Set 4 — advanced

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות מתקדמות: משוואה עם שורש שמסננת פתרון, מנה, משיק וצירים, פרמטר ממשיק, קיצון בקצה וקריאת הגרף של f′f'. כל שאלה משלבת שני רעיונות של הפרק.

שאלו בכל שאלה: מה ידוע לי על ff (גובה) ומה על f′f' (שיפוע)? ובכל פתרון שיצא מהעלאה בריבוע, בדיקה.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=2x2+12−xf(x)=2\sqrt{x^2+12}-x. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f′(x)=2xx2+12−1=0 ⇒ 2x=x2+12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{\sqrt{x^2+12}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \sqrt{x^2+12}\end{aligned}

מבודדים

4x2=x2+12 ⇒ x=±2\begin{aligned}4x^2 &= x^2+12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

בריבוע

x=2: 4=4 ✓x=−2: −4≠4\begin{aligned}x &= 2: \ 4 \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: \ -4 \neq 4\end{aligned}

בדיקה

f(2)=8−2=6\begin{aligned}f(2) &= 8-2 \\ &= 6\end{aligned}

ממינוס לפלוס: מינימום

66, ב-x=2x=2. מי שלא פסל את x=−2x=-2 היה מחשב גם f(−2)=10f(-2)=10 ומתבלבל בין השניים.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x+16xf(x)=\frac{x+16}{\sqrt{x}}. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 16 , y=y= 8

Worked solution:

f′(x)=x−x+162xx=x−162xx\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+16}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \frac{x-16}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המנה ומכנה משותף

x=16f(16)=324=8\begin{aligned}x &= 16 \\ \quad f(16) &= \frac{32}{4} \\ &= 8\end{aligned}

חשודה וגובה

f′(4)<0,  f′(25)>0f'(4)<0 ,\ \ f'(25)>0

מינימום

מינימום (16, 8)(16,\,8). מי שהופך את הסדר במונה מקבל 16−x2xx\frac{16-x}{2x\sqrt{x}}, ואז מסמן בטעות מקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. המשיק לגרף בנקודה שבה x=3x=3 חותך את ציר ה-yy. מצאו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך.

Show the answer and the solution

Answer: 3.2

Worked solution:

f(3)=5f′(3)=35\begin{aligned}f(3) &= 5 \\ \quad f'(3) &= \frac{3}{5}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−5=35(x−3) ⇒ y=35x+165\begin{aligned}y-5 &= \frac{3}{5}(x-3) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{5}x+\frac{16}{5}\end{aligned}

המשיק

165=3.2\frac{16}{5}=3.2. f(0)=4f(0)=4 הוא החיתוך של הגרף, והמשיק עובר מתחתיו.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x2−4x+8f(x)=\sqrt{x^2-4x+8}. מהי נקודת המינימום של הפונקציה?

  1. (0, 22)(0,\,2\sqrt{2})
  2. (2, 4)(2,\,4)
  3. אין לפונקציה מינימום
  4. (2, 2)(2,\,2)
Show the answer and the solution

Answer: D (2, 2)(2,\,2)

Worked solution:

f′(x)=x−2x2−4x+8f'(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+8}}

הנגזרת

x=2 ;  f(2)=4=2\begin{aligned}x &= 2 \ ;\ \ f(2) \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

חשודה וגובה

הנכונה: (2, 2)(2,\,2). «(2, 4)(2,\,4)» שכח לקחת שורש: x2−4x+8=4x^2-4x+8=4, אבל f(2)=4f(2)=\sqrt{4}.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x+af(x)=\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 עובר בנקודה (−7, 0)(-7,\,0). מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(1)=1+a=sf′(1)=12s\begin{aligned}f(1) &= \sqrt{1+a} \\ &= s \\ \quad f'(1) &= \frac{1}{2s}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

0−s=12s(−7−1) ⇒ s2=4\begin{aligned}0-s &= \frac{1}{2s}(-7-1) \ \Rightarrow \ s^2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים את (−7,0)(-7,0) במשוואת המשיק

1+a=4 ⇒ a=3\begin{aligned}1+a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

s2=1+as^2=1+a

a=3a=3: f=x+3f=\sqrt{x+3}, והמשיק y=14x+74y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4} מתאפס ב-x=−7x=-7 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: ל-f(x)=x−4f(x)=\sqrt{x-4} אין נקודות קיצון, כי f′(x)f'(x) אף פעם לא מתאפסת.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x≥4f′(x)=12x−4>0\begin{aligned}x \geq 4 \\ \quad f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x-4}}>0\end{aligned}

עולה בכל פנים התחום

min⁡(4, 0) קצה\min (4,\,0) \ \text{קצה}

מהקצה הפונקציה עולה

הטענה לא נכונה. יש מינימום בקצה התחום, (4, 0)(4,\,0). נקודות חשודות הן גם קצוות.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=xx+27f(x)=x\sqrt{x+27}. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: -54

Worked solution:

f′(x)=2(x+27)+x2x+27=3x+542x+27\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+27)+x}{2\sqrt{x+27}} \\ &= \frac{3x+54}{2\sqrt{x+27}}\end{aligned}

כלל המכפלה

x=−18 ;  f′<0 לפני f′>0 אחרי\begin{aligned}x &= -18 \ ;\ \ f'<0 \ \text{לפני} \\ \ f'>0 \ \text{אחרי}\end{aligned}

מינימום

f(−18)=−18⋅3=−54\begin{aligned}f(-18) &= -18 \cdot 3 \\ &= -54\end{aligned}

הגובה

מינימום מוחלט −54-54. הקצה (−27, 0)(-27,\,0) הוא מקסימום מקומי בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף של f′
(4,0)0246810121416-2-101234f′(x)x

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של הפונקציה f(x)=8x−2xf(x)=8\sqrt{x}-2x, בתחום x>0x>0. בנקודה שבה הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx, לפונקציה ff יש נקודת קיצון. מהו שיעור ה-yy שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f′(x)=4x−2=0 ⇒ x=4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4}{\sqrt{x}}-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

קוראים מהשרטוט, ובודקים

f(4)=16−8=8\begin{aligned}f(4) &= 16-8 \\ &= 8\end{aligned}

הגובה מ-ff, לא מ-f′f'

88. מהשרטוט רואים רק ש-x=4x=4. הגובה f′(4)=0f'(4)=0 הוא של הנגזרת; את הגובה של ff מקבלים רק מהצבה ב-ff.

Check the answer on elev

Exercise 9

פותרים את המשוואה 2x+7=x+2\sqrt{2x+7}=x+2. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2x+7=x2+4x+42x+7=x^2+4x+4
x2+2x−3=0x^2+2x-3=0
(x+3)(x−1)=0(x+3)(x-1)=0
x=1 x=−3\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: x=1, x=−3x=1 ,\ x=-3 → x=1(x=−3: 1≠−1)x=1 \qquad (x=-3: \ \sqrt{1} \neq -1)

Worked solution:

x=1: 9=3=1+2 ✓\begin{aligned}x &= 1: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 1+2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=−3: 1=1 −3+2=−1\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \\ \ -3+2 &= -1\end{aligned}

נפסל

השורה האחרונה לא בדקה. אגף ימין x+2x+2 חייב להיות אי-שלילי, כי הוא שווה לשורש.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=6−2x+xf(x)=\sqrt{6-2x}+x. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: 3.5

Worked solution:

x≤3x \leq 3

תחום

f′(x)=−16−2x+1=0 ⇒ 6−2x=1 ⇒ x=2.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{6-2x}}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{6-2x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2.5\end{aligned}

חשודה

f(2.5)=1+2.5=3.5f(3)=3\begin{aligned}f(2.5) &= 1+2.5 \\ &= 3.5 \\ \quad f(3) &= 3\end{aligned}

מקסימום, והקצה נמוך ממנו

3.53.5. הקצה x=3x=3 נותן 33: הוא מינימום מקומי, לא הערך הגדול ביותר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade