Set 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: שתי קופסאות ובייס, שתי שקיות מטפחות, שלושה משחקי שש-בש עם פרמטר, ומבחן עם שלושה תרגילים בלתי תלויים. כל סעיף הוא תרגיל, והסעיפים של אותה שאלה באים ברצף.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: סמנו את המאורעות, ציירו את העץ או הטבלה, ובכל «ידוע ש...» כתבו את ההסתברות המותנית לפני שאתם מחשבים.

Exercises

Exercise 1

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. א. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.178

Worked solution:

P(A)=26=13\begin{aligned}P(A) &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

נסמן AA — נבחרה קופסה א׳, RR — שני הכדורים אדומים

P(R∣A)=46⋅35=25P(R∣Aˉ)=26⋅15=115\begin{aligned}P(R \mid A) &= \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \\ &= \frac{2}{5} \\ \quad P(R \mid \bar{A}) &= \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \frac{1}{15}\end{aligned}

בלי החזרה, בכל קופסה

P(R)=13⋅25+23⋅115=645+245=845≈0.178\begin{aligned}P(R) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{15} \\ &= \frac{6}{45}+\frac{2}{45} \\ &= \frac{8}{45} \approx 0.178\end{aligned}

הסתברות שלמה

הקופסאות אינן שוות סיכוי: 13\frac{1}{3} מול 23\frac{2}{3}. מי שכפל כל קופסה ב-12\frac{1}{2} קיבל 730\frac{7}{30}.

Check the answer on elev

Exercise 2

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. ב. ידוע ששני הכדורים אדומים. מה ההסתברות שנבחרה קופסה א׳?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

P(A∩R)=13⋅25=645\begin{aligned}P(A \cap R) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \\ &= \frac{6}{45}\end{aligned}

המסלול דרך קופסה א׳

P(A∣R)=645845=34=0.75\begin{aligned}P(A \mid R) &= \frac{\frac{6}{45}}{\frac{8}{45}} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

בייס

קופסה א׳ נבחרת רק בשליש מהמקרים, אבל שני אדומים יוצאים ממנה הרבה יותר בקלות. לכן אחרי הידיעה ההסתברות עולה מ-13\frac{1}{3} ל-34\frac{3}{4}.

Check the answer on elev

Exercise 3

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. ג. מה ההסתברות שהכדורים בצבעים שונים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.533

Worked solution:

P(שונים∣A)=2⋅46⋅25=815\begin{aligned}P(\text{שונים} \mid A) &= 2 \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

שני מסלולים בקופסה א׳

P(שונים∣Aˉ)=2⋅26⋅45=815\begin{aligned}P(\text{שונים} \mid \bar{A}) &= 2 \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

שני מסלולים בקופסה ב׳

13⋅815+23⋅815=815≈0.533\frac{1}{3} \cdot \frac{8}{15}+\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15}=\frac{8}{15} \approx 0.533

הסתברות שלמה

בשתי הקופסאות ההסתברות זהה, ולכן הממוצע המשוקלל שווה לה. «צבעים שונים» הם שני מסלולים בכל קופסה.

Check the answer on elev

Exercise 4

בשקית א׳ 6 מטפחות: 4 לבנות ו-2 אדומות. בשקית ב׳ nn מטפחות, ומהן בדיוק 3 לבנות. מוציאים באקראי מטפחת אחת מכל שקית. ההסתברות ששתי המטפחות לבנות היא 15\frac{1}{5}. א. מצאו את nn.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

46⋅3n=15\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{n}=\frac{1}{5}

שתי שקיות בלתי תלויות: כופלים

2n=15 ⇒ n=10\begin{aligned}\frac{2}{n} &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

בשקית ב׳ 10 מטפחות: 3 לבנות ו-7 שאינן לבנות. nn הוא כל המטפחות, לא מספר הלבנות.

Check the answer on elev

Exercise 5

בשקית א׳ 6 מטפחות: 4 לבנות ו-2 אדומות. בשקית ב׳ nn מטפחות, ומהן בדיוק 3 לבנות. מוציאים באקראי מטפחת אחת מכל שקית. ההסתברות ששתי המטפחות לבנות היא 15\frac{1}{5}. ב. ידוע שבדיוק אחת משתי המטפחות לבנה. מה ההסתברות שהלבנה היא מהשקית הראשונה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.824

Worked solution:

46⋅710=2860\frac{4}{6} \cdot \frac{7}{10}=\frac{28}{60}

לבנה מא׳, לא לבנה מב׳

26⋅310=660\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{10}=\frac{6}{60}

לא לבנה מא׳, לבנה מב׳

2828+6=1417≈0.824\frac{28}{28+6}=\frac{14}{17} \approx 0.824

המסלול, חלקי שני המסלולים

המכנה הוא «בדיוק אחת לבנה» — שני מסלולים — ולא 1. מי שענה 46\frac{4}{6} התעלם מהתנאי.

Check the answer on elev

Exercise 6

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. א. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. מצאו את pp.

Show the answer and the solution

Answer: 0.7

Worked solution:

0.6⋅p=0.420.6 \cdot p=0.42

ניצחון, ואחריו ניצחון אחרי ניצחון

p=0.7p=0.7

פותרים

הענף השני הוא הסתברות מותנית: ניצחון בהינתן ניצחון. לכן כופלים ב-pp ולא ב-0.60.6.

Check the answer on elev

Exercise 7

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. ב. מה ההסתברות שנועה תנצח במשחק השלישי?

Show the answer and the solution

Answer: 0.516

Worked solution:

P(W2)=0.6⋅0.7+0.4⋅0.3=0.54\begin{aligned}P(W_2) &= 0.6 \cdot 0.7+0.4 \cdot 0.3 \\ &= 0.54\end{aligned}

הסתברות שלמה על המשחק הראשון

P(W3)=0.54⋅0.7+0.46⋅0.3=0.378+0.138=0.516\begin{aligned}P(W_3) &= 0.54 \cdot 0.7+0.46 \cdot 0.3 \\ &= 0.378+0.138 \\ &= 0.516\end{aligned}

הסתברות שלמה על המשחק השני

אפשר גם לחבר את ארבעת המסלולים שמסתיימים בניצחון. בכל מקרה, המשחק השלישי תלוי רק במשחק השני.

Check the answer on elev

Exercise 8

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. ג. ידוע שנועה ניצחה במשחק השלישי. מה ההסתברות שניצחה גם במשחק הראשון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.674

Worked solution:

P(W1∩W3)=0.6⋅(0.7⋅0.7+0.3⋅0.3)=0.6⋅0.58=0.348\begin{aligned}P(W_1 \cap W_3) &= 0.6 \cdot (0.7 \cdot 0.7+0.3 \cdot 0.3) \\ &= 0.6 \cdot 0.58 \\ &= 0.348\end{aligned}

שני מסלולים: WWW ו-WLW

P(W1∣W3)=0.3480.516=2943≈0.674\begin{aligned}P(W_1 \mid W_3) &= \frac{0.348}{0.516} \\ &= \frac{29}{43} \approx 0.674\end{aligned}

בייס, עם התוצאה של סעיף ב

במסלול WLW ההפסד אחרי ניצחון הוא 1−p=0.31-p=0.3, והניצחון אחרי הפסד הוא 0.30.3. מי שהשמיט את המסלול הזה קיבל 0.2940.516\frac{0.294}{0.516}.

Check the answer on elev

Exercise 9

במבחן שלושה תרגילים. גיל פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.8, את השני בהסתברות 0.6 ואת השלישי בהסתברות 0.5, והתרגילים בלתי תלויים זה בזה. כדי לעבור את המבחן צריך לפתור נכון לפחות שני תרגילים. א. מה ההסתברות שגיל יעבור את המבחן?

Show the answer and the solution

Answer: 0.7

Worked solution:

0.8⋅0.6⋅0.5=0.240.8 \cdot 0.6 \cdot 0.5=0.24

שלושה נכונים

0.8⋅0.6⋅0.5+0.8⋅0.4⋅0.5+0.2⋅0.6⋅0.5=0.24+0.16+0.06=0.46\begin{aligned}0.8 \cdot 0.6 \cdot 0.5+0.8 \cdot 0.4 \cdot 0.5+0.2 \cdot 0.6 \cdot 0.5 &= 0.24+0.16+0.06 \\ &= 0.46\end{aligned}

בדיוק שניים: שלושה מסלולים

0.24+0.46=0.70.24+0.46=0.7

«לפחות שניים»

בכל מסלול של «בדיוק שניים» כופלים גם בהסתברות להיכשל בתרגיל השלישי. מי ששכח אותה קיבל מספר גדול מ-1.

Check the answer on elev

Exercise 10

במבחן שלושה תרגילים. גיל פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.8, את השני בהסתברות 0.6 ואת השלישי בהסתברות 0.5, והתרגילים בלתי תלויים זה בזה. כדי לעבור את המבחן צריך לפתור נכון לפחות שני תרגילים. ב. ידוע שגיל עבר את המבחן. מה ההסתברות שפתר נכון את שלושת התרגילים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.343

Worked solution:

P(שלושה∩עבר)=0.24P(\text{שלושה} \cap \text{עבר})=0.24

מי שפתר שלושה, עבר

0.240.7=1235≈0.343\frac{0.24}{0.7}=\frac{12}{35} \approx 0.343

חלקי ההסתברות לעבור

«שלושה נכונים» מוכל ב«עבר», ולכן החיתוך הוא 0.240.24 עצמו. 0.240.24 לבדו שוכח את התנאי.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade