Studying the parabola — opening, axes and vertex

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

את הפרבולה פגשתם בכיתה ט. בכיתה י חוזרים עליה, כי חקירה מלאה של פרבולה היא שאלה שלמה בבגרות של 4 יחידות, ויש לה סדר קבוע. לפני הכללים, שחקו עם הפרבולה עצמה.

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

סדר החקירה

11

כיוון הפתיחה — a>0a > 0 כלפי מעלה, a<0a < 0 כלפי מטה.

22

חיתוך עם ציר yy — מציבים x=0x = 0, ומקבלים בדיוק cc.

33

חיתוך עם ציר xx — פותרים ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.

44

קדקוד — x=−b2ax = \frac{-b}{2a}, ואז מציבים כדי למצוא את ה-yy.

55

עלייה וירידה — משני צדי הקדקוד.

66

חיוביות ושליליות — לפי השורשים וכיוון הפתיחה.

ביחידה הזאת עושים את ארבעת השלבים הראשונים. השלבים 5 ו-6 מחכים ביחידה הבאה.

כיוון הפתיחה והחיתוך עם ציר yy

שני השלבים הראשונים לא דורשים שום חישוב. הסימן של aa אומר לאן הפרבולה פתוחה, והמספר cc אומר איפה היא חוצה את ציר ה-yy: כשמציבים x=0x = 0, שני האיברים הראשונים מתאפסים ונשאר cc.

שני שלבים בלי חישוב

נתונה הפרבולה y=−2x2+8x−6y = -2x^2 + 8x - 6. מהו כיוון הפתיחה, ואיפה היא חותכת את ציר ה-yy?

a=−2<0a = -2 < 0

פתוחה כלפי מטה

x=0 ⇒ y=−6\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -6\end{aligned}

חותכת את ציר ה-yy בנקודה (0, −6)(0,\,-6)

באיזו נקודה חותכת הפרבולה y=3x2−x+7y = 3x^2 - x + 7 את ציר ה-yy?

Show the answer and the solution

(0, 7)(0,\,7). מציבים x=0x = 0 ומקבלים y=c=7y = c = 7. הסימן של a=3a = 3 אומר גם שהיא פתוחה כלפי מעלה.

חיתוך עם ציר xx והדיסקרימיננטה

על ציר ה-xx הגובה הוא אפס, ולכן מציבים y=0y = 0 ופותרים משוואה ריבועית. לפעמים בפירוק לגורמים, ולפעמים בנוסחה:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

הביטוי שמתחת לשורש נקרא דיסקרימיננטה ומסמנים אותו Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. הוא קובע כמה שורשים יש, עוד לפני שפותרים:

Δ>0\Delta > 0

שני שורשים: הפרבולה חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות

Δ=0\Delta = 0

שורש אחד: הפרבולה משיקה לציר ה-xx, והקדקוד יושב על הציר

Δ<0\Delta < 0

אף שורש: הפרבולה כולה מעל הציר או כולה מתחתיו

חיתוך עם ציר xx

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 עם ציר ה-xx.

x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0

מציבים y=0y = 0

Δ=36−20=16>0\begin{aligned}\Delta &= 36 - 20 \\ &= 16 > 0\end{aligned}

שני שורשים

(x−1)(x−5)=0 ⇒ x=1 x=5\begin{aligned}(x - 1)(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מכפלה 55, סכום 66

(1, 0),(5, 0)(1,\,0) ,\quad (5,\,0)

שתי נקודות החיתוך

כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לפרבולה y=2x2+3x−2y = 2x^2 + 3x - 2?

Show the answer and the solution

שתיים. Δ=9+16=25>0\Delta = 9 + 16 = 25 > 0. ואם רוצים אותן: x=−3±54x = \frac{-3 \pm 5}{4}, כלומר x=12x = \frac{1}{2} ו-x=−2x = -2.

הקדקוד וציר הסימטריה

הקדקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר של פרבולה שפתוחה כלפי מעלה, או הגבוהה ביותר של פרבולה שפתוחה כלפי מטה. את ה-xx שלו נותנת נוסחה, ואת ה-yy מקבלים בהצבה:

xV=−b2ayV=f(xV)\begin{aligned}x_V &= \frac{-b}{2a} \\ \qquad y_V &= f(x_V)\end{aligned}

הישר האנכי x=xVx = x_V הוא ציר הסימטריה: שני צדי הפרבולה הם תמונת ראי זה של זה. לכן כל שתי נקודות באותו גובה נמצאות במרחק שווה מציר הסימטריה, ובפרט שני השורשים.

y = x² − 2x − 3: השורשים, הקדקוד וציר הסימטריה
השורשים A(−1, 0)A(-1,\,0) ו-B(3, 0)B(3,\,0) נמצאים במרחק 22 מכל צד של הישר המקווקו x=1x = 1. הקדקוד V(1, −4)V(1,\,-4) יושב עליו.

הקדקוד יושב בדיוק באמצע בין שני השורשים — כי הפרבולה סימטרית. אם כבר מצאתם את השורשים, הממוצע שלהם נותן את xx של הקדקוד בלי הנוסחה: −1+32=1\frac{-1 + 3}{2} = 1.

קדקוד בנוסחה ובהצבה

מצאו את קדקוד הפרבולה y=2x2−8x+3y = 2x^2 - 8x + 3 ואת ציר הסימטריה שלה.

xV=−(−8)2⋅2=84=2\begin{aligned}x_V &= \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

נוסחת הקדקוד, עם המינוס

yV=2⋅4−16+3=−5\begin{aligned}y_V &= 2 \cdot 4 - 16 + 3 \\ &= -5\end{aligned}

מציבים x=2x = 2 בפונקציה

V(2, −5)x=2\begin{aligned}V(2,\,-5) \\ \qquad x &= 2\end{aligned}

הקדקוד וציר הסימטריה

שתי הטעויות של הקדקוד.

xV=b2ax_V = \frac{b}{2a}
xV=−b2ax_V = \frac{-b}{2a}

המינוס הוא חלק מהנוסחה. ב-b=−8b = -8 מקבלים xV=+2x_V = +2, לא −2-2.

yV=cy_V = c
yV=f(xV)y_V = f(x_V)

cc הוא הגובה של הפרבולה ב-x=0x = 0, כלומר החיתוך עם ציר ה-yy. גובה הקדקוד מתקבל רק בהצבה של xVx_V.

מה אומרת הדיסקרימיננטה Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac?

Show the answer and the solution

Δ>0\Delta > 0 — שני פתרונות; Δ=0\Delta = 0 — פתרון אחד (הפרבולה משיקה לציר); Δ<0\Delta < 0 — אין פתרונות ממשיים.

איך מוצאים את קדקוד הפרבולה y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c?

Show the answer and the solution

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}, ואת ה-yy מקבלים בהצבה. זהו גם ציר הסימטריה.

Exercises

Exercise 1

מהו ה-xx של קדקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x=−b2a=62\begin{aligned}x &= \frac{-b}{2a} \\ &= \frac{6}{2}\end{aligned}

מציבים

=3= 3

התוצאה

המינוס בנוסחה הופך את −6-6 ל-+6+6.

Check the answer on elev

Exercise 2

באותה פרבולה — מהו ה-yy של הקדקוד?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

f(3)=9−18+5f(3) = 9 - 18 + 5

מציבים בפונקציה

=−4= -4

התוצאה

הקדקוד הוא (3, −4)(3,\,-4).

Check the answer on elev

Exercise 3

הפרבולה y=−2x2+8xy = -2x^2 + 8x — לאן היא פתוחה?

  1. ימינה
  2. כלפי מעלה
  3. כלפי מטה
  4. תלוי ב-bb
Show the answer and the solution

Answer: C כלפי מטה

Worked solution:

a=−2<0a = -2 < 0

מקדם שלילי

רק הסימן של aa קובע את כיוון הפתיחה.

Check the answer on elev

Exercise 4

מצאו את השורש הקטן של x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0:

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

(x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3) = 0

פירוק לגורמים — 2 ו-3

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 עם ציר ה-xx?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

b2−4ac=4−20=−16\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 4 - 20 \\ &= -16\end{aligned}

שלילי

Δ<0\Delta < 0

אין שורשים: הפרבולה כולה מעל הציר

אין צורך לפתור — הביטוי מתחת לשורש מספיק.

Check the answer on elev

Exercise 6

בכמה נקודות חותכת הפרבולה y=x2+1y = x^2 + 1 את ציר ה-x?

  1. אחת
  2. אף אחת
  3. שתיים
  4. תלוי ב-x
Show the answer and the solution

Answer: B אף אחת

Worked solution:

x2+1≥1>0x^2 + 1 \ge 1 > 0

תמיד מעל הציר

הערך הקטן ביותר הוא 1 (בקודקוד) — הפרבולה כולה מרחפת מעל ציר ה-x.

Check the answer on elev

Exercise 7

למשוואה x2−4=0x^2 - 4 = 0:

שני פתרונות: ____ ומינוס ____.

Show the answer and the solution

Answer: שני פתרונות: 2 ומינוס 2.

Worked solution:

x2=4  ⇒  x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \;\Rightarrow\; x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שורש לשני הכיוונים

Check the answer on elev

Exercise 8

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=1x = 1 וב-x=7x = 7. מהו ציר הסימטריה?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

(1+7):2=4(1 + 7) : 2 = 4

ממוצע השורשים

הקדקוד תמיד באמצע בין השורשים — בלי צורך בנוסחה.

Check the answer on elev

Exercise 9

כאשר המקדם של x2x^2 חיובי, לפרבולה יש נקודת מינימום.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

a>0  ⇒  ∪a > 0 \;\Rightarrow\; \cup

הסימן של a קובע את הכיוון

Check the answer on elev

Exercise 10

בשרטוט הפרבולה y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3. השורשים שלה הם x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. מצאו את הקדקוד בלי הנוסחה, מתוך הסימטריה.

קדקוד: x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: קדקוד: x=x = 1 , y=y = 4

Worked solution:

xV=−1+32=1\begin{aligned}x_V &= \frac{-1 + 3}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע בין השורשים

yV=−1+2+3=4\begin{aligned}y_V &= -1 + 2 + 3 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

xV=−22⋅(−1)=1 ✓\begin{aligned}x_V &= \frac{-2}{2 \cdot (-1)} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בנוסחה

הקדקוד (1, 4)(1,\,4) הוא מקסימום, כי a=−1<0a = -1 < 0. מי שכתב yV=3y_V = 3 לקח את cc: זו הנקודה CC על ציר ה-yy, לא הקדקוד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade