Solving together · Root function: derivative and investigation · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה עם קיצון בקצה, משיק לגרף של מנה, משוואה עם שורש שמסננת פתרון, פרמטרים, וחקירה שבה הגרף נוגע בציר. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה, וקיצון בקצה התחום

Interactive activity

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+3}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה.

f(x)=x\sqrt{x+3}

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: תחום, צירים, נגזרת, חשודות, סימנים, גבהים.

א. תחום

x+3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

הקצה $x=-3$ יחזור בסעיף ב.

א. צירים

\begin{aligned}x\sqrt{x+3} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= -3\end{aligned}

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס. הנקודות $(0,0)$ ו- $(-3,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף. מוגדרת ל- $x>-3$ .

ב. חשודות

\begin{aligned}3x+6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

וגם הקצה $x=-3$ .

ב. סימנים

f'(-2.5)<0 \qquad f'(0)=\frac{6}{2\sqrt{3}}>0

המכנה חיובי, והסימן הוא של $3x+6$ .

ב. גבהים

\begin{aligned}f(-2) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2 \qquad f(-3) \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב- $f$ .

ב. מסקנה

\min (-2,\,-2) \qquad \max (-3,\,0) \ \text{קצה}

מהקצה הפונקציה יורדת, ולכן הקצה מקסימום.

ג.

-3<x<-2: \ \searrow \qquad x>-2: \ \nearrow

יורדת ב- $-3<x<-2$ , עולה ב- $x>-2$ .

ב- $x=-3$ הנגזרת לא מוגדרת, ובכל זאת יש שם קיצון. מי שמחפש רק $f'(x)=0$ מפספס חצי מהתשובה של סעיף ב.

Do the activity on elev

האם $(-3,\,0)$ היא הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף?

Show the answer and the solution

לא. $f(6)=6 \cdot 3=18$ . זה מקסימום מקומי: הוא גבוה רק מהנקודות הקרובות אליו. אחרי $x=-2$ הפונקציה עולה בלי סוף.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משיק לגרף של מנה

Interactive activity

משוואת המשיק ל- $f(x)=\frac{x+8}{\sqrt{x}}$ בנקודה שבה $x=4$

נתונה $f(x)=\frac{x+8}{\sqrt{x}}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ .

$y=-\frac{1}{4}x+7$

$y=-\frac{1}{4}x+6$

$y=\frac{1}{4}x+5$

$y=-4x+22$

מה הצעד הראשון?

נקודת ההשקה: $f(4)$

Show the answer and the solution

לישר צריך נקודה ושיפוע. הנקודה באה מ- $f$ .

מציבים $f'(4)$ במקום $y_0$

Show the answer and the solution

$f'(4)$ הוא שיפוע, לא גובה.

\begin{aligned}f(4) &= \frac{12}{2} \\ &= 6 \ \Rightarrow \ (4,\,6)\end{aligned}

נקודת ההשקה

איך גוזרים?

כלל המנה: $\frac{1 \cdot \sqrt{x}-(x+8) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$

Show the answer and the solution

נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, חלקי ריבוע המכנה.

$\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}$

Show the answer and the solution

מנת הנגזרות אינה נגזרת המנה.

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{2-\frac{12}{4}}{4} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

השיפוע: מציבים בלי לפשט

ומה עכשיו?

$y-6=-\frac{1}{4}(x-4)$

Show the answer and the solution

שיפוע ונקודה בנוסחת הישר.

Show the answer and the solution

הגובה נכתב במקום המספר החופשי. הישר הזה לא עובר ב- $(4,6)$ .

\begin{aligned}y &= -\frac{1}{4}x+1+6 \\ &= -\frac{1}{4}x+7\end{aligned}

משוואת המשיק

Show the answer and the solution

$y=-\frac{1}{4}x+7$ . בדיקה: ב- $x=4$ הישר נותן $-1+7=6$ ✓. « $y=-4x+22$ » הפך את השיפוע, ו« $y=\frac{1}{4}x+5$ » הפך את סדר החיסור בכלל המנה.

Do the activity on elev

באיזה $x$ המשיק לגרף הזה אופקי?

Show the answer and the solution

מפשטים: $f'(x)=\frac{2x-(x+8)}{2x\sqrt{x}}=\frac{x-8}{2x\sqrt{x}}$ . המונה מתאפס ב- $x=8$ , ושם הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס: מינימום.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משוואה עם שורש, ופתרון שנפסל

Interactive activity

נתונה $f(x)=5\sqrt{x^2+36}-4x$ . א. מהו תחום ההגדרה? ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. ג. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ .

f(x)=5\sqrt{x^2+36}-4x

לחצו «להתחיל». בסעיף ב מחכה פתרון שצריך לפסול.

א.

x^2+36>0 \ \Rightarrow \ \text{כל } x

אין קצה לתחום.

ב. נגזרת

f'(x)=\frac{5x}{\sqrt{x^2+36}}-4

נגזרת הפנימית $2x$ , וה- $2$ מצטמצם.

ב. מבודדים

5x=4\sqrt{x^2+36}

משווים לאפס וכופלים במכנה.

ב. בריבוע

\begin{aligned}25x^2 &= 16x^2+576 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 8\end{aligned}

שני פתרונות למשוואה שבריבוע.

ב. בדיקה

\begin{aligned}x &= 8: \ 40 \\ &= 4 \cdot 10 \ \checkmark \qquad x \\ &= -8: \ -40 \neq 40\end{aligned}

$x=-8$ נפסל.

ב. סוג

\begin{aligned}f'(0) &= -4<0 \qquad f'(8) \\ &= 0 \qquad f'(10) \\ &= \tfrac{50}{\sqrt{136}}-4>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס.

ב. מסקנה

\begin{aligned}f(8) &= 50-32 \\ &= 18 \ \Rightarrow \ \min (8,\,18)\end{aligned}

הגובה מ- $f$ .

ג.

\begin{aligned}f(0) &= 30 \\ \quad f'(0) &= -4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x+30\end{aligned}

כאן $x_0=0$ , ולכן הגובה הוא המספר החופשי.

בלי הבדיקה היו יוצאות שתי נקודות קיצון. אבל ב- $x=-8$ הנגזרת היא $-\frac{40}{10}-4=-8$ , רחוק מאפס.

Do the activity on elev

למה המינימום $(8,\,18)$ הוא מוחלט?

Show the answer and the solution

הוא הנקודה החשודה היחידה, והתחום בלי קצוות. הפונקציה יורדת לפניו ועולה אחריו, ולכן כל ערך אחר גדול מ- $18$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטרים

Interactive activity

שני פרמטרים משני תנאים

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , ו- $a$ , $b$ פרמטרים. ידוע ש- $f(0)=2$ , ושיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=2 ,\ b=4$

$a=1 ,\ b=4$

$a=4 ,\ b=2$

$a=2 ,\ b=2$

מה אומר $f(0)=2$ ?

$\sqrt{b}=2$ , ולכן $b=4$

Show the answer and the solution

מציבים $x=0$ בפונקציה ומעלים בריבוע.

$b=2$

Show the answer and the solution

שכחתם להעלות בריבוע: $\sqrt{2} \neq 2$ .

\begin{aligned}\sqrt{b} &= 2 \ \Rightarrow \ b \\ &= 4\end{aligned}

התנאי הראשון, על $f$

מהי הנגזרת?

$f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$

Show the answer and the solution

נגזרת הפנימית $a$ במונה.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{ax+b}}$

Show the answer and the solution

שכחתם את נגזרת הפנימית, ואז $a$ נעלם מהתנאי.

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{2\sqrt{4}} \\ &= \frac{a}{4}\end{aligned}

מציבים $x=0$ ו- $b=4$

איך מסיימים?

$\frac{a}{4}=\frac{1}{2}$ , ולכן $a=2$

Show the answer and the solution

התנאי השני, על $f'$ .

$\frac{a}{4}=2$ , ולכן $a=8$

Show the answer and the solution

$2$ הוא הגובה, לא השיפוע.

\begin{aligned}a &= 2 \\ \quad b &= 4 \ \Rightarrow \ f(x) \\ &= \sqrt{2x+4}\end{aligned}

בדיקה: $f(0)=2$ ✓, $f'(0)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ✓

Show the answer and the solution

$a=2$ , $b=4$ . « $a=1$ » שכח את נגזרת הפנימית. « $b=2$ » לא העלה בריבוע. תנאי על גובה הולך ל- $f$ , תנאי על שיפוע הולך ל- $f'$ .

Do the activity on elev

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה שמצאנו?

Show the answer and the solution

$2x+4 \geq 0$ , כלומר $x \geq -2$ . הגרף מתחיל ב- $(-2,\,0)$ , עובר ב- $(0,\,2)$ ועולה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — חקירה שבה הגרף נוגע בציר

Interactive activity

נתונה $f(x)=x-2\sqrt{x-1}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. שרטטו סקיצה.

f(x)=x-2\sqrt{x-1}

לחצו «להתחיל». שימו לב לציר ה- $y$ .

א. תחום

x \geq 1

ולכן $x=0$ מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

א. ציר x

\begin{aligned}x &= 2\sqrt{x-1} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4x-4 \ \Rightarrow \ (x-2)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: $2=2\sqrt{1}$ ✓. הנקודה $(2,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{2}{2\sqrt{x-1}} \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{x-1}} \ \\ \quad x>1\end{aligned}

הנגזרת מוגדרת רק ל- $x>1$ .

ב. חשודות

\begin{aligned}\sqrt{x-1} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

וגם הקצה $x=1$ .

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(1.25) &= 1-2<0 \qquad f'(5) \\ &= 1-\tfrac{1}{2}>0\end{aligned}

יורדת ב- $1<x<2$ , עולה ב- $x>2$ .

ב. מסקנה

\min (2,\,0) \qquad \max (1,\,1) \ \text{קצה}

$f(1)=1$ . מהקצה הפונקציה יורדת: מקסימום מקומי.

ג.

(1,\,1) \searrow (2,\,0) \nearrow

הסקיצה מתחילה ב- $(1,1)$ , יורדת עד $(2,0)$ ועולה.

המינימום $(2,0)$ נמצא על ציר ה- $x$ , ולכן הגרף נוגע בציר ולא חותך אותו. זה מה שסיפר הפתרון הכפול $(x-2)^2=0$ .

Do the activity on elev

האם יש לפונקציה ערך שלילי?

Show the answer and the solution

לא. המינימום המוחלט הוא $0$ , ב- $x=2$ . לכן $f(x) \geq 0$ בכל התחום, כלומר $x \geq 2\sqrt{x-1}$ לכל $x \geq 1$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+12}$ . מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה ואת שיעור ה- $x$ של נקודת המקסימום בקצה התחום.

מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מקסימום בקצה: $x=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: מינימום: $($ -8 $,$ -16 $)$ ; מקסימום בקצה: $x=$ -12

Worked solution:

x \geq -12

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+12)+x}{2\sqrt{x+12}} \\ &= \frac{3x+24}{2\sqrt{x+12}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

\begin{aligned}x &= -8 \ \\ \ \ f(-8) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

חשודה וגובה

-12<x<-8: \ f'<0 \qquad x>-8: \ f'>0

ממינוס לפלוס

מינימום $(-8,\,-16)$ , ומקסימום מקומי בקצה $(-12,\,0)$ . מהקצה הפונקציה יורדת, ולכן הקצה הוא מקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x}}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ ?

$y=x+3$
$y=-x+4$
$y=-x+5$
$y=-x+1$

Show the answer and the solution

Answer: C $y=-x+5$

Worked solution:

f(1)=4

נקודת ההשקה $(1,\,4)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+3}{2\sqrt{x}}}{x} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}y-4 &= -(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x+5\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=-x+5$ . « $y=-x+4$ » כתב את הגובה במקום המספר החופשי. « $y=x+3$ » הפך את סדר החיסור בכלל המנה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=5\sqrt{x^2+81}-4x$ . מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ 12 , $y=$ 27

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x}{\sqrt{x^2+81}}-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 5x \\ &= 4\sqrt{x^2+81}\end{aligned}

מבודדים

\begin{aligned}25x^2 &= 16x^2+1296 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 12\end{aligned}

בריבוע

\begin{aligned}x &= 12: \ 60 \\ &= 4 \cdot 15 \ \checkmark \qquad x \\ &= -12: \ -60 \neq 60\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}f(12) &= 75-48 \\ &= 27\end{aligned}

הגובה; ממינוס לפלוס: מינימום

מינימום $(12,\,27)$ . $x=-12$ פותר רק את המשוואה שבריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , ו- $a$ , $b$ פרמטרים. ידוע ש- $f(0)=3$ , ושיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ 3 , $b=$ 9

Worked solution:

\begin{aligned}\sqrt{b} &= 3 \ \Rightarrow \ b \\ &= 9\end{aligned}

תנאי על $f$

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{2\sqrt{9}} \\ &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

תנאי על $f'$

$f(x)=\sqrt{3x+9}$ . מי שכותב $b=3$ לא העלה בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=x-4\sqrt{x-3}$ . מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

x \geq 3

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{2}{\sqrt{x-3}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x-3} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

חשודה

\begin{aligned}f'(4) &= -1<0 \qquad f'(12) \\ &= \tfrac{1}{3}>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

\begin{aligned}f(7) &= 7-8 \\ &= -1\end{aligned}

הגובה

הערך הקטן ביותר $-1$ , ב- $x=7$ . הקצה $(3,\,3)$ הוא מקסימום מקומי, לא מינימום: מהקצה הפונקציה יורדת.

Check the answer on elev

1 — חקירה, וקיצון בקצה התחום

2 — משיק לגרף של מנה

3 — משוואה עם שורש, ופתרון שנפסל

4 — פרמטרים

5 — חקירה שבה הגרף נוגע בציר

Exercises

Keep practising on elev