Set 4 — advanced

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שבהן צריך לבנות את הכלי בעצמכם: טבלה 2 על 2 מתוך נתונים מותנים, העברת כדור בין קופסאות, עץ הפוך, והוכחה שהמשלים שומר על אי-תלות.

כשהשאלה נראית מבולבלת, ציירו טבלה 2 על 2 של הסתברויות ומלאו אותה משבצת אחרי משבצת.

Exercises

Exercise 1

P(A)=0.6P(A)=0.6, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∣B)=0.8P(A \mid B)=0.8. מה P(B∣Aˉ)P(B \mid \bar{A})?

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

P(A∩B)=0.5⋅0.8=0.4\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5 \cdot 0.8 \\ &= 0.4\end{aligned}

כלל הכפל

P(Aˉ∩B)=0.5−0.4=0.1\begin{aligned}P(\bar{A} \cap B) &= 0.5-0.4 \\ &= 0.1\end{aligned}

שאר BB

P(B∣Aˉ)=0.10.4=0.25\begin{aligned}P(B \mid \bar{A}) &= \frac{0.1}{0.4} \\ &= 0.25\end{aligned}

חלקי P(Aˉ)=0.4P(\bar{A})=0.4

ציירו טבלה 2 על 2 ומלאו אותה. התנאי Aˉ\bar{A} הוא המכנה: 0.40.4, לא 0.50.5.

Check the answer on elev

Exercise 2

AA ו-BB בלתי תלויים, P(Aˉ)=0.5P(\bar{A})=0.5 ו-P(A∪B)=0.9P(A \cup B)=0.9. מה P(B)P(B)?

Show the answer and the solution

Answer: 0.8

Worked solution:

P(A)=0.5P(A)=0.5

המשלים

0.9=0.5+p−0.5p ⇒ 0.4=0.5p\begin{aligned}0.9 &= 0.5+p-0.5p \ \Rightarrow \ 0.4 \\ &= 0.5p\end{aligned}

נסמן p=P(B)p=P(B)

p=0.8p=0.8

פותרים

דרך נוספת: P(A∪B‾)=P(Aˉ)⋅P(Bˉ)P(\overline{A \cup B})=P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}), כלומר 0.1=0.5⋅P(Bˉ)0.1=0.5 \cdot P(\bar{B}), ולכן P(Bˉ)=0.2P(\bar{B})=0.2.

Check the answer on elev

Exercise 3

P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.8P(B)=0.8. מהו הערך הקטן ביותר האפשרי של P(A∩B)P(A \cap B)?

  1. 0.10.1
  2. 0.240.24
  3. 00
  4. 0.30.3
Show the answer and the solution

Answer: A 0.10.1

Worked solution:

P(A∩B)=0.3+0.8−P(A∪B)P(A \cap B)=0.3+0.8-P(A \cup B)

נוסחת האיחוד

P(A∪B)≤1 ⇒ P(A∩B)≥0.1P(A \cup B) \leq 1 \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \geq 0.1

החיתוך קטן ככל שהאיחוד גדול

הנכונה: 0.10.1. 00 אפשרי רק אם P(A)+P(B)≤1P(A)+P(B) \leq 1. 0.240.24 הוא המכפלה — הערך כשהמאורעות בלתי תלויים, ולא הקטן ביותר. 0.30.3 הוא הערך הגדול ביותר.

Check the answer on elev

Exercise 4

70% מהנבחנים בטסט נהיגה עשו יותר מ-20 שיעורים. מבין אלה 80% עברו את הטסט, ומבין השאר 50% עברו. מה ההסתברות שנבחן אקראי עבר את הטסט?

Show the answer and the solution

Answer: 0.71

Worked solution:

0.7⋅0.8+0.3⋅0.5=0.56+0.15=0.71\begin{aligned}0.7 \cdot 0.8+0.3 \cdot 0.5 &= 0.56+0.15 \\ &= 0.71\end{aligned}

הסתברות שלמה

0.710.71 נמצא בין 0.50.5 ל-0.80.8 וקרוב ל-0.80.8, כי רוב הנבחנים עשו יותר מ-20 שיעורים.

Check the answer on elev

Exercise 5

70% מהנבחנים בטסט נהיגה עשו יותר מ-20 שיעורים. מבין אלה 80% עברו את הטסט, ומבין השאר 50% עברו. נבחן נכשל בטסט. מה ההסתברות שעשה יותר מ-20 שיעורים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.483

Worked solution:

P(Sˉ)=1−0.71=0.29\begin{aligned}P(\bar{S}) &= 1-0.71 \\ &= 0.29\end{aligned}

נסמן SS — עבר, MM — יותר מ-20 שיעורים

P(M∩Sˉ)=0.7⋅0.2=0.14\begin{aligned}P(M \cap \bar{S}) &= 0.7 \cdot 0.2 \\ &= 0.14\end{aligned}

המסלול

P(M∣Sˉ)=0.140.29≈0.483P(M \mid \bar{S})=\frac{0.14}{0.29} \approx 0.483

בייס

אחרי «נכשל» הענף הוא 0.20.2 ולא 0.80.8. מי שחישב 0.560.71\frac{0.56}{0.71} ענה על «עבר».

Check the answer on elev

Exercise 6

בעץ של שני שלבים: P(A)=0.4P(A)=0.4, P(B∣A)=0.5P(B \mid A)=0.5 ו-P(B)=0.38P(B)=0.38. השלימו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה בתשובה השנייה.

P(B∣Aˉ)=P(B \mid \bar{A})= ____ ; P(A∣B)=P(A \mid B)= ____

Show the answer and the solution

Answer: P(B∣Aˉ)=P(B \mid \bar{A})= 0.3 ; P(A∣B)=P(A \mid B)= 0.526

Worked solution:

P(A∩B)=0.4⋅0.5=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.5 \\ &= 0.2\end{aligned}

המסלול דרך AA

P(Aˉ∩B)=0.38−0.2=0.18\begin{aligned}P(\bar{A} \cap B) &= 0.38-0.2 \\ &= 0.18\end{aligned}

שאר BB

P(B∣Aˉ)=0.180.6=0.3\begin{aligned}P(B \mid \bar{A}) &= \frac{0.18}{0.6} \\ &= 0.3\end{aligned}

חלקי P(Aˉ)P(\bar{A})

P(A∣B)=0.20.38=1019≈0.526\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.38} \\ &= \frac{10}{19} \approx 0.526\end{aligned}

בייס

P(B)=0.38P(B)=0.38 נמצא בין 0.30.3 ל-0.50.5, כמו שממוצע משוקלל חייב. זו בדיקה טובה לתשובה הראשונה.

Check the answer on elev

Exercise 7

בקופסה א׳ 3 כדורים לבנים ו-1 שחור. בקופסה ב׳ 2 לבנים ו-2 שחורים. מעבירים כדור אקראי מקופסה א׳ לקופסה ב׳, ואחר כך מוציאים כדור אקראי מקופסה ב׳. מה ההסתברות שהכדור שיצא לבן?

Show the answer and the solution

Answer: 0.55

Worked solution:

34⋅35\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5}

הועבר לבן: בקופסה ב׳ עכשיו 3 לבנים מתוך 5

14⋅25\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}

הועבר שחור: 2 לבנים מתוך 5

920+220=1120=0.55\begin{aligned}\frac{9}{20}+\frac{2}{20} &= \frac{11}{20} \\ &= 0.55\end{aligned}

הסתברות שלמה

אחרי ההעברה יש בקופסה ב׳ 5 כדורים. מי שהשאיר את המכנה 4 שכח את הכדור שהועבר.

Check the answer on elev

Exercise 8

בקופסה א׳ 3 כדורים לבנים ו-1 שחור. בקופסה ב׳ 2 לבנים ו-2 שחורים. מעבירים כדור אקראי מקופסה א׳ לקופסה ב׳, ואחר כך מוציאים כדור אקראי מקופסה ב׳, והוא לבן. מה ההסתברות שהכדור שהועבר היה שחור? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.182

Worked solution:

14⋅25=220\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{20}

המסלול: הועבר שחור, יצא לבן

2201120=211≈0.182\frac{\frac{2}{20}}{\frac{11}{20}}=\frac{2}{11} \approx 0.182

בייס

14\frac{1}{4} היא ההסתברות להעביר שחור לפני שיודעים משהו. הלבן שיצא מוריד אותה ל-211\frac{2}{11}.

Check the answer on elev

Exercise 9

אם AA ו-BB בלתי תלויים, אז גם Aˉ\bar{A} ו-BB בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(Aˉ∩B)=P(B)−P(A∩B)P(\bar{A} \cap B)=P(B)-P(A \cap B)

שאר BB

P(B)−P(A)P(B)=(1−P(A))P(B)=P(Aˉ)P(B)\begin{aligned}P(B)-P(A)P(B) &= (1-P(A))P(B) \\ &= P(\bar{A})P(B)\end{aligned}

המבחן השני מתקיים

נכון. אם הידיעה BB לא משנה את AA, היא גם לא משנה את המשלים שלו.

Check the answer on elev

Exercise 10

מטילים קובייה הוגנת שלוש פעמים. מה ההסתברות ששלוש התוצאות שונות זו מזו? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.556

Worked solution:

1⋅56⋅461 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6}

הראשונה חופשית, השנייה שונה ממנה, השלישית שונה משתיהן

=2036=59≈0.556=\frac{20}{36}=\frac{5}{9} \approx 0.556

כופלים

בכל הטלה יש 6 תוצאות: המכנה נשאר 6, כי הקובייה לא «מאבדת» מספרים. רק המונה קטן.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade