Tangent to the graph of a root function · Root function: derivative and investigation · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משיק לגרף של פונקציית שורש מוצאים בדיוק כמו משיק לגרף של פולינום: נקודה ושיפוע. השיפוע בא מהנגזרת, והגובה מהפונקציה.

הגרף של y = √(2x + 1) והמשיק בנקודה (4,3)

המשיק נוגע בגרף בנקודה

(4,3)

. השיפוע שלו הוא

f'(4)

, והוא חותך את ציר ה-

y

מעל הנקודה

(0,1)

של הגרף.

נתונה $f(x)=\sqrt{2x+1}$ . בדקו: מה $f(4)$ , מה $f'(4)$ , ואיפה המשיק חותך את ציר ה- $y$ ?

Show the answer and the solution

$f(4)=\sqrt{9}=3$ . $f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ , ולכן $f'(4)=\frac{1}{3}$ . המשיק: $y-3=\frac{1}{3}(x-4)$ , כלומר $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ . הוא חותך את ציר ה- $y$ ב- $\left(0,\,\frac{5}{3}\right)$ .

משוואת המשיק בשלושה צעדים

y-f(x_0)=f'(x_0) \cdot (x-x_0)

1

נקודת ההשקה: מציבים $x_0$ ב- $f$

2

השיפוע: מציבים $x_0$ ב- $f'$

3

הישר: נקודה ושיפוע בנוסחה, ומסדרים ל- $y=mx+n$

משיק לגרף של מכפלה

נתונה $f(x)=(x-1)\sqrt{x+3}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ .

\begin{aligned}f(1) &= 0 \cdot 2 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת ההשקה: $(1,\,0)$

f'(x)=\sqrt{x+3}+\frac{x-1}{2\sqrt{x+3}}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(1) &= 2+0 \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע. המחובר השני מתאפס ב- $x=1$

\begin{aligned}y-0 &= 2(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x-2\end{aligned}

משוואת המשיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f(x)=\sqrt{x+4}+x$ בנקודה שבה $x=0$ .

Show the answer and the solution

$f(0)=2$ . $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}+1$ , ולכן $f'(0)=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$ . המשיק: $y=\frac{5}{4}x+2$ .

כשהשיפוע נתון: משוואה עם שורש

שאלות כמו «איפה המשיק מקביל לציר ה- $x$ » או «איפה השיפוע $\frac{1}{3}$ » נותנות משוואה $f'(x)=k$ , ובה שורש. פותרים בשלושה צעדים: מבודדים את השורש, מעלים בריבוע, ובודקים כל פתרון במשוואה המקורית. העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון שאינו פתרון.

Interactive activity

איפה המשיק לגרף של $f(x)=5\sqrt{x^2+9}-4x$ מקביל לציר ה- $x$ ?

\begin{aligned}f(x) &= 5\sqrt{x^2+9}-4x \\ \quad f'(x) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משיק מקביל לציר ה- $x$ : השיפוע $0$ .

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5 \cdot 2x}{2\sqrt{x^2+9}}-4 \\ &= \frac{5x}{\sqrt{x^2+9}}-4\end{aligned}

נגזרת השורש, ונגזרת $-4x$ .

מבודדים

\begin{aligned}\frac{5x}{\sqrt{x^2+9}} &= 4 \ \Rightarrow \ 5x \\ &= 4\sqrt{x^2+9}\end{aligned}

כופלים במכנה, שהוא חיובי.

בריבוע

\begin{aligned}25x^2 &= 16(x^2+9) \ \Rightarrow \ 9x^2 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ x &= -4\end{aligned}

שני פתרונות למשוואה שבריבוע.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 4: \ 20 \\ &= 4 \cdot 5 \ \checkmark \qquad x \\ &= -4: \ -20 \neq 20\end{aligned}

$x=-4$ נפסל.

נקודה

\begin{aligned}f(4) &= 5 \cdot 5-16 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ (4,\,9)\end{aligned}

הגובה מ- $f$ . המשיק הוא הישר $y=9$ .

בלי הבדיקה היינו מוסיפים נקודה $(-4,\,41)$ שבה המשיק אינו אופקי: $f'(-4)=-4-4=-8$ .

Do the activity on elev

למה $x=-4$ נפסל, אם הוא פותר את $25x^2=16x^2+144$ ?

Show the answer and the solution

במשוואה $5x=4\sqrt{x^2+9}$ אגף ימין חיובי תמיד, כי שורש אינו שלילי. ב- $x=-4$ אגף שמאל הוא $-20$ . ההעלאה בריבוע «מחקה» את הסימן, ולכן חייבים לבדוק.

משיק שמקביל לישר נתון

השיפוע נתון

נתונה $f(x)=\sqrt{2x-3}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף שמקביל לישר $y=\frac{1}{3}x$ .

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{2x-3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2x-3}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2x-3}} &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ \sqrt{2x-3} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

ישרים מקבילים: אותו שיפוע. בדיקה: $\sqrt{9}=3$ ✓

f(6)=3

נקודת ההשקה: $(6,\,3)$

\begin{aligned}y-3 &= \frac{1}{3}(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3}x+1\end{aligned}

משוואת המשיק

שני מסננים לכל פתרון של משוואה עם שורש: הוא בתחום ההגדרה, והוא מקיים את המשוואה המקורית, לפני ההעלאה בריבוע.

שלוש טעויות במשיק.

y=f'(x_0) \cdot x+f(x_0)

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

הגובה $f(x_0)$ אינו המספר החופשי. זה נכון רק כש- $x_0=0$ .

m=f(x_0)

m=f'(x_0)

השיפוע בא מהנגזרת. $f(x_0)$ הוא הגובה.

\begin{aligned}5x &= 4\sqrt{x^2+9} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 4\end{aligned}

x=4

אחרי העלאה בריבוע בודקים. $x=-4$ נותן $-20=20$ , ונפסל.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=\sqrt{3x+4}$ . מצאו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}

נגזרת הפנימית $3$ במונה

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{3}{2 \cdot 4} \\ &= \frac{3}{8}\end{aligned}

מציבים

$\frac{3}{8}=0.375$ . מי שעונה $4$ חישב את הגובה $f(4)$ ולא את השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי משוואת המשיק לגרף של $f(x)=\sqrt{x}$ בנקודה שבה $x=9$ ?

$y=\frac{1}{6}x+3$
$y=\frac{1}{3}x$
$y=6x-51$
$y=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$

Show the answer and the solution

Answer: D $y=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$

Worked solution:

\begin{aligned}f(9) &= 3 \\ \quad f'(9) &= \frac{1}{2 \cdot 3} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y-3 &= \frac{1}{6}(x-9) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{6}x+\frac{3}{2}\end{aligned}

הישר

הנכונה: $y=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$ . « $y=\frac{1}{6}x+3$ » שם את הגובה במקום המספר החופשי. « $y=\frac{1}{3}x$ » שכח את ה- $2$ בנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=2\sqrt{x+5}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=-1$ חותך את ציר ה- $y$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך.

Show the answer and the solution

Answer: 4.5

Worked solution:

\begin{aligned}f(-1) &= 2\sqrt{4} \\ &= 4\end{aligned}

נקודת ההשקה $(-1,\,4)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+5}} \ \Rightarrow \ f'(-1) \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y-4 &= \frac{1}{2}(x+1) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x+4.5\end{aligned}

המשיק

המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $4.5$ , לא ב- $f(0)=2\sqrt{5}$ . המשיק והגרף הם שני קווים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=(x+2)\sqrt{x}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ , בצורה $y=mx+n$ .

$m=$ ____ , $n=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $m=$ 3.5 , $n=$ -2

Worked solution:

\begin{aligned}f(4) &= 6 \cdot 2 \\ &= 12\end{aligned}

נקודת ההשקה $(4,\,12)$

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x+2}{2\sqrt{x}} \ \Rightarrow \ f'(4) \\ &= 2+\frac{6}{4} \\ &= 3.5\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}y-12 &= 3.5(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3.5x-2\end{aligned}

המשיק

$m=3.5$ , $n=-2$ . מי שגוזר רק את $x+2$ מקבל שיפוע $\sqrt{4}=2$ : חצי מכלל המכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=\sqrt{2x+1}$ . באיזה $x$ שיפוע המשיק לגרף הוא $\frac{1}{5}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}

הנגזרת

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2x+1}} &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ \sqrt{2x+1} \\ &= 5\end{aligned}

משווים לשיפוע

\begin{aligned}2x+1 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

בריבוע; בדיקה: $\frac{1}{5}$ ✓

מי שכותב $2x+1=5$ שכח להעלות בריבוע, ומקבל $x=2$ : שם השיפוע $\frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

פותרים את המשוואה $\sqrt{x+2}=x$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\sqrt{x+2}=x

x+2=x^2

(x-2)(x+1)=0

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $x=2 ,\ x=-1$ → $x=2 \qquad (x=-1: \ \sqrt{1} \neq -1)$

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}x &= -1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

נפסל

השורה האחרונה קיבלה את שני הפתרונות בלי בדיקה. שורש אינו שלילי, ולכן $x=-1$ לא יכול לקיים $\sqrt{x+2}=x$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: למשוואה $\sqrt{x+6}=x$ שני פתרונות, $x=3$ ו- $x=-2$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}x+6 &= x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

בריבוע

\begin{aligned}x &= -2: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

בדיקה: נפסל

הטענה לא נכונה. יש פתרון אחד, $x=3$ . $x=-2$ פותר רק את המשוואה שבריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה $f(x)=5\sqrt{x^2+16}-3x$ . באיזה $x$ המשיק לגרף מקביל לציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x}{\sqrt{x^2+16}}-3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 5x \\ &= 3\sqrt{x^2+16}\end{aligned}

מבודדים

\begin{aligned}25x^2 &= 9x^2+144 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

בריבוע

\begin{aligned}x &= 3: \ 15 \\ &= 3 \cdot 5 \ \checkmark \qquad x \\ &= -3: \ -15 \neq 15\end{aligned}

בדיקה

רק $x=3$ . מי שלא בודק מוסיף את $x=-3$ , ושם $f'(-3)=-6$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=\sqrt{x+3}$ . מהי משוואת המשיק לגרף שמקביל לישר $y=\frac{1}{2}x$ ?

$y=\frac{1}{2}x+1$
$y=\frac{1}{2}x+2$
$y=2x+5$
$y=\frac{1}{2}x$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=\frac{1}{2}x+2$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x+3}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{x+3} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

אותו שיפוע

f(-2)=1

נקודת ההשקה $(-2,\,1)$

\begin{aligned}y-1 &= \frac{1}{2}(x+2) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x+2\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=\frac{1}{2}x+2$ . « $y=\frac{1}{2}x+1$ » לקח את הגובה $1$ כמספר חופשי. $y=\frac{1}{2}x$ הוא הישר הנתון עצמו, והוא לא נוגע בגרף.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+4}$ , ו- $a$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{3}{4}$ . מצאו את $a$ ואת $f(4)$ .

$a=$ ____ , $f(4)=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ 3 , $f(4)=$ 4

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a}{2\sqrt{ax+4}} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= \frac{a}{4}\end{aligned}

גוזרים עם הפרמטר

\begin{aligned}\frac{a}{4} &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

משווים לשיפוע

\begin{aligned}f(4) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

$a$ הוא גם נגזרת הפנימית, ולכן הוא עולה למונה. מי ששוכח אותו כותב $\frac{1}{4}$ , ואז אין $a$ למצוא.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 2

Exercise 11

ב. המשיק לגרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{2x-8}$ מקביל לישר $2y-x=6$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת ההשקה.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}2y-x &= 6 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x+3\end{aligned}

שיפוע הישר: $\frac{1}{2}$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{2x-8}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2x-8}}\end{aligned}

גוזרים

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2x-8}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{2x-8} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ 2x-8 \\ &= 4\end{aligned}

ישרים מקבילים: אותו שיפוע

x=6

בתחום: $x \geq 4$ ✓

נקודת ההשקה ב- $x=6$ . השיפוע של $2y-x=6$ הוא $\frac{1}{2}$ ולא $1$ : מבודדים קודם את $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 12

ב. המשיק לגרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{2x-8}$ מקביל לישר $2y-x=6$ , ונקודת ההשקה שלו ב- $x=6$ . מצאו את משוואת המשיק.

$y=$ ____ $x+$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y=$ 0.5 $x+$ -1

Worked solution:

\begin{aligned}f(6) &= \sqrt{12-8} \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה: $(6,\,2)$

\begin{aligned}m &= f'(6) \\ &= \frac{1}{\sqrt{4}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע (שווה לשיפוע הישר)

\begin{aligned}y-2 &= \frac{1}{2}(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= 0.5x-1\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

משוואת המשיק: $y=0.5x-1$ .

Check the answer on elev

משוואת המשיק בשלושה צעדים

כשהשיפוע נתון: משוואה עם שורש

משיק שמקביל לישר נתון

Exercises

חזרה — שאלה 2

Keep practising on elev