Set 5 — towards the bagrut · Power and root functions, transformations · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: פונקציית שורש מוזזת, ערך מוחלט של פרבולה ומספר פתרונות לפי הגרף, קיצון של פונקציה אחרי שלוש טרנספורמציות, וזוגיות שפותרת משוואה.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: תחום קודם, הצבה מלאה ב- $f(-x)$ , ובכל משוואה עם שורש — בדיקה. סעיף ב משתמש בתשובת סעיף א.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x) = \sqrt{x + 5} - 3$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת ההתחלה של הגרף.

תחום: $x \geq$ ____ ; התחלה: $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: תחום: $x \geq$ -5 ; התחלה: $y =$ -3

Worked solution:

x + 5 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -5

תחום ההגדרה

\begin{aligned}f(-5) &= 0 - 3 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההתחלה $(-5,\,-3)$

הגרף מתחיל ב- $(-5,\,-3)$ , מתחת לציר ה- $x$ , ועולה ימינה.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x) = \sqrt{x + 5} - 3$ . ב. מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}\sqrt{x + 5} &= 3 \ \Rightarrow \ x + 5 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים, מעלים בחזקת 2

\sqrt{9} - 3 = 0 \ \checkmark

בדיקה, ו- $4 \geq -5$

$(4,\,0)$ . הגרף מתחיל בגובה $-3$ ועולה, ולכן חייב לחצות את הציר פעם אחת בדיוק.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x) = \sqrt{x + 5} - 3$ . ג. איך מתקבל הגרף של $f$ מהגרף של $y = \sqrt{x}$ ?

הזזה של 5 ימינה ו-3 למטה
הזזה של 3 שמאלה ו-5 למטה
הזזה של 5 שמאלה ו-3 למטה
הזזה של 5 שמאלה ו-3 למעלה

Show the answer and the solution

Answer: C הזזה של 5 שמאלה ו-3 למטה

Worked solution:

\begin{aligned}x + 5 &= x - (-5) \ \Rightarrow \ p \\ &= -5\end{aligned}

בתוך השורש: שמאלה

-3 \ \Rightarrow \ k = -3

מחוץ: למטה

(0,\,0) \to (-5,\,-3)

בדיקה: נקודת ההתחלה מסעיף א

הנכונה: 5 שמאלה ו-3 למטה. נקודת ההתחלה שמצאתם בסעיף א, $(-5,\,-3)$ , היא בדיוק $(0,\,0)$ אחרי ההזזה הזאת.

Check the answer on elev

Exercise 4

h(x) = |(x + 1)² − 4|

נתונה $g(x) = (x + 1)^2 - 4$ ו- $h(x) = |g(x)|$ (הגרף של $h$ למטה). א. מצאו את נקודות החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ .

$x_1 =$ ____ , $x_2 =$ ____ (מהקטן לגדול)

Show the answer and the solution

Answer: $x_1 =$ -3 , $x_2 =$ 1 (מהקטן לגדול)

Worked solution:

\begin{aligned}(x + 1)^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x + 1 \\ &= \pm 2\end{aligned}

שורש לשני האגפים, שני סימנים

\begin{aligned}x &= -3 \ \\ \quad x &= 1\end{aligned}

$(-3,\,0)$ ו- $(1,\,0)$

$x = -3$ ו- $x = 1$ , סימטריים סביב $x = -1$ , ציר הסימטריה של הפרבולה. אלה גם נקודות האפס של $h$ : הקיפול לא מזיז אותן.

Check the answer on elev

Exercise 5

h(x) = |(x + 1)² − 4|

נתונה $g(x) = (x + 1)^2 - 4$ ו- $h(x) = |g(x)|$ (הגרף למטה). ב. מצאו את נקודת המקסימום של $h$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ -1 , $y =$ 4

Worked solution:

g: \ \min (-1,\,-4)

הקודקוד של $g$

h: \ (-1,\,|-4|) = (-1,\,4)

החלק שמתחת לציר מתקפל: מקסימום

מקסימום $(-1,\,4)$ . הפסגה של $h$ נמצאת בדיוק מעל הבור של $g$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

h(x) = |(x + 1)² − 4|

נתונה $g(x) = (x + 1)^2 - 4$ ו- $h(x) = |g(x)|$ (הגרף למטה). ג. לאילו ערכי $k$ יש למשוואה $h(x) = k$ בדיוק 2 פתרונות?

$0 < k < 4$
$k = 4$
$k = 0$ או $k > 4$
$k > 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $k = 0$ או $k > 4$

Worked solution:

\begin{aligned}k &= 0: \ x \\ &= -3 \\ \ x &= 1\end{aligned}

נקודות האפס

k > 4

ישר מעל הפסגה: רק הזרועות החיצוניות

\begin{aligned}0 < k < 4 \ \Rightarrow \ 4 \\ \quad k &= 4 \ \Rightarrow \ 3\end{aligned}

המקרים האחרים

הנכונה: $k = 0$ או $k > 4$ . שני מקרים שונים נותנים שני פתרונות: הישר על הציר עצמו, והישר מעל הפסגה. בבחינה כותבים את שניהם.

Check the answer on elev

Exercise 7

הגרף של f

בגרף שלמטה, לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(1,\,5)$ ונקודת מינימום $(3,\,1)$ . א. מצאו את נקודת המקסימום של $k(x) = -f(x - 1) + 2$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 4 , $y =$ 1

Worked solution:

f(x - 1): \ (2,\,5) ,\ (4,\,1)

1 ימינה

-f(x - 1): \ (2,\,-5) ,\ (4,\,-1)

שיקוף: הסוגים מתהפכים

+2: \ (2,\,-3) \ \min ,\quad (4,\,1) \ \max

2 למעלה

מקסימום $(4,\,1)$ . שלוש פעולות בסדר קבוע: הזזה אופקית, שיקוף, הזזה אנכית. הסוג נקבע בשיקוף בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף של f

בגרף שלמטה, לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(1,\,5)$ ונקודת מינימום $(3,\,1)$ . ב. כמה פתרונות יש למשוואה $f(x) = 3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

1 < 3 < 5

הישר $y = 3$ עובר בין המינימום למקסימום

3

חיתוך משמאל ל- $x = 1$ , בין $1$ ל- $3$ , ומימין ל- $3$

3 פתרונות. קוראים מהגרף, לא מחשבים: ישר אופקי בין שני הקיצונים חותך גרף כזה שלוש פעמים.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $p(x) = x^4 - 4x^2 + 3$ . א. קבעו אם $p$ זוגית, אי-זוגית או לא זו ולא זו.

לא זו ולא זו: יש מספר חופשי
לא זו ולא זו: $p(0) \neq 0$
זוגית: $p(-x) = x^4 - 4x^2 + 3 = p(x)$
אי-זוגית: $p(-x) = -p(x)$

Show the answer and the solution

Answer: C זוגית: $p(-x) = x^4 - 4x^2 + 3 = p(x)$

Worked solution:

\begin{aligned}p(-x) &= (-x)^4 - 4(-x)^2 + 3 \\ &= x^4 - 4x^2 + 3\end{aligned}

מציבים $-x$

p(-x) = p(x)

זוגית

הנכונה: זוגית. המספר החופשי $3$ הוא $3x^0$ , מעריך זוגי, ולא מפריע. $p(0) = 3 \neq 0$ רק אומר שהגרף לא עובר בראשית, וזה מותר לפונקציה זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $p(x) = x^4 - 4x^2 + 3$ . ב. כמה פתרונות יש למשוואה $p(x) = 0$ , ומהו סכומם?

מספר הפתרונות: ____ ; הסכום: ____

Show the answer and the solution

Answer: מספר הפתרונות: 4 ; הסכום: 0

Worked solution:

(x^2 - 1)(x^2 - 3) = 0

פירוק: $t^2 - 4t + 3$ עם $t = x^2$

\begin{aligned}x &= \pm 1 \ \\ \quad x &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

ארבעה פתרונות

1 + (-1) + \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0

הסכום

4 פתרונות וסכום $0$ . הסכום נובע מסעיף א: $p$ זוגית, ולכן כל פתרון $x$ מביא איתו את $-x$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev