Variation, sign and vertex form

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

פרבולה שפתוחה כלפי מעלה יורדת עד הקדקוד ועולה אחריו. ובין שני השורשים היא מתחת לציר ה-xx. שני המשפטים האלה הם השלבים 5 ו-6 של החקירה, ואת שניהם רואים בצבע לפני שכותבים אותם.

עלייה וירידה

קוראים את הגרף משמאל לימין, כמו שקוראים מספרים על ציר ה-xx. ההחלפה בין ירידה לעלייה קורית בקדקוד, ולכן צריך רק את xVx_V ואת כיוון הפתיחה:

a>0a > 0

יורדת כאשר x<xVx < x_V, עולה כאשר x>xVx > x_V. הקדקוד הוא מינימום.

a<0a < 0

עולה כאשר x<xVx < x_V, יורדת כאשר x>xVx > x_V. הקדקוד הוא מקסימום.

תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה של y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5, וקבעו את סוג הקדקוד.

xV=−62⋅(−1)=3\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2 \cdot (-1)} \\ &= 3\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

a=−1<0a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה

x<3 ↗x>3 ↘x < 3 \ \nearrow \qquad x > 3 \ \searrow

עולה משמאל לקדקוד, יורדת מימין לו

yV=−9+18−5=4\begin{aligned}y_V &= -9 + 18 - 5 \\ &= 4\end{aligned}

הקדקוד (3, 4)(3,\,4) הוא מקסימום, והערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 44

תחומי עלייה וירידה נכתבים תמיד בערכי xx — גם כשהשאלה מדברת על גובה, על זמן או על מחיר. «y>4y > 4» אינו תחום עלייה.

מהו תחום הירידה של y=2x2+4x−1y = 2x^2 + 4x - 1?

Show the answer and the solution

xV=−44=−1x_V = \frac{-4}{4} = -1, ו-a=2>0a = 2 > 0: הפרבולה יורדת לפני הקדקוד. תחום הירידה: x<−1x < -1.

חיוביות ושליליות

הפונקציה חיובית במקומות שבהם הגרף מעל ציר ה-xx, ושלילית במקומות שבהם הוא מתחתיו. הסימן מתחלף רק בשורשים, ולכן קודם מוצאים אותם, ואז מסתכלים על כיוון הפתיחה:

a>0a > 0

שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם: x<x1x < x_1 או x>x2x > x_2

a<0a < 0

חיובית בין השורשים, שלילית מחוץ להם

Δ<0\Delta < 0

אין שורשים, אין החלפת סימן: הפונקציה כולה חיובית (a>0a > 0) או כולה שלילית (a<0a < 0)

y = x² − x − 6: שלילית בין A ל-B, חיובית מחוץ להם
השורשים x=−2x = -2 ו-x=3x = 3. בין AA ל-BB הגרף מתחת לציר, ומשני הצדדים הוא מעליו. a=1>0a = 1 > 0.

תחומי חיוביות ושליליות

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של y=x2−x−6y = x^2 - x - 6.

x2−x−6=0 ⇒ (x−3)(x+2)=0\begin{aligned}x^2 - x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 3)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים: x=3x = 3, x=−2x = -2

a=1>0a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים

−2<x<3-2 < x < 3

תחום השליליות

x<−2 או x>3x < -2 \ \text{או} \ x > 3

תחום החיוביות: שני קטעים, בלי לשכוח אף אחד

מהו תחום החיוביות של y=−x2+4y = -x^2 + 4?

Show the answer and the solution

השורשים: x2=4x^2 = 4, כלומר x=−2x = -2 ו-x=2x = 2. a=−1<0a = -1 < 0: חיובית בין השורשים. תחום החיוביות: −2<x<2-2 < x < 2.

צורת הקדקוד: y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + k

את אותה פרבולה אפשר לכתוב בצורה שבה הקדקוד כתוב בתוך המשוואה. בצורה y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + k הקדקוד הוא (p, k)(p,\,k), בלי שום חישוב. שימו לב לסימן: (x−3)2(x - 3)^2 אומר p=3p = 3, ו-(x+3)2(x + 3)^2 אומר p=−3p = -3.

y=a(x−p)2+kV(p, k)y = a(x - p)^2 + k \qquad V(p,\,k)

למה זה עובד? (x−p)2(x - p)^2 הוא אפס כאשר x=px = p וחיובי בכל מקום אחר. לכן כש-a>0a > 0 הביטוי a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k הוא לפחות kk, ובדיוק kk ב-x=px = p: זה המינימום.

מצורת הקדקוד לצורה הרגילה פותחים סוגריים. מהצורה הרגילה לצורת הקדקוד מחשבים את הקדקוד כרגיל, ואז כותבים אותו במקום:

מהצורה הרגילה לצורת הקדקוד

כתבו את y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 בצורה a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k.

xV=62=3yV=9−18+5=−4\begin{aligned}x_V &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \qquad y_V &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

הקדקוד (3, −4)(3,\,-4)

y=(x−3)2−4y = (x - 3)^2 - 4

a=1a = 1, p=3p = 3, k=−4k = -4

(x−3)2−4=x2−6x+9−4=x2−6x+5 ✓\begin{aligned}(x - 3)^2 - 4 &= x^2 - 6x + 9 - 4 \\ &= x^2 - 6x + 5 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: פותחים סוגריים וחוזרים למקור

מצורת הקדקוד לשורשים

נתונה y=2(x+1)2−8y = 2(x + 1)^2 - 8. מצאו את הקדקוד ואת השורשים.

V(−1, −8)V(-1,\,-8)

p=−1p = -1 בגלל הפלוס בסוגריים, k=−8k = -8. מינימום, כי a=2>0a = 2 > 0

2(x+1)2−8=0 ⇒ (x+1)2=4\begin{aligned}2(x + 1)^2 - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x + 1)^2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים y=0y = 0 ומבודדים את הסוגריים

x+1=±2 ⇒ x=1 x=−3\begin{aligned}x + 1 &= \pm 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שורש לשני הכיוונים

שתי הטעויות של צורת הקדקוד.

y=(x−3)2+2 ⇒ V(−3, 2)y = (x - 3)^2 + 2 \ \Rightarrow \ V(-3,\,2)
V(3, 2)V(3,\,2)

הסימן שבתוך הסוגריים מתהפך: (x−p)2(x - p)^2 עם p=3p = 3. הקדקוד הוא במקום שבו הסוגריים מתאפסים, כלומר x=3x = 3.

x2−6x+5=(x−3)2+5x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 + 5
x2−6x+5=(x−3)2−4x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4

(x−3)2=x2−6x+9(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 כבר מכיל +9+9. כדי להישאר עם +5+5 צריך לגרוע 99: 5−9=−45 - 9 = -4.

מהו קדקוד הפרבולה y=−3(x+2)2+7y = -3(x + 2)^2 + 7, והאם הוא מינימום או מקסימום?

Show the answer and the solution

(−2, 7)(-2,\,7), ומקסימום, כי a=−3<0a = -3 < 0. הפלוס בסוגריים נותן p=−2p = -2.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום העלייה של הפרבולה y=x2+4x−5y = x^2 + 4x - 5?

  1. x<−2x < -2
  2. y>−9y > -9
  3. x>−2x > -2
  4. x>−5x > -5
Show the answer and the solution

Answer: C x>−2x > -2

Worked solution:

xV=−42=−2\begin{aligned}x_V &= \frac{-4}{2} \\ &= -2\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

a=1>0a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: עולה אחרי הקדקוד

הנכונה: x>−2x > -2. x<−2x < -2 הוא תחום הירידה, ו-y>−9y > -9 אינו תחום כלל: תחומים נכתבים בערכי xx.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו תחום הירידה של הפרבולה y=−x2+8x−7y = -x^2 + 8x - 7?

  1. x>7x > 7
  2. x>4x > 4
  3. 1<x<71 < x < 7
  4. x<4x < 4
Show the answer and the solution

Answer: B x>4x > 4

Worked solution:

xV=−82⋅(−1)=4\begin{aligned}x_V &= \frac{-8}{2 \cdot (-1)} \\ &= 4\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

a=−1<0a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: יורדת אחרי הקדקוד

הנכונה: x>4x > 4. 1<x<71 < x < 7 הוא תחום החיוביות, שאלה אחרת לגמרי. ב-a<0a < 0 הירידה באה אחרי הקדקוד.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הערך המינימלי של הפונקציה y=x2−10x+21y = x^2 - 10x + 21?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

a=1>0a = 1 > 0

יש מינימום, בקדקוד

xV=102=5\begin{aligned}x_V &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

yV=25−50+21=−4\begin{aligned}y_V &= 25 - 50 + 21 \\ &= -4\end{aligned}

הערך המינימלי

הערך המינימלי הוא ה-yy של הקדקוד, −4-4. מי שענה 55 נתן את ה-xx שבו הוא מתקבל.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו הערך המקסימלי של הפונקציה y=−2x2+12x−10y = -2x^2 + 12x - 10?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

a=−2<0a = -2 < 0

יש מקסימום, בקדקוד

xV=−122⋅(−2)=3\begin{aligned}x_V &= \frac{-12}{2 \cdot (-2)} \\ &= 3\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

yV=−18+36−10=8\begin{aligned}y_V &= -18 + 36 - 10 \\ &= 8\end{aligned}

הערך המקסימלי

בהצבה של x=3x = 3 שימו לב ל-−2⋅9=−18-2 \cdot 9 = -18: המינוס של aa נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו תחום החיוביות של הפרבולה y=x2−2x−8y = x^2 - 2x - 8?

  1. x<−2x < -2 או x>4x > 4
  2. x<4x < 4
  3. x>1x > 1
  4. −2<x<4-2 < x < 4
Show the answer and the solution

Answer: A x<−2x < -2 או x>4x > 4

Worked solution:

x2−2x−8=0 ⇒ (x−4)(x+2)=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים x=4x = 4, x=−2x = -2

a=1>0a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: חיובית מחוץ לשורשים

הנכונה: x<−2x < -2 או x>4x > 4. −2<x<4-2 < x < 4 הוא תחום השליליות. תחום החיוביות של פרבולה שפתוחה כלפי מעלה הוא תמיד שני קטעים.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו תחום השליליות של הפרבולה y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5?

  1. x>5x > 5
  2. x<3x < 3
  3. x<1x < 1 או x>5x > 5
  4. 1<x<51 < x < 5
Show the answer and the solution

Answer: C x<1x < 1 או x>5x > 5

Worked solution:

−x2+6x−5=0 ⇒ x2−6x+5=0\begin{aligned}-x^2 + 6x - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 - 6x + 5 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב-−1-1

(x−1)(x−5)=0(x - 1)(x - 5) = 0

השורשים x=1x = 1, x=5x = 5

a=−1<0a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: שלילית מחוץ לשורשים

הנכונה: x<1x < 1 או x>5x > 5. x>5x > 5 לבד שוכח את הצד השמאלי. 1<x<51 < x < 5 הוא תחום החיוביות.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפרבולה y=(x−4)2−9y = (x - 4)^2 - 9. השלימו.

קדקוד: x=x = ____ , y=y = ____ ; חיתוך עם ציר yy: (0,(0, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: קדקוד: x=x = 4 , y=y = -9 ; חיתוך עם ציר yy: (0,(0, 7 ))

Worked solution:

V(4, −9)V(4,\,-9)

קוראים מצורת הקדקוד: p=4p = 4, k=−9k = -9

y(0)=(0−4)2−9=16−9=7\begin{aligned}y(0) &= (0 - 4)^2 - 9 \\ &= 16 - 9 \\ &= 7\end{aligned}

מציבים x=0x = 0

החיתוך עם ציר ה-yy אינו −9-9: בצורת הקדקוד kk הוא גובה הקדקוד, לא cc. צריך להציב x=0x = 0.

Check the answer on elev

Exercise 8

כתבו את y=x2+8x+11y = x^2 + 8x + 11 בצורה a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k.

  1. y=(x+4)2+27y = (x + 4)^2 + 27
  2. y=(x+4)2−5y = (x + 4)^2 - 5
  3. y=(x−4)2−5y = (x - 4)^2 - 5
  4. y=(x+4)2+11y = (x + 4)^2 + 11
Show the answer and the solution

Answer: B y=(x+4)2−5y = (x + 4)^2 - 5

Worked solution:

xV=−82=−4yV=16−32+11=−5\begin{aligned}x_V &= \frac{-8}{2} \\ &= -4 \\ \qquad y_V &= 16 - 32 + 11 \\ &= -5\end{aligned}

הקדקוד (−4, −5)(-4,\,-5)

y=(x+4)2−5y = (x + 4)^2 - 5

p=−4p = -4, ולכן x−(−4)=x+4x - (-4) = x + 4

x2+8x+16−5=x2+8x+11 ✓x^2 + 8x + 16 - 5 = x^2 + 8x + 11 \ \checkmark

בדיקה

הנכונה: (x+4)2−5(x + 4)^2 - 5. (x−4)2(x - 4)^2 מציב את הקדקוד ב-x=4x = 4, בצד הלא נכון. +11+11 מעתיק את cc במקום לחשב את kk.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3 חיובית לכל xx.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

Δ=4−12=−8<0\begin{aligned}\Delta &= 4 - 12 \\ &= -8 < 0\end{aligned}

אין שורשים: הסימן לא מתחלף אף פעם

a=1>0a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה, ולכן כולה מעל הציר

y=(x+1)2+2≥2y = (x + 1)^2 + 2 \geq 2

דרך שנייה: צורת הקדקוד, המינימום הוא 22

הטענה נכונה. פרבולה בלי שורשים לא חוצה את ציר ה-xx, אז היא כולה בצד אחד, והצד נקבע לפי aa.

Check the answer on elev

Exercise 10

בשרטוט הפרבולה y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3, עם השורשים x=−1x = -1 ו-x=3x = 3 והקדקוד (1, 4)(1,\,4). מיינו את הטענות.

  • נכון
  • לא נכון
  • הגרף חותך את ציר ה-yy בנקודה (0, 3)(0,\,3)
  • הפונקציה חיובית כאשר −1<x<3-1 < x < 3
  • הפונקציה יורדת כאשר x<1x < 1
  • הפונקציה עולה כאשר x<1x < 1
  • הפונקציה שלילית כאשר x>3x > 3
  • הקדקוד (1, 4)(1,\,4) הוא נקודת מינימום
Show the answer and the solution

Answer: הפונקציה עולה כאשר x<1x < 1 — נכון · הפונקציה חיובית כאשר −1<x<3-1 < x < 3 — נכון · הקדקוד (1, 4)(1,\,4) הוא נקודת מינימום — לא נכון · הפונקציה שלילית כאשר x>3x > 3 — נכון · הפונקציה יורדת כאשר x<1x < 1 — לא נכון · הגרף חותך את ציר ה-yy בנקודה (0, 3)(0,\,3) — נכון

Worked solution:

a=−1<0a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: הקדקוד הוא מקסימום, ועולים אליו משמאל

−1<x<3 ⇒ y>0-1 < x < 3 \ \Rightarrow \ y > 0

בין השורשים הגרף מעל הציר

y(0)=3y(0) = 3

הנקודה CC

בפרבולה שפתוחה כלפי מטה הכול הפוך מהמקרה המוכר: עולה לפני הקדקוד, וחיובית בין השורשים. השרטוט מונע את הבלבול: מסתכלים, לא משננים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade