Rate of change and steps

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כל הפרק הזה עונה על שאלה אחת: כמה מהר משתנה גודל? כמה ק״מ עוברים בשעה, בכמה מעלות מתחממת העיר בכל שעה, כמה ליטרים דלק נשרפים בכל ק״מ. לפני כל נוסחה — נסתכל על גרף.

קצב שינוי קבוע: הגרף ישר

מה שראינו בקטעים הישרים נכון לכל פונקציה: בוחרים שתי נקודות, ומחלקים את השינוי ב-yy בשינוי ב-xx. זה קצב השינוי הממוצע בקטע.

ΔyΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
ΔyΔx>0\frac{\Delta y}{\Delta x} > 0

yy גדל כש-xx גדל.

ΔyΔx=0\frac{\Delta y}{\Delta x} = 0

בסוף הקטע yy חזר לאותו ערך.

ΔyΔx<0\frac{\Delta y}{\Delta x} < 0

yy קטן כש-xx גדל.

בכל הרכיבה עברו 18+24+14=5618 + 24 + 14 = 56 ק״מ בארבע שעות. מהו קצב השינוי הממוצע של המרחק מהבית בארבע השעות?

Show the answer and the solution

7 קמ״ש. בסוף הרכיבה המרחק מהבית הוא 18+0+24−14=2818 + 0 + 24 - 14 = 28 ק״מ, ו-28:4=728 : 4 = 7. קצב השינוי מחשב רק מאיפה התחלנו ולאן הגענו — לא את כל הדרך.

קצב שינוי משתנה: הגרף עקום

בגרף עקום אין שיפוע אחד. נבדוק את f(x)=x2f(x) = x^2 בשני קטעים שאורכם שווה.

אותו אורך קטע, קצב שונה

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2f(x) = x^2 בקטע [1,3][1, 3] ובקטע [3,5][3, 5].

f(3)−f(1)3−1=9−12=4\begin{aligned}\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} &= \frac{9 - 1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

בקטע הראשון

f(5)−f(3)5−3=25−92=8\begin{aligned}\frac{f(5) - f(3)}{5 - 3} &= \frac{25 - 9}{2} \\ &= 8\end{aligned}

בקטע השני

8>48 > 4

הפונקציה עולה מהר יותר ויותר — הקצב עצמו משתנה

מדרגות

דרך נוחה לראות קצב משתנה: מחליפים את העקומה במדרגות. כל מדרגה זזה Δx\Delta x ימינה ו-Δy\Delta y למעלה, והיחס ביניהם הוא הקצב באותה מדרגה.

מדרגות ברוחב 1 על הגרף של x בריבוע
+1+3+5+7012340246810121416xy

המדרגות גבוהות יותר ויותר: 1,3,5,71, 3, 5, 7. הרוחב קבוע, ולכן הקצב גדל. אבל מדרגה ברוחב 11 גסה מדי כדי לומר מה הקצב בנקודה x=2x = 2. מה קורה כשמצמצמים את המדרגה?

Δx=1: 9−41=5\begin{aligned}\Delta x &= 1: \ \frac{9 - 4}{1} \\ &= 5\end{aligned}

מדרגה רחבה

Δx=0.5: 6.25−40.5=4.5\begin{aligned}\Delta x &= 0.5: \ \frac{6.25 - 4}{0.5} \\ &= 4.5\end{aligned}

צרה יותר

Δx=0.1: 4.41−40.1=4.1\begin{aligned}\Delta x &= 0.1: \ \frac{4.41 - 4}{0.1} \\ &= 4.1\end{aligned}

צרה מאוד

חשבו את הקצב במדרגה שמתחילה ב-x=2x = 2 ורוחבה 0.010.01. לאיזה מספר מתקרבים האומדנים?

Show the answer and the solution

2.012−40.01=0.04010.01=4.01\frac{2.01^2 - 4}{0.01} = \frac{0.0401}{0.01} = 4.01. האומדנים 5,4.5,4.1,4.015, 4.5, 4.1, 4.01 מתקרבים ל-4: זה הקצב ברגע x=2x = 2.

זום: מקרוב, העקומה נראית ישרה

נסתכל על אותה פרבולה f(x)=x2f(x) = x^2 פעמיים, ליד הנקודה (2,4)(2, 4). בשני הגרפים מצויר גם הישר y=4x−4y = 4x - 4, שעובר דרך הנקודה ושיפועו 44 — המספר שהמדרגות הצרות התקרבו אליו.

מרחוק: הפרבולה והישר נפרדים
(2, 4)01234-40481216xy
מקרוב: חלון מ-1.9 עד 2.1
(2, 4)1.91.9522.052.13.63.844.24.4xy

מרחוק רואים שני קווים שונים. מקרוב — בחלון ברוחב 0.20.2 — הקשת והישר כמעט מתלכדים: הפער הגדול ביותר בחלון הוא 0.010.01. ככל שמגדילים, העקומה נראית ישרה יותר. לישר הזה קוראים המשיק בנקודה, והשיפוע שלו הוא קצב השינוי הרגעי. ביחידה הבאה נגדיר אותו בדיוק.

בחלון המוגדל, מה ההפרש בין הפרבולה לישר בקצה x=2.1x = 2.1?

Show the answer and the solution

2.12=4.412.1^2 = 4.41 ו-4⋅2.1−4=4.44 \cdot 2.1 - 4 = 4.4. ההפרש 0.010.01 — ובאופן כללי x2−(4x−4)=(x−2)2x^2 - (4x - 4) = (x - 2)^2, ולכן ליד x=2x = 2 הפער קטן הרבה יותר מהר מהמרחק לנקודה.

קצב ממוצע שייך לקטע (Δx\Delta x כלשהו). קצב רגעי שייך לנקודה — הוא מה שהמדרגות מתקרבות אליו כש-Δx\Delta x קטן. ליחידות של הקצב יש משמעות: ק״מ לשעה, מעלות לשעה, ליטרים לדקה.

שתי טעויות בחישוב קצב שינוי.

f(x2)−f(x1)x1−x2\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_1 - x_2}
f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

הסדר במונה ובמכנה חייב להיות אותו סדר. אחרת הסימן מתהפך — ופונקציה עולה נראית יורדת.

ΔxΔy\frac{\Delta x}{\Delta y}
ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

הקצב הוא השינוי ב-yy לכל יחידה של xx: ק״מ לשעה, ולא שעות לק״מ.

Exercises

Exercise 1

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x בקטע [1,4][1, 4].

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(4)=16−8=8\begin{aligned}f(4) &= 16 - 8 \\ &= 8\end{aligned}

הערך בסוף הקטע

f(1)=1−2=−1\begin{aligned}f(1) &= 1 - 2 \\ &= -1\end{aligned}

הערך בתחילת הקטע

8−(−1)4−1=93=3\begin{aligned}\frac{8 - (-1)}{4 - 1} &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

השינוי ב-yy חלקי השינוי ב-xx

המלכודת היא f(1)=−1f(1) = -1: מי שמחסר 8−18 - 1 במקום 8−(−1)8 - (-1) מקבל 73\frac{7}{3}. מציבים בסוגריים.

Check the answer on elev

Exercise 2

במיכל מים היו 150 ליטרים שעתיים אחרי תחילת הניקוז, ו-70 ליטרים שש שעות אחרי תחילתו. מהו קצב השינוי הממוצע של כמות המים בין שתי המדידות, בליטרים לשעה?

  1. −80-80
  2. −0.05-0.05
  3. 2020
  4. −20-20
Show the answer and the solution

Answer: D −20-20

Worked solution:

Δy=70−150=−80\begin{aligned}\Delta y &= 70 - 150 \\ &= -80\end{aligned}

השינוי בכמות

Δx=6−2=4\begin{aligned}\Delta x &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

השינוי בזמן

−804=−20\frac{-80}{4} = -20

ליטרים לשעה

התשובה הנכונה: −20-20. 2020 שוכח שהכמות יורדת; −80-80 הוא השינוי כולו, בלי לחלק בזמן; −0.05-0.05 הוא ΔxΔy\frac{\Delta x}{\Delta y} — שעות לליטר.

Check the answer on elev

Exercise 3

על הגרף של f(x)=x3f(x) = x^3 בונים מדרגות ברוחב 11. מה הגובה של המדרגה שמתחילה ב-x=1x = 1?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

f(2)−f(1)f(2) - f(1)

הגובה הוא השינוי ב-yy לאורך המדרגה

8−1=78 - 1 = 7

מחשבים

הגובה הוא Δy\Delta y — לא f(2)=8f(2) = 8. מדרגה מודדת שינוי, לא ערך.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: אם קצב השינוי הממוצע של ff בקטע [0,4][0, 4] הוא 00, אז ff קבועה בקטע.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x(x−4)f(x) = x(x - 4)

דוגמה נגדית

f(0)=f(4)=0⇒0−04=0\begin{aligned}f(0) &= f(4) \\ &= 0 \Rightarrow \frac{0 - 0}{4} \\ &= 0\end{aligned}

הקצב הממוצע אפס

f(2)=−4≠0f(2) = -4 \neq 0

אבל הפונקציה אינה קבועה

הטענה לא נכונה. קצב ממוצע אפס אומר רק שבסוף הקטע חזרנו לאותו ערך. באמצע הפונקציה יכולה לרדת ולעלות.

Check the answer on elev

Exercise 5

טמפרטורה בעיר לאורך בוקר אחד
68101214051015202530שעהמעלות

הגרף מראה את הטמפרטורה בעיר בבוקר אחד. מהו קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה בין השעה 8:00 לשעה 12:00, במעלות לשעה? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.75

Worked solution:

T(12)=26 T(8)=15\begin{aligned}T(12) &= 26 \\ \ T(8) &= 15\end{aligned}

קוראים מהגרף

26−1512−8=114=2.75\begin{aligned}\frac{26 - 15}{12 - 8} &= \frac{11}{4} \\ &= 2.75\end{aligned}

מעלות לשעה

המלכודת: לחלק ערך בזמן, למשל 26:1226 : 12. קצב הוא שינוי בטמפרטורה חלקי שינוי בזמן — מחסרים לפני שמחלקים.

Check the answer on elev

Exercise 6

האומדנים לקצב של f(x)=x2f(x) = x^2 ב-x=2x = 2 נלקחו ממדרגות ברוחב 11, 0.50.5, 0.10.1 ו-0.010.01. סדרו אותם מהרחוק ביותר מהקצב הרגעי אל הקרוב ביותר.

  • 4.014.01
  • 4.14.1
  • 4.54.5
  • 55
Show the answer and the solution

Answer: 55 · 4.54.5 · 4.14.1 · 4.014.01

Worked solution:

(2+Δx)2−4Δx=4+Δx\frac{(2 + \Delta x)^2 - 4}{\Delta x} = 4 + \Delta x

הקצב במדרגה ברוחב Δx\Delta x

5, 4.5, 4.1, 4.01→45,\ 4.5,\ 4.1,\ 4.01 \to 4

ככל שהמדרגה צרה יותר

הקצב במדרגה הוא בדיוק 4+Δx4 + \Delta x. מדרגה צרה יותר נותנת אומדן טוב יותר — אבל אף מדרגה לא נותנת את 44 בעצמו.

Check the answer on elev

Exercise 7

איזה משפט נכון תמיד?

  1. בגרף עקום אי אפשר לחשב קצב שינוי
  2. קצב השינוי הממוצע זהה בכל קטע אם ורק אם הגרף הוא ישר
  3. אם הפונקציה עולה, קצב השינוי שלה קבוע
  4. קצב השינוי הממוצע בקטע שווה לערך הפונקציה באמצע הקטע
Show the answer and the solution

Answer: B קצב השינוי הממוצע זהה בכל קטע אם ורק אם הגרף הוא ישר

Worked solution:

y=mx+b⇒ΔyΔx=m\begin{aligned}y &= mx + b \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &= m\end{aligned}

בישר הקצב הוא השיפוע, בכל קטע

f(x)=x2: [1,3]→4[3,5]→8\begin{aligned}f(x) &= x^2:\ [1, 3] \to 4 \\ \quad [3, 5] \to 8\end{aligned}

בפרבולה — שני קטעים באותו אורך, שני קצבים

הנכון: «קצב השינוי הממוצע זהה בכל קטע אם ורק אם הגרף הוא ישר». הפרבולה x2x^2 עולה בקטע [1,5][1, 5] וקצבה משתנה, ולכן «עולה» אינו «קצב קבוע».

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=−x2+6xf(x) = -x^2 + 6x בקטע [2,5][2, 5].

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

f(5)=−25+30=5\begin{aligned}f(5) &= -25 + 30 \\ &= 5\end{aligned}

בסוף הקטע

f(2)=−4+12=8\begin{aligned}f(2) &= -4 + 12 \\ &= 8\end{aligned}

בתחילת הקטע

5−85−2=−1\frac{5 - 8}{5 - 2} = -1

קצב שלילי

המלכודת: −x2-x^2 ב-x=5x = 5 הוא −25-25, ולא 2525. החזקה חלה על xx בלבד, והמינוס נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 9

השלימו עבור f(x)=x2f(x) = x^2 והמדרגה מ-x=3x = 3 ברוחב 0.10.1.

השינוי ב-yy לאורך המדרגה הוא ____, וקצב השינוי במדרגה הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: השינוי ב-yy לאורך המדרגה הוא 0.61, וקצב השינוי במדרגה הוא 6.1.

Worked solution:

f(3.1)=9.61f(3.1) = 9.61

בסוף המדרגה

Δy=9.61−9=0.61\begin{aligned}\Delta y &= 9.61 - 9 \\ &= 0.61\end{aligned}

הגובה

0.610.1=6.1\frac{0.61}{0.1} = 6.1

הקצב

הגובה 0.610.61 קטן, אבל הקצב 6.16.1 אינו קטן: מחלקים ברוחב. מי שעוצר אחרי Δy\Delta y מחשב שינוי, לא קצב.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל מצב את יחידת קצב השינוי שלו.

  • מרחק בק״מ לפי זמן בשעות
  • טמפרטורה במעלות לפי זמן בשעות
  • כמות מים בליטרים לפי זמן בדקות
  • מחיר בשקלים לפי משקל בק״ג
  • ליטרים לדקה
  • מעלות לשעה
  • ק״מ לשעה
  • שקלים לק״ג
Show the answer and the solution

Answer: מרחק בק״מ לפי זמן בשעות — ק״מ לשעה · טמפרטורה במעלות לפי זמן בשעות — מעלות לשעה · כמות מים בליטרים לפי זמן בדקות — ליטרים לדקה · מחיר בשקלים לפי משקל בק״ג — שקלים לק״ג

Worked solution:

ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

היחידה של yy חלקי היחידה של xx

היחידה של הקצב היא תמיד יחידת yy לכל יחידת xx. היא אומרת גם מה מחלקים במה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade