Measures of spread

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי כיתות, שבעה תלמידים בכל אחת, ואותו ממוצע בדיוק. האם הכיתות דומות? הסתכלו על הנקודות.

הציונים של שבעה תלמידים בכל כיתה
ממוצע5055606570758085909510003ציון
  • כיתה א
  • כיתה ב
לשתי הכיתות אותו ממוצע, 7575. אבל בכיתה א כל הציונים צפופים סביבו, ובכיתה ב הם מפוזרים מ-5555 עד 9595.

איזו כיתה «אחידה» יותר? ומה ההפרש בין הציון הגבוה לנמוך בכל כיתה?

Show the answer and the solution

כיתה א אחידה יותר. ההפרש בכיתה א: 80−70=1080-70=10. בכיתה ב: 95−55=4095-55=40. מדד מרכז לבד לא מספר את כל הסיפור: צריך גם מדד פיזור.

הטווח

R=xmax−xminR = x_{max} - x_{min}

הטווח הוא ההפרש בין הנתון הגדול ביותר לקטן ביותר. הוא קל לחישוב, אבל משתמש רק בשני נתונים: נתון קיצוני אחד משנה אותו לגמרי, והוא לא אומר כלום על כל מה שבאמצע.

השונות וסטיית התקן

מדד טוב יותר מודד כמה כל נתון רחוק מהממוצע. את ההפרשים x−xˉx-\bar{x} אי אפשר פשוט לחבר: סכומם תמיד 00, כי מה שמעל הממוצע מאזן את מה שמתחתיו. לכן מעלים כל הפרש בחזקת 2, ומחשבים את הממוצע שלהם. זו השונות. השורש שלה הוא סטיית התקן, והיא באותן יחידות כמו הנתונים.

σ2=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2nσ=σ2\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n} \qquad \sigma \\ &= \sqrt{\sigma^2}\end{aligned}

סטיית התקן של חמישה נתונים

מצאו את השונות ואת סטיית התקן של 9, 11, 12, 13, 159,\ 11,\ 12,\ 13,\ 15.

xˉ=605=12\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{60}{5} \\ &= 12\end{aligned}

קודם הממוצע

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

ההפרשים. בדיקה: הסכום 00

(x−xˉ)2: 9, 1, 0, 1, 9(x-\bar{x})^2:\ 9,\ 1,\ 0,\ 1,\ 9

מעלים בחזקת 2

σ2=205=4\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

השונות: ממוצע ההפרשים בחזקת 2

σ=4=2\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן

מהי סטיית התקן של 6, 6, 6, 66,\ 6,\ 6,\ 6? ומה אפשר לומר על נתונים שסטיית התקן שלהם 00?

Show the answer and the solution

σ=0\sigma=0: כל ההפרשים מהממוצע הם 00. ולהפך: אם σ=0\sigma=0, כל ההפרשים בחזקת 2 הם 00, ולכן כל הנתונים שווים.

מטבלת שכיחויות כל הפרש בחזקת 2 נספר כמספר השכיחות שלו, ומחלקים ב-nn, מספר כל הנתונים. בטבלה לפי מחלקות משתמשים שוב באמצע כל מחלקה.

σ2=f1(x1−xˉ)2+f2(x2−xˉ)2+⋯+fk(xk−xˉ)2n\sigma^2=\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{n}

סטיית תקן מטבלה

בטבלה: מספר ההקפות שרצו 16 תלמידים. 11 — 2 תלמידים, 33 — 3, 55 — 3, 77 — 1, 99 — 7.

xˉ=1⋅2+3⋅3+5⋅3+7⋅1+9⋅716=9616=6\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1 \cdot 2+3 \cdot 3+5 \cdot 3+7 \cdot 1+9 \cdot 7}{16} \\ &= \frac{96}{16} \\ &= 6\end{aligned}

הממוצע

2⋅25+3⋅9+3⋅1+1⋅1+7⋅9=1442 \cdot 25+3 \cdot 9+3 \cdot 1+1 \cdot 1+7 \cdot 9=144

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

σ2=14416=9σ=3\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{144}{16} \\ &= 9 \\ \quad \sigma &= 3\end{aligned}

שונות וסטיית תקן

כשכל הנתונים משתנים יחד

x→x+cx \to x+c

הנתונים זזים יחד, והמרחקים ביניהם לא משתנים: RR, σ\sigma ו-σ2\sigma^2 לא משתנים

x→c⋅xx \to c \cdot x

כל מרחק מוכפל ב-∣c∣|c|: R→∣c∣RR \to |c| R,  σ→∣c∣σ\ \sigma \to |c| \sigma,  σ2→c2σ2\ \sigma^2 \to c^2 \sigma^2

לנתונים סטיית תקן 44. כל נתון מוכפל ב-33 ואחר כך מוסיפים לו 1010. מהן סטיית התקן והשונות החדשות?

Show the answer and the solution

σ=3⋅4=12\sigma=3 \cdot 4=12: הכפל משנה, התוספת לא. השונות 122=14412^2=144, כלומר 99 פעמים השונות הקודמת 1616.

השוואה בין שתי קבוצות

משווים שתי קבוצות בשני שלבים: מדד מרכז אומר איזו קבוצה «גבוהה» יותר, ומדד פיזור אומר איזו אחידה יותר. קבוצה עם סטיית תקן קטנה יותר היא הומוגנית יותר: הנתונים שלה קרובים יותר לממוצע.

ביתרונות ובמגבלות: הטווח קל אבל רואה רק שני נתונים. סטיית התקן משתמשת בכל הנתונים ונמדדת ביחידות של הנתונים, אבל גם היא רגישה לנתון קיצוני, כי ההפרש שלו מועלה בחזקת 2.

שלוש טעויות של הפיזור.

σ(x+10)=σ(x)+10\sigma(x+10)=\sigma(x)+10
σ(x+10)=σ(x)\sigma(x+10)=\sigma(x)

תוספת קבועה מזיזה את כל הנתונים יחד. המרחקים מהממוצע לא משתנים, ולכן גם לא סטיית התקן.

σ(3x)=9σ(x)\sigma(3x)=9\sigma(x)
σ(3x)=3σ(x)\sigma(3x)=3\sigma(x)

פי 99 זו השונות. סטיית התקן היא שורש השונות, ולכן היא גדלה פי 33.

σ2=(−3)+(−1)+0+1+35=0\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{(-3)+(-1)+0+1+3}{5} \\ &= 0\end{aligned}
σ2=9+1+0+1+95=4\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{9+1+0+1+9}{5} \\ &= 4\end{aligned}

בלי ההעלאה בחזקת 2 ההפרשים מבטלים זה את זה, והסכום תמיד 00.

Exercises

Exercise 1

אלה המהירויות (בקמ״ש) של 7 רוכבי אופניים בתחרות: 34, 51, 28, 47, 39, 62, 4534,\ 51,\ 28,\ 47,\ 39,\ 62,\ 45. מהו הטווח?

Show the answer and the solution

Answer: 34

Worked solution:

xmax=62xmin=28\begin{aligned}x_{max} &= 62 \\ \quad x_{min} &= 28\end{aligned}

הגדול והקטן ביותר

R=62−28=34\begin{aligned}R &= 62-28 \\ &= 34\end{aligned}

הטווח

הטווח הוא הפרש בין הקצוות, לא בין הנתון הראשון לאחרון ברשימה (45−3445-34). קודם מוצאים את הגדול ואת הקטן.

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את השונות של הנתונים 3, 7, 11, 19, 253,\ 7,\ 11,\ 19,\ 25.

Show the answer and the solution

Answer: 64

Worked solution:

xˉ=655=13\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{65}{5} \\ &= 13\end{aligned}

הממוצע

x−xˉ: −10, −6, −2, 6, 12x-\bar{x}:\ -10,\ -6,\ -2,\ 6,\ 12

ההפרשים, וסכומם 00

100+36+4+36+144=320100+36+4+36+144=320

ההפרשים בחזקת 2

σ2=3205=64\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{320}{5} \\ &= 64\end{aligned}

השונות

השונות היא 6464, וסטיית התקן 88. שימו לב איזו מהן מבקשים: השונות נמדדת ביחידות בחזקת 2.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את סטיית התקן של הנתונים 3, 8, 8, 11, 18, 243,\ 8,\ 8,\ 11,\ 18,\ 24.

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

xˉ=726=12\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{72}{6} \\ &= 12\end{aligned}

הממוצע

81+16+16+1+36+144=29481+16+16+1+36+144=294

ההפרשים −9, −4, −4, −1, 6, 12-9,\ -4,\ -4,\ -1,\ 6,\ 12 בחזקת 2

σ2=2946=49\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{294}{6} \\ &= 49\end{aligned}

השונות

σ=49=7\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

סטיית התקן

ה-88 מופיע פעמיים, ושני ההפרשים שלו נכנסים לסכום. והשורש בסוף הוא מה שהופך שונות לסטיית תקן.

Check the answer on elev

Exercise 4

מספר פעמים02468
מספר תלמידים27115

בטבלה: מספר הפעמים ש-16 תלמידים הלכו לבריכה בחודש. הממוצע הוא 44. מצאו את סטיית התקן.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

xˉ=0⋅2+2⋅7+4⋅1+6⋅1+8⋅516=6416=4\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{0 \cdot 2+2 \cdot 7+4 \cdot 1+6 \cdot 1+8 \cdot 5}{16} \\ &= \frac{64}{16} \\ &= 4\end{aligned}

בדיקת הממוצע

2⋅16+7⋅4+1⋅0+1⋅4+5⋅16=1442 \cdot 16+7 \cdot 4+1 \cdot 0+1 \cdot 4+5 \cdot 16=144

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

σ2=14416=9σ=3\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{144}{16} \\ &= 9 \\ \quad \sigma &= 3\end{aligned}

שונות, ואז שורש

מחלקים ב-1616, מספר התלמידים, ולא ב-55, מספר הערכים. ומי שעוצר ב-99 נתן את השונות ולא את סטיית התקן.

Check the answer on elev

Exercise 5

זמן ההמתנה בתור
זמן המתנה (דקות)0-1010-2020-3030-40
מספר אנשים5101510

בטבלה: מספר הדקות ש-40 אנשים חיכו בתור בקופת חולים. הממוצע לפי אמצעי המחלקות הוא 22.522.5. חשבו את סטיית התקן לפי אמצעי המחלקות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 9.68

Worked solution:

5, 15, 25, 355,\ 15,\ 25,\ 35

אמצעי המחלקות

(−17.5)2, (−7.5)2, 2.52, 12.52(-17.5)^2,\ (-7.5)^2,\ 2.5^2,\ 12.5^2

ההפרשים מ-22.522.5, בחזקת 2: 306.25, 56.25, 6.25, 156.25306.25,\ 56.25,\ 6.25,\ 156.25

5⋅306.25+10⋅56.25+15⋅6.25+10⋅156.25=37505 \cdot 306.25+10 \cdot 56.25+15 \cdot 6.25+10 \cdot 156.25=3750

כפול השכיחויות

σ2=375040=93.75σ=93.75≈9.68\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{3750}{40} \\ &= 93.75 \\ \quad \sigma &= \sqrt{93.75} \approx 9.68\end{aligned}

שונות וסטיית תקן

כל אנשי המחלקה 10−2010-20 «עומדים» באמצע, 1515. לכן זו הערכה של סטיית התקן, כמו שהממוצע לפי מחלקות הוא הערכה.

Check the answer on elev

Exercise 6

לקבוצת נתונים סטיית תקן 44. מוסיפים 1010 לכל נתון. מהי סטיית התקן החדשה?

  1. 1414
  2. 44
  3. 4040
  4. 1616
Show the answer and the solution

Answer: B 44

Worked solution:

x→x+10x \to x+10

כל הנתונים זזים יחד

xˉ→xˉ+10\bar{x} \to \bar{x}+10

גם הממוצע זז

(x+10)−(xˉ+10)=x−xˉ(x+10)-(\bar{x}+10)=x-\bar{x}

ההפרשים לא משתנים

הנכונה: 44. הממוצע עולה ב-1010, אבל המרחק של כל נתון מהממוצע נשאר אותו מרחק. 1414 מוסיף את התוספת גם לפיזור.

Check the answer on elev

Exercise 7

לקבוצת נתונים הממוצע 2020 וסטיית התקן 55. כל נתון xx מוחלף ב-3x−43x-4. השלימו.

ממוצע: ____ , סטיית תקן: ____ , שונות: ____

Show the answer and the solution

Answer: ממוצע: 56 , סטיית תקן: 15 , שונות: 225

Worked solution:

3⋅20−4=563 \cdot 20-4=56

הממוצע עובר את השינוי כולו

3⋅5=153 \cdot 5=15

סטיית התקן מוכפלת ב-33, וה-−4-4 לא משפיע

152=22515^2=225

השונות: פי 99 מ-2525

הממוצע מרגיש גם את הכפל וגם את החיסור. סטיית התקן מרגישה רק את הכפל. ומי שעונה 1111 בסטיית התקן החיל עליה גם את ה-−4-4.

Check the answer on elev

Exercise 8

בשתי כיתות נמדד מספר שעות השינה בלילה. ב-י1: ממוצע 7.57.5, סטיית תקן 0.60.6. ב-י2: ממוצע 7.57.5, סטיית תקן 1.41.4. מה נכון?

  1. י2 ישנה יותר
  2. הכיתות ישנות בממוצע אותו זמן, ו-י1 הומוגנית יותר
  3. י1 ישנה יותר
  4. אי אפשר להשוות, כי הממוצעים שווים
Show the answer and the solution

Answer: B הכיתות ישנות בממוצע אותו זמן, ו-י1 הומוגנית יותר

Worked solution:

xˉ1=xˉ2=7.5\begin{aligned}\bar{x}_1 &= \bar{x}_2 \\ &= 7.5\end{aligned}

מדד המרכז: אין הבדל

0.6<1.40.6 < 1.4

מדד הפיזור: ב-י1 שעות השינה קרובות יותר לממוצע

הנכונה: הממוצעים שווים, ו-י1 הומוגנית יותר. סטיית תקן גדולה אינה אומרת «יותר שינה»: היא אומרת «יותר הבדלים בין התלמידים».

Check the answer on elev

Exercise 9

נכון או לא נכון: אם סטיית התקן של קבוצת נתונים היא 00, כל הנתונים שווים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

σ=0 ⇒ ∑(x−xˉ)2=0\begin{aligned}\sigma &= 0 \ \Rightarrow \ \sum (x-\bar{x})^2 \\ &= 0\end{aligned}

סכום של מספרים אי-שליליים שווה 00

x−xˉ=0x-\bar{x}=0

לכן כל הפרש הוא 00, וכל נתון שווה לממוצע

הטענה נכונה. כל הפרש מועלה בחזקת 2, ולכן אינו שלילי. סכום של מספרים לא שליליים מתאפס רק כשכל אחד מהם אפס.

Check the answer on elev

Exercise 10

לארבע הקבוצות הבאות אותו ממוצע, 1010. לאיזו מהן סטיית התקן הגדולה ביותר? ענו בלי לחשב.

  1. 8, 9, 11, 128,\ 9,\ 11,\ 12
  2. 10, 10, 10, 1010,\ 10,\ 10,\ 10
  3. 9, 10, 10, 119,\ 10,\ 10,\ 11
  4. 4, 6, 14, 164,\ 6,\ 14,\ 16
Show the answer and the solution

Answer: D 4, 6, 14, 164,\ 6,\ 14,\ 16

Worked solution:

∣x−10∣: 6, 4, 4, 6|x-10|:\ 6,\ 4,\ 4,\ 6

בקבוצה הזאת כל נתון רחוק מהממוצע

∣x−10∣: 2, 1, 1, 2|x-10|:\ 2,\ 1,\ 1,\ 2

כאן כולם קרובים

σ(10, 10, 10, 10)=0\sigma(10,\ 10,\ 10,\ 10)=0

בלי פיזור בכלל

הנכונה: 4, 6, 14, 164,\ 6,\ 14,\ 16. סטיית התקן מודדת כמה הנתונים רחוקים מהממוצע, והקבוצה הזאת רחוקה ממנו בכל ארבעת הנתונים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade