,-3) עוברת בנקודה (0, 5)(0,\,5). מהו aa?

  1. a=12a = \frac{1}{2}
  2. a=2a = 2
  3. a=4a = 4
  4. a=−2a = -2
Show the answer and the solution

Answer: B a=2a = 2

Worked solution:

y=a(x−2)2−3y = a(x - 2)^2 - 3

הקודקוד נותן p=2p = 2, k=−3k = -3

5=a(0−2)2−3 ⇒ 4a=8 ⇒ a=2\begin{aligned}5 &= a(0 - 2)^2 - 3 \ \Rightarrow \ 4a \\ &= 8 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מציבים את הנקודה

הנכונה: a=2a = 2. a>0a > 0 הגיוני: הנקודה (0, 5)(0,\,5) מעל הקודקוד, ולכן הפרבולה פונה למעלה, ומתוחה פי 2.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה g(x)=x2−6x+5g(x) = x^2 - 6x + 5 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)|. לאיזה ערך של kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 3 פתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x2−6x+5=(x−3)2−4x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4

משלימים לריבוע: קודקוד (3, −4)(3,\,-4)

h: max⁡(3, 4)h: \ \max (3,\,4)

הקיפול

k=4k = 4

בגובה הפסגה

k=4k = 4. כאן צריך קודם למצוא את המינימום: g(3)=9−18+5=−4g(3) = 9 - 18 + 5 = -4. הערך המוחלט שלו הוא הגובה המבוקש.

Check the answer on elev

Exercise 4

ff פונקציה זוגית, f(−1)=3f(-1) = 3 ו-f(2)=−1f(2) = -1. נתונה g(x)=f(x)+2g(x) = f(x) + 2. השלימו.

g(1)=g(1) = ____ ; g(−2)=g(-2) = ____

Show the answer and the solution

Answer: g(1)=g(1) = 5 ; g(−2)=g(-2) = 1

Worked solution:

f(1)=f(−1)=3 ⇒ g(1)=5\begin{aligned}f(1) &= f(-1) \\ &= 3 \ \Rightarrow \ g(1) \\ &= 5\end{aligned}

זוגיות, ואז 2 למעלה

f(−2)=f(2)=−1 ⇒ g(−2)=1\begin{aligned}f(-2) &= f(2) \\ &= -1 \ \Rightarrow \ g(-2) \\ &= 1\end{aligned}

אותו דבר בצד השני

g(1)=5g(1) = 5, g(−2)=1g(-2) = 1. שני שלבים: הזוגיות מעבירה את הערך לצד השני, וההזזה מוסיפה 2.

Check the answer on elev

Exercise 5

איזו מהפונקציות היא אי-זוגית?

  1. x3+x2x^3 + x^2
  2. x4x^4
  3. x3+1x^3 + 1
  4. x5−x3x^5 - x^3
Show the answer and the solution

Answer: D x5−x3x^5 - x^3

Worked solution:

(−x)5−(−x)3=−x5+x3=−(x5−x3)\begin{aligned}(-x)^5 - (-x)^3 &= -x^5 + x^3 \\ &= -(x^5 - x^3)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

(−x)3+1=−x3+1(-x)^3 + 1 = -x^3 + 1

לא −(x3+1)-(x^3 + 1): המספר החופשי מקלקל

הנכונה: x5−x3x^5 - x^3. x4x^4 זוגית; x3+x2x^3 + x^2 ו-x3+1x^3 + 1 מעורבות, לא זו ולא זו.

Check the answer on elev

Exercise 6

לפונקציה ff נקודת מקסימום (2, 4)(2,\,4) ונקודת מינימום (5, −1)(5,\,-1). מצאו את נקודת המקסימום של h(x)=−2f(x)+1h(x) = -2f(x) + 1.

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 5 , y=y = 3

Worked solution:

−2f: (2, −8), (5, 2)-2f: \ (2,\,-8) ,\ (5,\,2)

כפל ב-−2-2: מתיחה ושיקוף, הסוגים מתהפכים

+1: (2, −7) min⁡,(5, 3) max⁡+1: \ (2,\,-7) \ \min ,\quad (5,\,3) \ \max

1 למעלה

מקסימום (5, 3)(5,\,3): המינימום הישן, אחרי כפל ב-−2-2 ותוספת 1. קודם הכפל, אחר כך החיבור.

Check the answer on elev

Exercise 7

אם ff פונקציה זוגית, אז הגרפים של y=f(x)y = f(x) ושל y=f(−x)y = f(-x) מתלכדים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

ההגדרה של זוגיות

y=x2: (−x)2=x2\begin{aligned}y &= x^2: \ (-x)^2 \\ &= x^2\end{aligned}

דוגמה: שיקוף הפרבולה בציר ה-yy לא משנה כלום

נכון. שיקוף בציר ה-yy של גרף שכבר סימטרי לציר ה-yy מחזיר את אותו גרף. זו בדיוק המשמעות הגרפית של f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).

Check the answer on elev

Exercise 8

h(x) = |(x − 1)² − 4|
(-1,0)(3,0)(1,4)-3-2-1012345-112345678xy

נתונה h(x)=∣(x−1)2−4∣h(x) = |(x - 1)^2 - 4| (הגרף למטה). לאילו ערכי kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 4 פתרונות?

  1. 0<k<40 < k < 4
  2. k>4k > 4
  3. k<0k < 0
  4. k=4k = 4
Show the answer and the solution

Answer: A 0<k<40 < k < 4

Worked solution:

(x−1)2−4: min⁡(1, −4)(x - 1)^2 - 4: \ \min (1,\,-4)

המינימום של הפרבולה

h: max⁡(1, 4)h: \ \max (1,\,4)

הפסגה אחרי הקיפול

0<k<40 < k < 4

ישר מתחת לפסגה ומעל הציר: 4 חיתוכים

הנכונה: 0<k<40 < k < 4. מעל 4: שניים. בדיוק 4: שלושה. k=0k = 0: שניים, נקודות האפס. שלילי: אף אחד.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה g(x)=x−1−2g(x) = \sqrt{x - 1} - 2, ו-h(x)=g(−x)h(x) = g(-x). מצאו את הערך הגדול ביותר בתחום ההגדרה של hh, ואת שיעור ה-yy של נקודת ההתחלה של הגרף שלה.

x≤x \leq ____ ; y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x≤x \leq -1 ; y=y = -2

Worked solution:

h(x)=−x−1−2h(x) = \sqrt{-x - 1} - 2

מציבים −x-x

−x−1≥0 ⇒ x≤−1-x - 1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq -1

תחום ההגדרה: הצד השמאלי

h(−1)=0−2=−2\begin{aligned}h(-1) &= 0 - 2 \\ &= -2\end{aligned}

נקודת ההתחלה (−1, −2)(-1,\,-2)

שיקוף בציר ה-yy: נקודת ההתחלה (1, −2)(1,\,-2) של gg עברה ל-(−1, −2)(-1,\,-2), והגרף פונה שמאלה. הגובה −2-2 לא השתנה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x4−2x2f(x) = x^4 - 2x^2. מצאו את סכום כל הפתרונות של המשוואה f(x)=8f(x) = 8.

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

x4−2x2−8=0 ⇒ (x2−4)(x2+2)=0\begin{aligned}x^4 - 2x^2 - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x^2 - 4)(x^2 + 2) \\ &= 0\end{aligned}

פירוק

x2=4 ⇒ x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

x2=−2x^2 = -2 אין פתרון

2+(−2)=02 + (-2) = 0

הסכום

00. אפשר גם בלי לפתור: ff זוגית, ולכן הפתרונות באים בזוגות xx ו-−x-x, וסכומם תמיד 00.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade