Set 3 — challenging · Probability · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שמחברות כמה כלים: מותנית לתוך נוסחת האיחוד, טבלה חסרה, עץ של שלושה שלבים, בייס עם מספרים קטנים ו«לפחות פעמיים».

כשהנתון הוא הסתברות מותנית, הפכו אותה קודם לחיתוך. רק החיתוך נכנס לנוסחת האיחוד.

Exercises

Exercise 1

$P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A \mid B)=0.25$ . מה $P(A \cup B)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.8

Worked solution:

\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.25 \\ &= 0.1\end{aligned}

כלל הכפל

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.5+0.4-0.1 \\ &= 0.8\end{aligned}

נוסחת האיחוד

את $P(A \mid B)$ אי אפשר להציב ישר בנוסחת האיחוד. קודם הופכים אותה לחיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 2

$P(A \mid B)=0.6$ , $P(B \mid A)=0.4$ ו- $P(A \cap B)=0.12$ . מה $P(A \cup B)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.38

Worked solution:

\begin{aligned}P(B) &= \frac{0.12}{0.6} \\ &= 0.2\end{aligned}

מ- $P(A \mid B)$

\begin{aligned}P(A) &= \frac{0.12}{0.4} \\ &= 0.3\end{aligned}

מ- $P(B \mid A)$

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3+0.2-0.12 \\ &= 0.38\end{aligned}

נוסחת האיחוד

כל הסתברות מותנית נותנת את התנאי שלה: $P(A \mid B)$ נותנת את $P(B)$ , לא את $P(A)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

	עובדים	סטודנטים	גמלאים	סה״כ
מנויים	0.15	?	0.05	0.3
לא מנויים	?	0.1	0.25	?
סה״כ	0.5	?	?	1

בעיר נבדקו מנויי חדר הכושר. הטבלה נותנת את ההסתברויות לכל צירוף של מנוי ותעסוקה. בוחרים תושב באקראי. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה בתשובה האחרונה.

ההסתברות לסטודנט: ____ ; ההסתברות שסטודנט הוא מנוי: ____ ; ההסתברות שמי שאינו מנוי הוא גמלאי: ____

Show the answer and the solution

Answer: ההסתברות לסטודנט: 0.2 ; ההסתברות שסטודנט הוא מנוי: 0.5 ; ההסתברות שמי שאינו מנוי הוא גמלאי: 0.357

Worked solution:

0.3-0.15-0.05=0.1

המשבצת החסרה: סטודנטים מנויים

0.1+0.1=0.2

עמודת הסטודנטים

\frac{0.1}{0.2}=0.5

מנויים מבין הסטודנטים

\begin{aligned}1-0.3 &= 0.7 \\ \quad \frac{0.25}{0.7} &= \frac{5}{14} \approx 0.357\end{aligned}

גמלאים מבין הלא מנויים

בכל סעיף, המכנה הוא מה שידוע: עמודת הסטודנטים, $0.2$ , ואחר כך שורת הלא מנויים, $0.7$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

בקופסה 4 כדורים אדומים ו-2 לבנים. מוציאים שלושה כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות שיצא בדיוק כדור לבן אחד?

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

\frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{24}{120}

לבן-אדום-אדום

\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{24}{120}

אדום-לבן-אדום

\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}=\frac{24}{120}

אדום-אדום-לבן

\begin{aligned}3 \cdot \frac{24}{120} &= \frac{72}{120} \\ &= 0.6\end{aligned}

שלושה מסלולים זרים

הלבן יכול לצאת בכל אחת משלוש ההוצאות. מי שחישב רק את המסלול הראשון קיבל $0.2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בקופסה 4 כדורים אדומים ו-2 לבנים. מוציאים שלושה כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות שהכדור השני לבן? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.333

Worked solution:

\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5}

הסתברות שלמה על הכדור הראשון

=\frac{8}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{3} \approx 0.333

בדיוק כמו בהוצאה הראשונה

בלי לדעת מה יצא ראשון, לכדור השני אותה הסתברות כמו לראשון, $\frac{2}{6}$ . $\frac{2}{5}$ נכון רק אם ידוע שהראשון אדום.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשלוח טלפונים 2% פגומים. מכונת בדיקה מסמנת טלפון פגום כ«פגום» בהסתברות 0.9, ומסמנת בטעות טלפון תקין כ«פגום» בהסתברות 0.05. טלפון סומן כ«פגום». מה ההסתברות שהוא באמת פגום? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.269

Worked solution:

0.02 \cdot 0.9=0.018

פגום וסומן

0.98 \cdot 0.05=0.049

תקין וסומן בטעות

\begin{aligned}P(\text{סומן}) &= 0.018+0.049 \\ &= 0.067\end{aligned}

הסתברות שלמה

\frac{0.018}{0.067}=\frac{18}{67} \approx 0.269

בייס

$0.9$ היא ההסתברות לסמן בהינתן שהטלפון פגום. כיוון שרוב הטלפונים תקינים, רוב הסימונים באים מטעויות.

Check the answer on elev

Exercise 7

בטבלה דו-ממדית של הסתברויות: $P(A \cap B)=0.12$ , $P(A \cap \bar{B})=0.28$ ו- $P(\bar{A} \cap B)=0.18$ . האם $A$ ו- $B$ בלתי תלויים?

אי אפשר לדעת בלי $P(\bar{A} \cap \bar{B})$
כן: $P(A) \cdot P(B)=0.4 \cdot 0.3=0.12$
לא: $P(A)+P(B) \neq 1$
לא: $0.12 \neq 0.28$

Show the answer and the solution

Answer: B כן: $P(A) \cdot P(B)=0.4 \cdot 0.3=0.12$

Worked solution:

\begin{aligned}P(A) &= 0.12+0.28 \\ &= 0.4\end{aligned}

שורת $A$

\begin{aligned}P(B) &= 0.12+0.18 \\ &= 0.3\end{aligned}

עמודת $B$

\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.12 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המבחן השני מתקיים

הנכונה: כן. $P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-0.58=0.42$ מתקבל מהשאר, ולא צריך אותו. $P(A)+P(B)=1$ אינו קשור לאי-תלות.

Check the answer on elev

Exercise 8

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים, $P(A)=0.3$ ו- $P(A \cup B)=0.65$ . מה $P(B)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

0.65=0.3+p-0.3p

נסמן $p=P(B)$

\begin{aligned}0.35 &= 0.7p \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים

$0.35$ היא התשובה למאורעות זרים. כאן החיתוך הוא $0.3p$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

אם $A \subseteq B$ ו- $0<P(A)<P(B)<1$ , אז $A$ ו- $B$ תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

A \cap B=A

$A$ מוכל ב- $B$

P(A \mid B)=\frac{P(A)}{P(B)}>P(A)

מחלקים במספר קטן מ-1

נכון. אם $B$ קרה, $A$ נעשה סביר יותר, כי $A$ נמצא כולו בתוך $B$ . המבחן הראשון אינו מתקיים.

Check the answer on elev

Exercise 10

שחקנית כדורסל זורקת שלוש זריקות עונשין. בכל זריקה היא קולעת בהסתברות 0.7, ואין קשר בין הזריקות. מה ההסתברות שתקלע לפחות פעמיים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.784

Worked solution:

3 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3=0.441

בדיוק פעמיים: שלושה מסלולים

0.7^3=0.343

שלוש פעמים

0.441+0.343=0.784

«לפחות פעמיים» הוא «פעמיים» או «שלוש»

«לפחות פעמיים» כולל גם את שלוש הקליעות. מי ששכח אותן קיבל $0.441$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev