Set 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים כמו בשאלון: חקירה של מכפלה עם קיצון בקצה ומספר פתרונות, פרמטר ומשוואה עם שורש שמסננת פתרון, וחקירה של מנה. סעיפים של אותה שאלה חולקים את אותו פתיח.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: תחום, נגזרת מלאה, נקודות חשודות כולל קצוות, סימנים משני הצדדים, וגבהים מ-ff.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום: x≤x \leq ____ ; חיתוך עם ציר xx: x=x= ____ (הקטן) ו-x=x= ____ (הגדול)

Show the answer and the solution

Answer: תחום: x≤x \leq 10 ; חיתוך עם ציר xx: x=x= -2 (הקטן) ו-x=x= 10 (הגדול)

Worked solution:

10−x≥0 ⇒ x≤1010-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 10

תחום

(x+2)10−x=0 ⇒ x=−2 x=10\begin{aligned}(x+2)\sqrt{10-x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= 10\end{aligned}

מכפלה מתאפסת כשגורם מתאפס

x=10x=10 הוא גם קצה התחום וגם חיתוך עם הציר. הוא יחזור בסעיף ג.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 6 , y=y= 16

Worked solution:

f′(x)=10−x−x+2210−x=18−3x210−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{10-x}-\frac{x+2}{2\sqrt{10-x}} \\ &= \frac{18-3x}{2\sqrt{10-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=6 ;  x<6: f′>0  6<x<10: f′<0\begin{aligned}x &= 6 \ ;\ \ x<6: \ f'>0 \\ \ \ 6<x<10: \ f'<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

f(6)=8⋅2=16\begin{aligned}f(6) &= 8 \cdot 2 \\ &= 16\end{aligned}

הגובה

מקסימום (6, 16)(6,\,16). בנגזרת של 10−x\sqrt{10-x} יש מינוס מנגזרת הפנימית, ומי ששוכח אותו מקבל 22−x210−x\frac{22-x}{2\sqrt{10-x}}, שמתאפס רק ב-x=22x=22, מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ג. מה סוג הנקודה (10, 0)(10,\,0)?

  1. מינימום מקומי בקצה התחום
  2. מינימום מוחלט
  3. אינה נקודת קיצון, כי f′(10)f'(10) לא מוגדרת
  4. מקסימום בקצה התחום
Show the answer and the solution

Answer: A מינימום מקומי בקצה התחום

Worked solution:

6<x<10: f′<06<x<10: \ f'<0

הפונקציה מגיעה לקצה בירידה

f(−3)=−1⋅13<0f(-3)=-1 \cdot \sqrt{13}<0

יש ערכים קטנים מ-00

הנכונה: מינימום מקומי בקצה. הוא לא מוחלט: משמאל ל-−2-2 הפונקציה שלילית.

Check the answer on elev

Exercise 4

y = (x + 2)√(10 − x)
y = 10(−2,0)(6,16)(10,0)-4-3-2-101234567891011-10-8-6-4-224681012141618xy

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ד. היעזרו בסקיצה שבשרטוט. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=10f(x)=10?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f(6)=16>10f(6)=16>10

המקסימום מעל הקו y=10y=10

x<6: ↗ עד 16x<6: \ \nearrow \ \text{עד} \ 16

פתרון אחד בעלייה

6<x≤10: 16↘06<x \leq 10: \ 16 \searrow 0

ופתרון אחד בירידה

שני פתרונות. הקו y=10y=10 חותך את הגרף פעם בעלייה ופעם בירידה. מי שעונה 11 שכח את החלק שאחרי המקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

f′(x)=axx2+64−3f'(x)=\frac{ax}{\sqrt{x^2+64}}-3

גוזרים עם הפרמטר

f′(6)=6a10−3=0 ⇒ a=5\begin{aligned}f'(6) &= \frac{6a}{10}-3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

קיצון פנימי: הנגזרת מתאפסת

a=5a=5. התנאי הוא על f′f'. מי שמציב ב-ff אין לו משוואה בכלל: לא נתון הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. ב. הציבו a=5a=5. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 6 , y=y= 32

Worked solution:

f(6)=5⋅10−18=32\begin{aligned}f(6) &= 5 \cdot 10-18 \\ &= 32\end{aligned}

הגובה

f′(0)=−3<0f′(15)=7517−3>0\begin{aligned}f'(0) &= -3<0 \qquad f'(15) \\ &= \frac{75}{17}-3>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

מינימום (6, 32)(6,\,32): הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס. f′(15)=7517−3=2417≈1.4f'(15)=\frac{75}{17}-3=\frac{24}{17} \approx 1.4, ולכן אחרי x=6x=6 הנגזרת חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. ג. הציבו a=5a=5. הוכיחו או הפריכו: גם x=−6x=-6 היא נקודת קיצון של הפונקציה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

5x=3x2+64 ⇒ 16x2=576 ⇒ x=±6\begin{aligned}5x &= 3\sqrt{x^2+64} \ \Rightarrow \ 16x^2 \\ &= 576 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 6\end{aligned}

המשוואה שבריבוע

x=−6: −30≠30x=-6: \ -30 \neq 30

בדיקה: נפסל

f′(−6)=−3−3=−6≠0\begin{aligned}f'(-6) &= -3-3 \\ &= -6 \neq 0\end{aligned}

והנגזרת לא מתאפסת שם

הטענה לא נכונה. x=−6x=-6 פותר רק את המשוואה שבריבוע. יש לפונקציה נקודת קיצון אחת בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. א. מהו תחום ההגדרה?

  1. x>0x>0
  2. x≠0x \neq 0
  3. כל xx
  4. x≥0x \geq 0
Show the answer and the solution

Answer: A x>0x>0

Worked solution:

x≥0x \geq 0

שורש

x≠0 ⇒ x≠0\sqrt{x} \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 0

במכנה

הנכונה: x>0x>0. x≥0x \geq 0 שוכח שהשורש במכנה. x≠0x \neq 0 שוכח שמתחת לשורש אסור שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 25 , y=y= 10

Worked solution:

f′(x)=x−x+252xx=x−252xx\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+25}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \frac{x-25}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המנה ומכנה משותף

x=25f(25)=505=10\begin{aligned}x &= 25 \\ \quad f(25) &= \frac{50}{5} \\ &= 10\end{aligned}

חשודה וגובה

f′(1)<0,  f′(36)>0f'(1)<0 ,\ \ f'(36)>0

מינימום

מינימום (25, 10)(25,\,10). המכנה 2xx2x\sqrt{x} חיובי בתחום, והסימן הוא של x−25x-25.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. ג. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. 0<x<250<x<25
  2. x>25x>25
  3. x>0x>0
  4. x<25x<25
Show the answer and the solution

Answer: A 0<x<250<x<25

Worked solution:

0<x<25: x−25<0 ⇒ f′<00<x<25: \ x-25<0 \ \Rightarrow \ f'<0

יורדת

הנכונה: 0<x<250<x<25. «x<25x<25» כולל מספרים שליליים, שאינם בתחום.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade