Full study of a root function

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חקירה של פונקציית שורש היא אותה חקירה כמו של פולינום. דבר אחד חדש: לתחום יש קצה. בקצה הנגזרת לא מוגדרת, אבל לפונקציה יש ערך, ולכן יכולה להיות שם נקודת קיצון.

y = 4√x − x
(0,0)(4,4)(16,0)024681012141618-2-112345xy
הגרף מתחיל ב-(0,0)(0,0), עולה עד (4,4)(4,4), יורד, וחותך את ציר ה-xx ב-(16,0)(16,0). אחרי 1616 הוא ממשיך לרדת.

לפי הגרף, לפני כל חישוב: מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה? והאם (0,0)(0,0) היא נקודת קיצון?

Show the answer and the solution

הערך הגדול ביותר הוא 44, ב-x=4x=4. הנקודה (0,0)(0,0) נמוכה מהנקודות הקרובות אליה בתחום, כי הגרף מתחיל שם ומיד עולה. לכן זו נקודת מינימום בקצה התחום. היא מינימום מקומי בלבד: אחרי x=16x=16 יש ערכים שליליים.

11

תחום הגדרה

22

זוגיות, אם התחום סימטרי

33

חיתוך עם הצירים

44

נגזרת, ואיפה היא מוגדרת

55

נקודות חשודות: f′(x)=0f'(x)=0, וגם קצוות התחום

66

עלייה וירידה, וסוג כל נקודה: מקומית או מוחלטת

77

סקיצה

קיצון בקצה התחום

בקצה התחום משווים את ff לערכים שלידו בתוך התחום. אם מהקצה הפונקציה עולה, הקצה הוא מינימום. אם היא יורדת, הקצה הוא מקסימום. את הכיוון קוראים מהסימן של f′f' בקטע הסמוך לקצה.

y = x√(12 − x)
(0,0)(8,16)(12,0)-3-2-1012345678910111213-9-6-3369121518xy
מקסימום ב-(8,16)(8,16). הנקודה (12,0)(12,0) היא קצה התחום: הגרף מגיע אליה בירידה ונעצר. משמאל הגרף יורד מתחת לציר ה-xx.

ב-f(x)=x12−xf(x)=x\sqrt{12-x} התחום הוא x≤12x \leq 12. הנגזרת f′(x)=24−3x212−xf'(x)=\frac{24-3x}{2\sqrt{12-x}} מתאפסת ב-x=8x=8. המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של 24−3x24-3x: חיובי ב-x<8x<8, שלילי ב-8<x<128<x<12. מקסימום (8,16)(8,16), מוחלט. בקצה (12,0)(12,0) הפונקציה מגיעה בירידה: מינימום קצה, מקומי, כי f(−3)=−315<0f(-3)=-3\sqrt{15}<0.

מה סוג הנקודה (5,0)(5,0) בגרף של f(x)=x−5f(x)=\sqrt{x-5}?

Show the answer and the solution

התחום x≥5x \geq 5, ו-f′(x)=12x−5>0f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}>0 לכל x>5x>5: הפונקציה עולה. לכן (5,0)(5,0) היא מינימום בקצה התחום, והוא מוחלט, כי שורש אינו שלילי.

כשהתחום הוא כל המספרים: טבלת סימנים

זוגיות

f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}

זוגית: f(−x)=9−(−x)2=f(x)f(-x)=\sqrt{9-(-x)^2}=f(x). הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(x)=xx2+4f(x)=x\sqrt{x^2+4}

אי-זוגית: f(−x)=−xx2+4=−f(x)f(-x)=-x\sqrt{x^2+4}=-f(x)

f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1}

לא זוגית ולא אי-זוגית: התחום x≥−1x \geq -1 לא סימטרי

האם f(x)=x2−x2+5f(x)=x^2-\sqrt{x^2+5} זוגית?

Show the answer and the solution

כן. התחום הוא כל xx, ו-f(−x)=(−x)2−(−x)2+5=f(x)f(-x)=(-x)^2-\sqrt{(-x)^2+5}=f(x). בכל מקום ש-xx מופיע, הוא מופיע בריבוע.

הגרף של ff והגרף של f′f'

הגרף של f ושל f′
ff′024681012141618-2-1012345xy
f(x)=4√x−xf(x)=4\surd x-x והנגזרת f′(x)=2√x−1f'(x)=\frac{2}{\surd x}-1 על אותם צירים. f′f' מעל הציר ב-0<x<40<x<4, שם ff עולה. f′f' חותכת את הציר ב-x=4x=4, בדיוק מתחת למקסימום של ff.

הקשר זהה לזה של פולינום: איפה f′>0f'>0, ff עולה; איפה f′<0f'<0, ff יורדת; איפה f′f' חותכת את הציר ועוברת מסימן לסימן, יש ל-ff קיצון. ליד הקצה x=0x=0 הגרף של f′f' עולה מאוד: שם ff עולה תלול מאוד.

פרמטרים

פרמטר מנקודת קיצון

נתונה f(x)=ax−xf(x)=a\sqrt{x}-x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=9x=9. מצאו את aa ואת סוג הנקודה.

f′(x)=a2x−1f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-1

גוזרים עם הפרמטר

f′(9)=a6−1=0 ⇒ a=6\begin{aligned}f'(9) &= \frac{a}{6}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת

f′(4)=12>0f′(16)=−14<0\begin{aligned}f'(4) &= \tfrac{1}{2}>0 \qquad f'(16) \\ &= -\tfrac{1}{4}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

f(9)=18−9=9 ⇒ max⁡(9, 9)\begin{aligned}f(9) &= 18-9 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ \max (9,\,9)\end{aligned}

הגובה מ-ff

נקודה חשודה שמצאתם, בדקו שהיא בתוך התחום. ובסוף החקירה, עברו על כל קצה של התחום ושאלו: עולים ממנו או יורדים ממנו?

שלוש טעויות בחקירה של פונקציית שורש.

חשודות: f′(x)=0\text{חשודות}: \ f'(x)=0
חשודות: f′(x)=0  קצוות\begin{aligned}\text{חשודות}: \ f'(x) &= 0 \ \\ \ \text{קצוות}\end{aligned}

בקצה התחום הנגזרת לא מתאפסת, ובכל זאת יש שם קיצון.

f′(4)=0 ⇒ (4, 0)f'(4)=0 \ \Rightarrow \ (4,\,0)
f(4)=4 ⇒ (4, 4)f(4)=4 \ \Rightarrow \ (4,\,4)

את שיעור ה-yy מחשבים ב-ff, לא ב-f′f'.

x12−x : min⁡(12,0) מוחלטx \sqrt{12-x} \ : \ \min (12,0) \ \text{מוחלט}
min⁡(12,0) מקומי\min (12,0) \ \text{מקומי}

משמאל יש ערכים שליליים: f(−3)<0f(-3)<0. מוחלט דורש להשוות לכל התחום.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=2x−xf(x)=2\sqrt{x}-x. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 1 , y=y= 1

Worked solution:

f′(x)=1x−1f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-1

הנגזרת

x=1 ⇒ x=1\begin{aligned}\sqrt{x} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

משווים לאפס

f(1)=2−1=1\begin{aligned}f(1) &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

הגובה מ-ff

f′(14)=1>0  f′(4)=−12<0\begin{aligned}f'(\tfrac{1}{4}) &= 1>0 \\ \ \ f'(4) &= -\tfrac{1}{2}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

מקסימום (1, 1)(1,\,1). מי ששוכח את ה-22 של (x)′(\sqrt{x})' כותב 2x−1\frac{2}{\sqrt{x}}-1 ומקבל x=4x=4.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=2x−xf(x)=2\sqrt{x}-x. מה נכון לגבי הנקודה (0,0)(0,0)?

  1. אינה על הגרף
  2. נקודת מקסימום בקצה התחום
  3. אינה נקודת קיצון, כי f′(0)f'(0) לא מוגדרת
  4. נקודת מינימום בקצה התחום
Show the answer and the solution

Answer: D נקודת מינימום בקצה התחום

Worked solution:

x≥0x \geq 0

x=0x=0 הוא קצה התחום

0<x<1: f′>00<x<1: \ f'>0

מהקצה הפונקציה עולה

הנכונה: מינימום בקצה. בקצה הנגזרת לא מוגדרת, ובכל זאת יש קיצון: משווים את f(0)=0f(0)=0 לערכים הסמוכים, שכולם גדולים ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x3−xf(x)=x\sqrt{3-x}. באיזה תחום הפונקציה עולה?

  1. x<3x<3
  2. 2<x<32<x<3
  3. 0<x<20<x<2
  4. x<2x<2
Show the answer and the solution

Answer: D x<2x<2

Worked solution:

f′(x)=3−x−x23−x=6−3x23−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{3-x}-\frac{x}{2\sqrt{3-x}} \\ &= \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

6−3x>0 ⇒ x<26-3x>0 \ \Rightarrow \ x<2

המכנה חיובי

הנכונה: x<2x<2. התחום הוא x≤3x \leq 3, והוא כולל גם מספרים שליליים: 0<x<20<x<2 שוכח אותם. 2<x<32<x<3 הוא תחום הירידה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=8−2x+xf(x)=\sqrt{8-2x}+x. השלימו.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; בקצה התחום: f=f= ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: (( 3.5 ,, 4.5 )) ; בקצה התחום: f=f= 4

Worked solution:

8−2x≥0 ⇒ x≤48-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

תחום

f′(x)=−18−2x+1=0 ⇒ 8−2x=1 ⇒ x=3.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{8-2x}}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{8-2x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5\end{aligned}

נקודה חשודה

f(3.5)=1+3.5=4.5f(4)=0+4=4\begin{aligned}f(3.5) &= 1+3.5 \\ &= 4.5 \\ \quad f(4) &= 0+4 \\ &= 4\end{aligned}

גבהים

f′(0)=1−18>0  f′(3.9)=1−10.2<0\begin{aligned}f'(0) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{8}}>0 \\ \ \ f'(3.9) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{0.2}}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

מקסימום (3.5, 4.5)(3.5,\,4.5) ומינימום בקצה (4, 4)(4,\,4). בין שתי הנקודות הפונקציה יורדת רק בחצי יחידה.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: ל-f(x)=x2+4f(x)=\sqrt{x^2+4} יש מינימום מוחלט בנקודה (0, 2)(0,\,2).

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=xx2+4f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

הנגזרת

x<0: f′<0x>0: f′>0x<0: \ f'<0 \qquad x>0: \ f'>0

יורדת ואז עולה

f(0)=2f(0)=2

הגובה

הטענה נכונה. זו נקודת הקיצון היחידה, ובכל מקום אחר x2+4>4x^2+4>4, ולכן f(x)>2f(x)>2.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=ax−2xf(x)=a\sqrt{x}-2x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=4x=4. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f′(x)=a2x−2f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-2

גוזרים

f′(4)=a4−2=0 ⇒ a=8\begin{aligned}f'(4) &= \frac{a}{4}-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת בקיצון פנימי

התנאי הוא על f′f', לא על ff. מי שכותב f(4)=0f(4)=0 מקבל a=4a=4.

Check the answer on elev

Exercise 7

מיינו את הפונקציות: זוגיות, ולא זוגיות.

  • זוגית
  • לא זוגית
  • 16−x2\sqrt{16-x^2}
  • x2+1\sqrt{x^2+1}
  • x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2}
  • x+4\sqrt{x+4}
  • xx2+1x\sqrt{x^2+1}
  • x2+x2+5x^2+\sqrt{x^2+5}
Show the answer and the solution

Answer: 16−x2\sqrt{16-x^2} — זוגית · x2+1\sqrt{x^2+1} — זוגית · x2+x2+5x^2+\sqrt{x^2+5} — זוגית · x+4\sqrt{x+4} — לא זוגית · xx2+1x\sqrt{x^2+1} — לא זוגית · x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2} — לא זוגית

Worked solution:

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)

זוגית: xx מופיע רק בריבוע

x+4 : x≥−4\sqrt{x+4} \ : \ x \geq -4

התחום לא סימטרי

(−x)x2+1=−f(x)(-x)\sqrt{x^2+1}=-f(x)

אי-זוגית, לא זוגית

(−x)2+2(−x)+2=x2−2x+2(-x)^2+2(-x)+2=x^2-2x+2

המחובר 2x2x מחליף סימן

בודקים f(−x)f(-x). x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2} נראית זוגית, אבל המחובר 2x2x מחליף סימן: f(1)=5f(1)=\sqrt{5} ו-f(−1)=1f(-1)=1.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף של f′
(16,0)051015202530-101234f′(x)x

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של הפונקציה f(x)=8x−xf(x)=8\sqrt{x}-x, בתחום x>0x>0. מה נכון לגבי ff?

  1. ל-ff מקסימום ב-x=1x=1
  2. ל-ff מקסימום ב-x=16x=16
  3. ל-ff מינימום ב-x=16x=16
  4. ff יורדת לכל x>0x>0
Show the answer and the solution

Answer: B ל-ff מקסימום ב-x=16x=16

Worked solution:

f′(x)=4x−1f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}-1

הנגזרת בשרטוט

0<x<16: f′>0x>16: f′<00<x<16: \ f'>0 \qquad x>16: \ f'<0

מעל הציר, ואז מתחת

הנכונה: מקסימום ב-x=16x=16. הגרף של f′f' יורד כל הזמן, אבל ff עצמה עולה כל עוד f′f' מעל הציר.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x27−xf(x)=x\sqrt{27-x}. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: 54

Worked solution:

f′(x)=2(27−x)−x227−x=54−3x227−x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(27-x)-x}{2\sqrt{27-x}} \\ &= \frac{54-3x}{2\sqrt{27-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=18 ;  x<18: f′>0  18<x<27: f′<0\begin{aligned}x &= 18 \ ;\ \ x<18: \ f'>0 \\ \ \ 18<x<27: \ f'<0\end{aligned}

מקסימום

f(18)=18⋅3=54\begin{aligned}f(18) &= 18 \cdot 3 \\ &= 54\end{aligned}

הגובה

מקסימום מוחלט, כי זו הנקודה החשודה הפנימית היחידה והפונקציה עולה לפניה ויורדת אחריה. הקצה (27, 0)(27,\,0) הוא מינימום מקומי.

Check the answer on elev

Exercise 10

y = √(9 − x²)
(−3,0)(0,3)(3,0)-4-3-2-101234123xy

בשרטוט הגרף של f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה?

  1. 22
  2. 33
  3. 11
  4. 00
Show the answer and the solution

Answer: B 33

Worked solution:

−3≤x≤3-3 \leq x \leq 3

תחום

f′(x)=−x9−x2=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום (0, 3)(0,\,3)

(−3, 0), (3, 0)(-3,\,0) ,\ (3,\,0)

שני קצוות: מינימום בכל אחד

שלוש. מי שעונה 11 ספר רק את אפסי הנגזרת. שני הקצוות הם נקודות מינימום.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 5

Exercise 11

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____

Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה: x≥x \geq 4

Worked solution:

3x−12≥03x-12 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

x≥4x \geq 4

מחלקים ב-33

תחום ההגדרה: x≥4x \geq 4.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}, שתחום הגדרתה x≥4x \geq 4. א. (2) מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

  1. (4, 0)(4,\,0) ו-(0, −12)(0,\,-12)
  2. (4, 0)(4,\,0) בלבד
  3. (−4, 0)(-4,\,0) בלבד
  4. (0, 4)(0,\,4) בלבד
Show the answer and the solution

Answer: B (4, 0)(4,\,0) בלבד

Worked solution:

3x−12=0 ⇒ x=4\begin{aligned}\sqrt{3x-12} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (4, 0)(4,\,0)

x=0∉{x≥4}x=0 \notin \{x \geq 4\}

אין חיתוך עם ציר ה-yy

הנכונה: (4, 0)(4,\,0) בלבד. f(0)=−12f(0)=\sqrt{-12} לא מוגדר, ולכן הגרף לא מגיע לציר ה-yy. (0, −12)(0,\,-12) שכח את השורש.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}, שתחום הגדרתה x≥4x \geq 4. א. (3) הוכיחו או הפריכו: f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}, ולכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}

הנגזרת הפנימית היא 33

x>4: 3x−12>0 ⇒ f′(x)>0x>4: \ \sqrt{3x-12}>0 \ \Rightarrow \ f'(x)>0

מונה חיובי ומכנה חיובי

הטענה נכונה. הנגזרת חיובית לכל x>4x>4, ולכן ff עולה מהקצה x=4x=4 והלאה: בכל תחום הגדרתה.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. א. (4) איזה תיאור מתאים לסקיצה של גרף הפונקציה?

  1. מתחיל בנקודה (0, 4)(0,\,4) ועולה ימינה
  2. מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה ימינה, ונעשה פחות תלול
  3. מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה שמאלה
  4. פרבולה שקודקודה בנקודה (4, 0)(4,\,0)
Show the answer and the solution

Answer: B מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה ימינה, ונעשה פחות תלול

Worked solution:

x≥4 f(4)=0\begin{aligned}x \geq 4 \\ \ f(4) &= 0\end{aligned}

הגרף מתחיל על ציר ה-xx ב-(4, 0)(4,\,0) וממשיך ימינה

f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}

חיובית, והולכת וקטנה כש-xx גדל

הגרף הוא «חצי פרבולה שוכבת»: מתחיל ב-(4, 0)(4,\,0), עולה ימינה, והשיפוע שלו קטן.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. ב. הפונקציה gg מקיימת g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3). מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x).

תחום ההגדרה של gg: x≥x \geq ____

Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה של gg: x≥x \geq 1

Worked solution:

g(x)=3(x+3)−12=3x−3\begin{aligned}g(x) &= \sqrt{3(x+3)-12} \\ &= \sqrt{3x-3}\end{aligned}

מציבים x+3x+3 במקום xx

3x−3≥0 ⇒ x≥13x-3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 1

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

תחום ההגדרה של gg: x≥1x \geq 1. הגרף של gg הוא הגרף של ff מוזז 33 יחידות שמאלה, ולכן גם הקצה זז מ-44 ל-11.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 7

Exercise 16

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. כל xx
  2. x≥4x \geq 4
  3. x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4
  4. 2≤x≤42 \leq x \leq 4
Show the answer and the solution

Answer: C x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4

Worked solution:

x2−6x+8≥0x^2-6x+8 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

(x−2)(x−4)≥0(x-2)(x-4) \geq 0

שורשים: x=2x=2 ו-x=4x=4

x≤2 או x≥4x \leq 2 \ \text{או} \ x \geq 4

פרבולה «שמחה»: אי-שלילית מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. בין 22 ל-44 הביטוי שלילי: f(3)=−1f(3)=\sqrt{-1} לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 17

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ב. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

עם ציר ה-xx: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטן לגדול). עם ציר ה-yy: y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר ה-xx: x=x= 2 ו-x=x= 4 (מהקטן לגדול). עם ציר ה-yy: y=y= 2.83

Worked solution:

x2−6x+8=0 ⇒ x=2 x=4\begin{aligned}\sqrt{x^2-6x+8} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (2, 0)(2,\,0), (4, 0)(4,\,0)

f(0)=8≈2.83f(0)=\sqrt{8}\approx 2.83

x=0x=0 בתחום (0≤20 \leq 2): חיתוך עם ציר ה-yy

שלוש נקודות: (2, 0)(2,\,0), (4, 0)(4,\,0) ו-(0, 8)(0,\,\sqrt{8}).

Check the answer on elev

Exercise 18

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ג. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4
  2. יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>3x>3
  3. עולה בכל תחום הגדרתה
  4. עולה ב-x<2x<2, יורדת ב-x>4x>4
Show the answer and the solution

Answer: A יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4

Worked solution:

f′(x)=2x−62x2−6x+8=x−3x2−6x+8\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+8}} \\ &= \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+8}}\end{aligned}

גוזרים

x<2: x−3<0 ⇒ f′(x)<0x<2: \ x-3<0 \ \Rightarrow \ f'(x)<0

יורדת

x>4: x−3>0 ⇒ f′(x)>0x>4: \ x-3>0 \ \Rightarrow \ f'(x)>0

עולה

הנכונה: יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4. f′f' מתאפסת ב-x=3x=3, אבל 33 לא בתחום: אין שם נקודת קיצון, ו-«x<3x<3» כולל קטע שבו הפונקציה לא מוגדרת.

Check the answer on elev

Exercise 19

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ה. האם הישר y=x−3y=x-3 חותך את גרף הפונקציה?

  1. לא, כי הישר יורד והגרף עולה
  2. כן, בשתי נקודות
  3. כן, בנקודה (3, 0)(3,\,0)
  4. לא: המשוואה x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3 מובילה ל-8=98=9
Show the answer and the solution

Answer: D לא: המשוואה x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3 מובילה ל-8=98=9

Worked solution:

x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3

משווים את שתי הפונקציות

x2−6x+8=x2−6x+9x^2-6x+8=x^2-6x+9

מעלים בריבוע (צריך גם x≥3x \geq 3)

8=98=9

סתירה: אין פתרון

הנכונה: לא. בכל צד של התחום הגרף נשאר מעל הישר: ל-x≤2x \leq 2 הישר שלילי והשורש אי-שלילי, ול-x≥4x \geq 4 הגרף מתקרב לישר בלי לגעת בו. (3, 0)(3,\,0) לא על הגרף: 33 לא בתחום.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 8

Exercise 20

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

____ ≤x≤\leq x \leq ____

Show the answer and the solution

Answer: 0 ≤x≤\leq x \leq 10

Worked solution:

10x−x2≥010x-x^2 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

x(10−x)≥0x(10-x) \geq 0

שורשים: x=0x=0 ו-x=10x=10

0≤x≤100 \leq x \leq 10

פרבולה «עצובה»: אי-שלילית בין השורשים

תחום ההגדרה: 0≤x≤100 \leq x \leq 10, קטע סגור.

Check the answer on elev

Exercise 21

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ב. מהם שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx?

x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטן לגדול)

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 2 ו-x=x= 8 (מהקטן לגדול)

Worked solution:

−4+10x−x2=0 ⇒ 10x−x2=4\begin{aligned}-4+\sqrt{10x-x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{10x-x^2} \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים את השורש

10x−x2=16 ⇒ x2−10x+16=0\begin{aligned}10x-x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x^2-10x+16 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

(x−2)(x−8)=0 ⇒ x=2 x=8\begin{aligned}(x-2)(x-8) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 8\end{aligned}

שניהם בתחום ✓

נקודות החיתוך: (2, 0)(2,\,0) ו-(8, 0)(8,\,0). בדיקה: 20−4=4\sqrt{20-4}=4 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 22

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה.

(( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 5 ,, 1 ))

Worked solution:

f′(x)=10−2x210x−x2=5−x10x−x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{10-2x}{2\sqrt{10x-x^2}} \\ &= \frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}\end{aligned}

גוזרים

f′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

המונה מתאפס

f(5)=−4+25=1\begin{aligned}f(5) &= -4+\sqrt{25} \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה-yy

הנקודה (5, 1)(5,\,1). משמאל לה f′>0f'>0 ומימין f′<0f'<0: זו נקודת מקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 23

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10, ונקודת המקסימום שלה (5, 1)(5,\,1). ג. מה סוג הנקודות (0, −4)(0,\,-4) ו-(10, −4)(10,\,-4), בקצוות התחום?

  1. אינן נקודות קיצון, כי f′f' לא מתאפסת בהן
  2. שתיהן נקודות מינימום (בקצה התחום)
  3. שתיהן נקודות מקסימום (בקצה התחום)
  4. (0, −4)(0,\,-4) מינימום ו-(10, −4)(10,\,-4) מקסימום
Show the answer and the solution

Answer: B שתיהן נקודות מינימום (בקצה התחום)

Worked solution:

f(0)=f(10)=−4\begin{aligned}f(0) &= f(10) \\ &= -4\end{aligned}

הערך בשני הקצוות

0<x<5: f′>00<x<5: \ f'>0

מהקצה x=0x=0 הפונקציה עולה: מינימום

5<x<10: f′<05<x<10: \ f'<0

אל הקצה x=10x=10 הפונקציה יורדת: מינימום

הנכונה: שתיהן מינימום. בקצה התחום לא בודקים f′=0f'=0: משווים לערכים שלידו בתוך התחום. כל ערכי ff גדולים מ-−4-4 או שווים לו.

Check the answer on elev

Exercise 24

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. עולה ב-2<x<52<x<5, יורדת ב-5<x<85<x<8
  2. עולה ב-x<5x<5, יורדת ב-x>5x>5
  3. יורדת ב-0<x<50<x<5, עולה ב-5<x<105<x<10
  4. עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10
Show the answer and the solution

Answer: D עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10

Worked solution:

f′(x)=5−x10x−x2f'(x)=\frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}

המכנה חיובי בתוך התחום

0<x<5: 5−x>00<x<5: \ 5-x>0

עולה

5<x<10: 5−x<05<x<10: \ 5-x<0

יורדת

הנכונה: עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10. «x<5x<5» שוכח שהפונקציה לא מוגדרת ב-x<0x<0. נקודות החיתוך 22 ו-88 לא משנות את הכיוון.

Check the answer on elev

Exercise 25

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. נקודות הקיצון שלה: (0, −4)(0,\,-4), (5, 1)(5,\,1) ו-(10, −4)(10,\,-4). נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c (cc פרמטר), שתחום הגדרתה הוא תחום ההגדרה של ff. ו. מהם כל ערכי cc שבעבורם הפונקציה g(x)g(x) חיובית בכל תחום הגדרתה?

c>c> ____

Show the answer and the solution

Answer: c>c> 4

Worked solution:

min⁡f=−4\min f=-4

הערך הקטן ביותר של ff, בשני הקצוות

min⁡g=−4+c\min g=-4+c

gg היא ff מוזזת cc יחידות למעלה

−4+c>0 ⇒ c>4-4+c>0 \ \Rightarrow \ c>4

גם הנקודה הנמוכה ביותר מעל ציר ה-xx

c>4c>4. ב-c=4c=4 הפונקציה מתאפסת בקצוות, ואפס הוא לא חיובי.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade