Set 5 — towards the bagrut · Descriptive statistics · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים א, ב, ג: טבלה עם שכיחות חסרה, היסטוגרמה ושינוי של כל הנתונים, «נכון או לא נכון — הסבירו או תנו דוגמה נגדית», ובניית נתונים לפי המדדים.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: הנוסחה, ההצבה, והתוצאה עם יחידות. ובכל «נכון או לא נכון»: הסבר כללי לטענה נכונה, דוגמה נגדית לטענה שגויה.

Exercises

Exercise 1

מספר ילדים	1	2	3	4	5
מספר משפחות	6	x	14	6	4

בסקר שנערך בקרב 40 משפחות בקריית שמונה נשאלו כמה ילדים יש במשפחה. התוצאות בטבלה. א. מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

6+x+14+6+4=40

סכום השכיחויות הוא מספר המשפחות

x=10

פותרים

את $x$ מוצאים מ- $n$ , לא מהממוצע: הממוצע עוד לא ידוע.

Check the answer on elev

Exercise 2

מספר ילדים	1	2	3	4	5
מספר משפחות	6	10	14	6	4

בסקר שנערך בקרב 40 משפחות בקריית שמונה נשאלו כמה ילדים יש במשפחה (בטבלה, אחרי שמצאנו $x=10$ ). ב. מצאו את מספר הילדים הממוצע ואת החציון.

ממוצע: ____ , חציון: ____

Show the answer and the solution

Answer: ממוצע: 2.8 , חציון: 3

Worked solution:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{6+20+42+24+20}{40} \\ &= \frac{112}{40} \\ &= 2.8\end{aligned}

ממוצע מטבלה

F:\ 6,\ 16,\ 30

השכיחויות המצטברות

\begin{aligned}x_{20} &= x_{21} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ Me \\ &= 3\end{aligned}

הנתונים ה- $17$ עד ה- $30$ הם $3$

הממוצע $2.8$ קטן מהחציון $3$ : המשפחות עם ילד אחד «מושכות» את הממוצע למטה יותר ממה שהמשפחות הגדולות מושכות אותו למעלה.

Check the answer on elev

Exercise 3

מספר ילדים	1	2	3	4	5
מספר משפחות	6	10	14	6	4

לפי הטבלה של 40 המשפחות בקריית שמונה, שהממוצע שלה $2.8$ : ג. חשבו את סטיית התקן של מספר הילדים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.17

Worked solution:

x-\bar{x}:\ -1.8,\ -0.8,\ 0.2,\ 1.2,\ 2.2

ההפרשים מ- $2.8$

6 \cdot 3.24+10 \cdot 0.64+14 \cdot 0.04+6 \cdot 1.44+4 \cdot 4.84=54.4

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{54.4}{40} \\ &= 1.36 \\ \quad \sigma &= \sqrt{1.36} \approx 1.17\end{aligned}

שונות ושורש

כשהממוצע אינו שלם, ההפרשים עשרוניים: כתבו אותם בשורה אחת לפני שמעלים בחזקת 2. מי שמעגל את הממוצע ל- $3$ מקבל תשובה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 4

האיחור של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני

בהיסטוגרמה: האיחור, בדקות, של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני ביום מסוים. א. מהי המחלקה השכיחה?

$16-20$
$8-12$
$6$
$4-8$

Show the answer and the solution

Answer: D $4-8$

Worked solution:

f_{max}=16

העמודה הגבוהה ביותר

הנכונה: $4-8$ . $6$ הוא אמצע המחלקה, והמחלקה $8-12$ היא השנייה בגובהה, $14$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

האיחור של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני

בהיסטוגרמה: האיחור, בדקות, של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני ביום מסוים. ב. חשבו את האיחור הממוצע לפי אמצעי המחלקות.

Show the answer and the solution

Answer: 8.72

Worked solution:

2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18

אמצעי המחלקות

2 \cdot 8+6 \cdot 16+10 \cdot 14+14 \cdot 8+18 \cdot 4=436

אמצע כפול שכיחות

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{436}{50} \\ &= 8.72\end{aligned}

ממוצע משוער

אמצע המחלקה $0-4$ הוא $2$ , לא $0$ . מי שמשתמש בקצוות התחתונים מקבל ממוצע נמוך בדיוק ב- $2$ דקות.

Check the answer on elev

Exercise 6

האיחור של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני

בהיסטוגרמה: האיחור, בדקות, של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני ביום מסוים. האיחור הממוצע היה $8.72$ דקות. אחרי שינוי בלוח הזמנים, האיחור של כל אוטובוס קטן ב- $25\%$ . ג. מהו האיחור הממוצע החדש, ופי כמה השתנתה סטיית התקן?

ממוצע חדש: ____ , סטיית התקן מוכפלת ב-: ____

Show the answer and the solution

Answer: ממוצע חדש: 6.54 , סטיית התקן מוכפלת ב-: 0.75

Worked solution:

x \to 0.75x

קטן ב- $25\%$ : כפל ב- $0.75$

0.75 \cdot 8.72=6.54

הממוצע

\sigma \to 0.75\sigma

סטיית התקן מוכפלת באותו מקדם

ירידה של $25\%$ היא כפל ב- $0.75$ , לא ב- $0.25$ ולא חיסור של $25$ . והפיזור קטן יחד עם הנתונים: האוטובוסים גם מאחרים פחות וגם דומים יותר זה לזה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נכון או לא נכון? הסבירו, או תנו דוגמה נגדית. מוסיפים לקבוצת נתונים נתון חדש, השווה לממוצע של הקבוצה. א. הממוצע של הקבוצה לא משתנה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

S=n\bar{x}

הסכום לפני ההוספה

\begin{aligned}\frac{n\bar{x}+\bar{x}}{n+1} &= \frac{(n+1)\bar{x}}{n+1} \\ &= \bar{x}\end{aligned}

הממוצע אחרי ההוספה

הטענה נכונה, ובאופן כללי, לא רק בדוגמה. הנתון החדש לא «מעל» ולא «מתחת» לממוצע, ולכן הוא לא מזיז את נקודת האיזון.

Check the answer on elev

Exercise 8

נכון או לא נכון? הסבירו, או תנו דוגמה נגדית. מוסיפים לקבוצת נתונים נתון חדש, השווה לממוצע של הקבוצה. ב. גם סטיית התקן של הקבוצה לא משתנה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}0 \\ \ 4:\ \bar{x} &= 2 \\ \ \sigma^2 &= \frac{4+4}{2} \\ &= 4\end{aligned}

לפני: סטיית התקן $2$

\begin{aligned}0 \\ \ 2 \\ \ 4:\ \sigma^2 &= \frac{4+0+4}{3} \\ &= \frac{8}{3}\end{aligned}

אחרי: סטיית התקן $\sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63$

הטענה לא נכונה. סכום ההפרשים בחזקת 2 לא השתנה, אבל מחלקים אותו ב- $n+1$ במקום ב- $n$ . לכן סטיית התקן קטנה, חוץ מהמקרה שבו היא $0$ מלכתחילה.

Check the answer on elev

Exercise 9

א. באיזו מהקבוצות הבאות, של חמישה מספרים, הממוצע $20$ והחציון גדול מהממוצע?

$18,\ 19,\ 20,\ 21,\ 22$
$12,\ 14,\ 16,\ 28,\ 30$
$10,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30$
$2,\ 22,\ 23,\ 26,\ 27$

Show the answer and the solution

Answer: D $2,\ 22,\ 23,\ 26,\ 27$

Worked solution:

\begin{aligned}2+22+23+26+27 &= 100 \ \Rightarrow \ \bar{x} \\ &= 20\end{aligned}

לכל ארבע הקבוצות סכום $100$

Me=23 > 20

החציון של הקבוצה הראשונה

Me=16 < 20

ובאחרונה החציון קטן מהממוצע

הנכונה: $2,\ 22,\ 23,\ 26,\ 27$ . נתון קטן מאוד, $2$ , מושך את הממוצע למטה, והחציון נשאר למעלה. בקבוצות הסימטריות החציון שווה לממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 10

ב. בנו חמישה מספרים שלמים $a \le b \le c \le d \le e$ שהממוצע שלהם $20$ , החציון $25$ , השכיח $28$ , והקטן ביותר $4$ . מהו $b$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

c=25

החציון של חמישה נתונים הוא השלישי

\begin{aligned}d &= e \\ &= 28\end{aligned}

השכיח חייב לחזור, ורק מעל $25$ יש מקום לו

\begin{aligned}5 \cdot 20 &= 100 \ \Rightarrow \ 4+b+25+28+28 \\ &= 100\end{aligned}

הסכום

b=15

פותרים

בדיקה: $4,\ 15,\ 25,\ 28,\ 28$ — ממוצע $20$ ✓, חציון $25$ ✓, שכיח $28$ ✓. $28$ לא יכול להיות $a$ או $b$ , כי הם קטנים מ- $c=25$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev