Solving together · Descriptive statistics · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: טבלה עם שכיחות חסרה, היסטוגרמה, סטיית תקן והשוואה, שינוי של כל הנתונים, ובניית נתונים לפי המדדים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — טבלה עם שכיחות חסרה

כמה פעמים הלכו לקולנוע בחודש

מספר פעמים	0	1	2	3	4
מספר חברים	2	x	4	5	2

Interactive activity

20 חברי מועדון רשמו כמה פעמים הלכו לקולנוע בחודש האחרון. אחת השכיחויות חסרה. א. מצאו את $x$ אם ידוע שהממוצע הוא $1.9$ . ב. מצאו את החציון ואת השכיח.

\bar{x}=1.9

לחצו «להתחיל». הנעלם נמצא גם במונה וגם במכנה של הממוצע.

א. הממוצע

\frac{0 \cdot 2+1 \cdot x+2 \cdot 4+3 \cdot 5+4 \cdot 2}{2+x+4+5+2}=\frac{31+x}{13+x}

ערך כפול שכיחות, חלקי מספר החברים.

א. משוואה

\begin{aligned}\frac{31+x}{13+x} &= 1.9 \ \Rightarrow \ 31+x \\ &= 24.7+1.9x\end{aligned}

כופלים במכנה.

א. פתרון

\begin{aligned}6.3 &= 0.9x \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

בדיקה: $2+7+4+5+2=20$ חברים ✓

ב. חציון

\begin{aligned}n &= 20:\ x_{10} \\ \ x_{11};\quad F:\ 2 \\ \ 9 \\ \ 13\end{aligned}

השכיחויות המצטברות. הנתונים ה- $10$ עד ה- $13$ הם כולם $2$ .

ב. חציון

\begin{aligned}Me &= \frac{2+2}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שני הנתונים האמצעיים שווים.

ב. שכיח

Mo=1

השכיחות הגדולה ביותר, $7$ , שייכת לערך $1$ .

שלושה מדדים, שלוש תשובות שונות: $\bar{x}=1.9$ , $Me=2$ , $Mo=1$ . כל אחד עונה על שאלה אחרת.

Do the activity on elev

למה החציון אינו $2.5$ , אף שהערכים הם $0$ עד $4$ והאמצעי ביניהם הוא $2$ ?

Show the answer and the solution

החציון הוא האמצעי של 20 הנתונים, לא של 5 הערכים. שני הנתונים האמצעיים, העשירי והאחד-עשר, שניהם $2$ . במקרה כאן גם אמצע הערכים הוא $2$ , אבל זה מקרה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — היסטוגרמה ומחלקות

משקל התיקים של 40 תלמידים

Interactive activity

בהיסטוגרמה: משקל התיקים של 40 תלמידים. א. מהי המחלקה השכיחה? ב. באיזו מחלקה נמצא החציון? ג. חשבו את המשקל הממוצע לפי אמצעי המחלקות. ד. איזה אחוז מהתלמידים נושאים תיק של 8 ק״ג או יותר?

n=40

לחצו «להתחיל». כל עמודה היא מחלקה ברוחב 2 ק״ג.

א.

f_{max}=14 \ \Rightarrow \ 6-8

העמודה הגבוהה ביותר.

ב.

x_{20},\ x_{21};\quad F:\ 6,\ 18,\ 32

הנתון ה- $18$ הוא האחרון במחלקה $4-6$ , ולכן ה- $20$ וה- $21$ שניהם במחלקה $6-8$ .

ג. אמצעים

3,\ 5,\ 7,\ 9

אמצע כל מחלקה.

ג.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{3 \cdot 6+5 \cdot 12+7 \cdot 14+9 \cdot 8}{40} \\ &= \frac{248}{40} \\ &= 6.2\end{aligned}

ממוצע משוער, בק״ג.

ד.

\frac{8}{40}=20\%

רק המחלקה $8-10$ .

כאן המחלקה השכיחה ומחלקת החציון יצאו אותה מחלקה, $6-8$ . זה לא חייב לקרות, ובודקים כל אחת בנפרד.

Do the activity on elev

האם אפשר לדעת מההיסטוגרמה מהו המשקל הכבד ביותר?

Show the answer and the solution

לא. יודעים רק שהוא נמצא במחלקה $8-10$ , כלומר פחות מ-10 ק״ג. הערכים המדויקים אבדו כשקיבצו למחלקות.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — סטיית תקן והשוואה בין קבוצות

שבט א: שעות התנדבות בחודש

שעות התנדבות	1	3	5	7	9
מספר חניכים	7	5	3	1	4

Interactive activity

בטבלה: שעות ההתנדבות בחודש של 20 חניכים בשבט א. א. מצאו את הממוצע. ב. מצאו את סטיית התקן. ג. בשבט ב הממוצע $4$ שעות וסטיית התקן $2$ . באיזה שבט החניכים אחידים יותר?

\sigma_B=2

לחצו «להתחיל». סטיית התקן צריכה קודם את הממוצע.

א.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1 \cdot 7+3 \cdot 5+5 \cdot 3+7 \cdot 1+9 \cdot 4}{20} \\ &= \frac{80}{20} \\ &= 4\end{aligned}

ערך כפול שכיחות.

ב. הפרשים

x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 1,\ 3,\ 5

לכל ערך בטבלה.

ב. סכום

7 \cdot 9+5 \cdot 1+3 \cdot 1+1 \cdot 9+4 \cdot 25=180

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2.

ב.

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{180}{20} \\ &= 9 \\ \quad \sigma &= 3\end{aligned}

מחלקים ב- $n=20$ , ואז שורש.

ג.

\begin{aligned}\bar{x}_A &= \bar{x}_B \\ &= 4 \\ \quad \sigma_A &= 3 > \sigma_B \\ &= 2\end{aligned}

מרכז שווה, פיזור שונה.

המסקנה: שבט ב אחיד יותר. הממוצעים שווים, ובשבט ב שעות ההתנדבות קרובות יותר לממוצע.

Do the activity on elev

בשבט א ארבעה חניכים התנדבו $9$ שעות. איך הם משפיעים על סטיית התקן?

Show the answer and the solution

הם הרחוקים ביותר מהממוצע: ההפרש שלהם $5$ , ובחזקת 2 הוא $25$ . ארבעתם תורמים $100$ מתוך $180$ , יותר מחצי. נתונים רחוקים מהממוצע שולטים בסטיית התקן.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — כשכל הנתונים משתנים

Interactive activity

העלאה באחוזים ותוספת קבועה

השכר השעתי של עובדי מסעדה: ממוצע $45$ ש״ח, חציון $42$ ש״ח, סטיית תקן $6$ ש״ח. הבעלים העלו לכל עובד את השכר ב- $10\%$ , ואחר כך הוסיפו לכל עובד $2$ ש״ח. מצאו את הממוצע, החציון וסטיית התקן החדשים.

ממוצע $51.5$ , חציון $48.2$ , סטיית תקן $6.6$

ממוצע $51.5$ , חציון $48.2$ , סטיית תקן $8.6$

ממוצע $51.7$ , חציון $48.4$ , סטיית תקן $6.6$

ממוצע $57$ , חציון $54$ , סטיית תקן $18$

איך כותבים את השינוי של כל נתון?

$x \to 1.1x+2$

Show the answer and the solution

העלאה של $10\%$ היא כפל ב- $1.1$ , ואחריה התוספת.

$x \to 1.1(x+2)$

Show the answer and the solution

כך הייתה התוספת באה לפני ההעלאה. בשאלה היא באה אחריה.

$x \to x+10+2$

Show the answer and the solution

$10\%$ אינם $10$ ש״ח.

x \to 1.1x+2

כפל ואז חיבור

מה קורה לממוצע ולחציון?

שניהם עוברים אותו שינוי: $1.1 \cdot 45+2$ ו- $1.1 \cdot 42+2$

Show the answer and the solution

כל מדד מרכז עובר את השינוי של כל נתון.

רק הממוצע משתנה

Show the answer and the solution

כשכל הנתונים זזים, גם הנתון האמצעי זז.

\begin{aligned}\bar{x} &= 1.1 \cdot 45+2 \\ &= 51.5 \\ \quad Me &= 1.1 \cdot 42+2 \\ &= 48.2\end{aligned}

מדדי המרכז

ומה קורה לסטיית התקן?

רק הכפל משפיע: $1.1 \cdot 6$

Show the answer and the solution

התוספת מזיזה את כולם יחד ולא משנה מרחקים.

$1.1 \cdot 6+2$

Show the answer and the solution

התוספת של $2$ לא משנה את המרחקים מהממוצע.

\begin{aligned}\sigma &= 1.1 \cdot 6 \\ &= 6.6\end{aligned}

מדד הפיזור

Show the answer and the solution

ממוצע $51.5$ , חציון $48.2$ , סטיית תקן $6.6$ . מי שבחר $8.6$ הוסיף את ה- $2$ גם לסטיית התקן. מי שבחר $51.7$ הוסיף את ה- $2$ לפני ההעלאה.

Do the activity on elev

ומה קרה לשונות?

Show the answer and the solution

היא הייתה $6^2=36$ , ועכשיו $6.6^2=43.56$ : פי $1.1^2=1.21$ . השונות מוכפלת בריבוע של מקדם הכפל.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — בונים נתונים לפי המדדים

Interactive activity

ארבעה שכרים

השכר השעתי של ארבעה עובדים הוא מספר שלם של שקלים. הממוצע $50$ ש״ח, השכיח $40$ ש״ח והחציון $45$ ש״ח. מצאו את ארבעת השכרים.

$40,\ 40,\ 50,\ 70$

$40,\ 40,\ 45,\ 75$

$40,\ 45,\ 45,\ 70$

$40,\ 40,\ 40,\ 80$

מסדרים: $a \le b \le c \le d$ . מה אומר השכיח $40$ ?

$40$ מופיע לפחות פעמיים, ולכן $a=b=40$

Show the answer and the solution

אם $b=c=40$ , החציון היה $40$ ולא $45$ .

רק $a=40$

Show the answer and the solution

ערך שמופיע פעם אחת אינו שכיח כשאין עוד ערך חוזר.

\begin{aligned}a &= b \\ &= 40\end{aligned}

השכיח קובע את שני הקטנים

מה אומר החציון $45$ ?

$\frac{b+c}{2}=45$ , ולכן $c=50$

Show the answer and the solution

ארבעה נתונים: החציון הוא הממוצע של השני והשלישי.

$c=45$

Show the answer and the solution

בארבעה נתונים החציון הוא ממוצע של שניים, לא נתון אחד.

\begin{aligned}\frac{40+c}{2} &= 45 \ \Rightarrow \ c \\ &= 50\end{aligned}

החציון קובע את השלישי

ומה אומר הממוצע $50$ ?

הסכום $200$ , ולכן $d=200-40-40-50=70$

Show the answer and the solution

ממוצע כפול מספר הנתונים הוא הסכום.

$d=50$

Show the answer and the solution

אז הסכום היה $180$ והממוצע $45$ .

\begin{aligned}40+40+50+d &= 200 \ \Rightarrow \ d \\ &= 70\end{aligned}

הממוצע קובע את הרביעי

Show the answer and the solution

$40,\ 40,\ 50,\ 70$ . בדיקה: ממוצע $\frac{200}{4}=50$ ✓, שכיח $40$ ✓, חציון $\frac{40+50}{2}=45$ ✓. באפשרות $40,\ 40,\ 40,\ 80$ החציון $40$ .

Do the activity on elev

האם אפשר לבנות חמישה נתונים שהממוצע שלהם $10$ והחציון שלהם גדול מהממוצע?

Show the answer and the solution

כן. למשל $1,\ 11,\ 12,\ 13,\ 13$ : הסכום $50$ , הממוצע $10$ , והחציון $12$ . נתון קטן אחד מושך את הממוצע למטה, והחציון לא זז.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

מספר משחקים	0	1	2	3	4
מספר שחקנים	2	x	3	4	5

בטבלה: מספר המשחקים בשבוע של שחקנים בליגת נוער. אחת השכיחויות חסרה, והממוצע הוא $2.2$ . מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\frac{0 \cdot 2+1 \cdot x+2 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 5}{14+x}=\frac{38+x}{14+x}

ממוצע מטבלה

\begin{aligned}38+x &= 2.2(14+x) \\ &= 30.8+2.2x\end{aligned}

כופלים במכנה

\begin{aligned}7.2 &= 1.2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

פותרים. בדיקה: $\frac{38+6}{20}=2.2$ ✓

המכנה הוא $14+x$ : גם השחקנים החסרים נספרים. מי שמחלק ב- $14$ מקבל משוואה בלי פתרון שלם.

Check the answer on elev

Exercise 2

גילי המבקרים

גיל	0-20	20-40	40-60	60-80
מספר מבקרים	8	12	14	6

בטבלה: הגילים של 40 מבקרים במוזיאון בירושלים. חשבו את הגיל הממוצע לפי אמצעי המחלקות.

Show the answer and the solution

Answer: 39

Worked solution:

10,\ 30,\ 50,\ 70

אמצעי המחלקות

10 \cdot 8+30 \cdot 12+50 \cdot 14+70 \cdot 6=1560

אמצע כפול שכיחות

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1560}{40} \\ &= 39\end{aligned}

ממוצע משוער

אמצע המחלקה $20-40$ הוא $30$ . מי שמשתמש בקצה התחתון של כל מחלקה מקבל $29$ , ממוצע נמוך מדי בדיוק בחצי רוחב מחלקה.

Check the answer on elev

Exercise 3

מספר טיולים	0	2	4	6	8
מספר משפחות	2	7	5	1	1

בטבלה: מספר הטיולים השנתיים של 16 משפחות. הממוצע הוא $3$ . מצאו את סטיית התקן.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{0+14+20+6+8}{16} \\ &= 3\end{aligned}

בדיקת הממוצע

2 \cdot 9+7 \cdot 1+5 \cdot 1+1 \cdot 9+1 \cdot 25=64

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{64}{16} \\ &= 4 \\ \quad \sigma &= 2\end{aligned}

שונות, ואז שורש

השונות $4$ והתשובה $2$ . מי שכותב $4$ שכח את השורש.

Check the answer on elev

Exercise 4

לקבוצת נתונים הממוצע $30$ וסטיית התקן $4$ . כל נתון $x$ מוחלף ב- $0.5x+10$ . השלימו.

ממוצע: ____ , סטיית תקן: ____

Show the answer and the solution

Answer: ממוצע: 25 , סטיית תקן: 2

Worked solution:

0.5 \cdot 30+10=25

הממוצע עובר את כל השינוי

0.5 \cdot 4=2

סטיית התקן: רק הכפל

הכפל ב- $0.5$ מקרב את כל הנתונים זה לזה, ולכן הפיזור קטן. התוספת של $10$ מזיזה, ולא משנה את הפיזור.

Check the answer on elev

Exercise 5

השכר השעתי של ארבעה עובדים הוא מספר שלם של שקלים. הממוצע $60$ ש״ח, השכיח $50$ ש״ח והחציון $55$ ש״ח. מצאו את השכר השלישי ואת השכר הגבוה ביותר, בסדר עולה.

השכרים: $50,\ 50,$ ____ $,$ ____

Show the answer and the solution

Answer: השכרים: $50,\ 50,$ 60 $,$ 80

Worked solution:

\begin{aligned}a &= b \\ &= 50\end{aligned}

השכיח: שני הקטנים

\begin{aligned}\frac{50+c}{2} &= 55 \ \Rightarrow \ c \\ &= 60\end{aligned}

החציון

\begin{aligned}4 \cdot 60 &= 240 \ \Rightarrow \ d \\ &= 240-160 \\ &= 80\end{aligned}

הממוצע: הסכום

כל מדד קובע נתון אחד: השכיח את שני הקטנים, החציון את השלישי, הממוצע את הרביעי. בדיקה: $50+50+60+80=240$ ✓.

Check the answer on elev

1 — טבלה עם שכיחות חסרה

2 — היסטוגרמה ומחלקות

3 — סטיית תקן והשוואה בין קבוצות

4 — כשכל הנתונים משתנים

5 — בונים נתונים לפי המדדים

Exercises

Keep practising on elev