Definition of the derivative

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ביחידה הקודמת המדרגות הצרות התקרבו למספר אחד, והזום הראה ישר שכמעט נצמד לעקומה. עכשיו נהפוך את שני הרעיונות להגדרה אחת: הנגזרת.

מהמיתר אל המשיק

ישר שעובר דרך שתי נקודות על הגרף נקרא מיתר (או חותך). השיפוע שלו הוא קצב השינוי הממוצע בין שתי הנקודות. נקבע נקודה אחת, ונקרב אליה את השנייה.

נסמן את הנקודה הקבועה ב-x0x_0 ואת המרחק לנקודה השנייה ב-hh. השיפוע של המיתר הוא:

mAB=f(x0+h)−f(x0)hm_{AB} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

בווידג׳ט, כש-h=0.5h = 0.5: מהן הקואורדינטות של BB, ומהו שיפוע המיתר?

Show the answer and the solution

B=(1.5, 2.25)B = (1.5,\ 2.25), כי 1.52=2.251.5^2 = 2.25. השיפוע: 2.25−10.5=2.5\frac{2.25 - 1}{0.5} = 2.5 — ואכן 2+h=2.52 + h = 2.5.

ההגדרה

כש-hh שואף לאפס, המיתר מסתובב ומתקרב למשיק. המספר שאליו מתקרב שיפוע המיתר נקרא הנגזרת של ff בנקודה x0x_0, ומסמנים אותו f′(x0)f'(x_0).

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

אפשר לכתוב גם בחצים: כש-h→0h \to 0, המנה →f′(x0)\to f'(x_0). hh אף פעם אינו שווה לאפס — מפשטים את המנה כל עוד h≠0h \neq 0, ורק אז בודקים לאן היא מתקרבת.

נגזרת לפי ההגדרה

חשבו לפי ההגדרה את f′(3)f'(3) עבור f(x)=x2f(x) = x^2.

f(3+h)=(3+h)2=9+6h+h2\begin{aligned}f(3 + h) &= (3 + h)^2 \\ &= 9 + 6h + h^2\end{aligned}

מציבים 3+h3 + h ופותחים סוגריים

f(3+h)−f(3)=6h+h2f(3 + h) - f(3) = 6h + h^2

מחסרים f(3)=9f(3) = 9

6h+h2h=6+h\frac{6h + h^2}{h} = 6 + h

מחלקים ב-hh — מותר, כי h≠0h \neq 0

h→0 ⇒ 6+h→6h \to 0 \ \Rightarrow \ 6 + h \to 6

משאיפים את hh לאפס

f′(3)=6f'(3) = 6

שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה (3,9)(3, 9)

למה אי אפשר להציב h=0h = 0 כבר בשורה הראשונה של המנה?

Show the answer and the solution

כי מתקבל 9−90=00\frac{9 - 9}{0} = \frac{0}{0}, ביטוי שאין לו ערך. קודם מפשטים (מחלקים ב-hh כש-h≠0h \neq 0), ורק בביטוי 6+h6 + h אפשר לראות לאן הוא שואף.

הנגזרת כפונקציה

אפשר לחזור על אותו חישוב בכל נקודה xx. עבור f(x)=x2f(x) = x^2 מתקבל f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h, ולכן f′(x)=2xf'(x) = 2x. לכל xx יש שיפוע משלו — כלומר הנגזרת היא פונקציה חדשה: פונקציית השיפועים.

x=−1 ⇒ f′(−1)=−2\begin{aligned}x &= -1 \ \Rightarrow \ f'(-1) \\ &= -2\end{aligned}

משמאל לקדקוד הפרבולה יורדת

x=0 ⇒ f′(0)=0\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= 0\end{aligned}

בקדקוד המשיק אופקי

x=2 ⇒ f′(2)=4\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 4\end{aligned}

מימין היא עולה, ויותר ויותר תלול

גם בלי נוסחה אפשר לשרטט בקירוב את הגרף של f′f' מתוך הגרף של ff: בכל נקודה שואלים אם הגרף עולה, יורד או אופקי, וכמה הוא תלול. בווידג׳ט הגרף העליון הוא ff והתחתון הוא f′f', על אותו ציר xx.

f↗ ⇒ f′>0f \nearrow \ \Rightarrow \ f' > 0

הגרף עולה — השיפוע חיובי

f↘ ⇒ f′<0f \searrow \ \Rightarrow \ f' < 0

הגרף יורד — השיפוע שלילי

f′(x0)=0f'(x_0) = 0

המשיק אופקי — למשל בקדקוד

בווידג׳ט f(x)=x33−xf(x) = \frac{x^3}{3} - x. בנקודה x=0x = 0 ערך הפונקציה הוא 00. האם גם f′(0)=0f'(0) = 0?

Show the answer and the solution

לא. ב-x=0x = 0 הגרף יורד, ולכן f′(0)<0f'(0) < 0 — לפי ההגדרה המנה היא h23−1→−1\frac{h^2}{3} - 1 \to -1, ו-f′(0)=−1f'(0) = -1. גובה הגרף ושיפוע הגרף הם שני דברים שונים.

כש-ff ו-f′f' מצוירות על אותה מערכת צירים, ליחידות שלהן אין קשר: אם ff היא מרחק בק״מ לפי שעות, f′f' היא מהירות בקמ״ש. נקודת חיתוך של שני הגרפים אינה אומרת דבר מיוחד.

שלוש טעויות בהגדרה.

f′(3)=f(3+h)−f(3)hf'(3) = \frac{f(3 + h) - f(3)}{h}
f′(3)=lim⁡h→0f(3+h)−f(3)hf'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3)}{h}

בלי הגבול זה שיפוע המיתר, ביטוי שתלוי ב-hh. הנגזרת היא מספר אחד.

(3+h)2=9+h2(3 + h)^2 = 9 + h^2
(3+h)2=9+6h+h2(3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2

האיבר האמצעי 6h6h הוא בדיוק מה שנותן את הנגזרת. מי ששוכח אותו מקבל f′(3)=0f'(3) = 0.

f(0)=0 ⇒ f′(0)=0\begin{aligned}f(0) &= 0 \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= 0\end{aligned}
f(0)=0 f′(0)=−1\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f'(0) &= -1\end{aligned}

ערך הפונקציה אומר איפה הגרף; הנגזרת אומרת לאן הוא הולך.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. חשבו את שיפוע המיתר בין הנקודות שבהן x=1x = 1 ו-x=1.1x = 1.1. כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 5.1

Worked solution:

f(1.1)=1.21+3.3=4.51\begin{aligned}f(1.1) &= 1.21 + 3.3 \\ &= 4.51\end{aligned}

הנקודה השנייה

f(1)=1+3=4\begin{aligned}f(1) &= 1 + 3 \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה הקבועה

4.51−40.1=0.510.1=5.1\begin{aligned}\frac{4.51 - 4}{0.1} &= \frac{0.51}{0.1} \\ &= 5.1\end{aligned}

שינוי חלקי h=0.1h = 0.1

זה עדיין שיפוע מיתר, לא הנגזרת: בכללי הוא 5+h5 + h, ורק כש-h→0h \to 0 מתקבל f′(1)=5f'(1) = 5.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x2f(x) = x^2. השלימו את החישוב של f′(3)f'(3) לפי ההגדרה.

לאחר פישוט, המנה f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h} שווה ל-hh ועוד ____. כש-hh שואף לאפס, מתקבל f′(3)=f'(3) = ____.

Show the answer and the solution

Answer: לאחר פישוט, המנה f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h} שווה ל-hh ועוד 6. כש-hh שואף לאפס, מתקבל f′(3)=f'(3) = 6.

Worked solution:

(3+h)2−9h=6h+h2h\frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h}

מציבים ופותחים

=6+h → 6= 6 + h \ \to \ 6

מחלקים ב-hh, ואז h→0h \to 0

המספר 66 מופיע פעמיים, אבל בשני תפקידים: פעם כחלק מהמנה 6+h6 + h, ופעם כגבול שלה. המנה תלויה ב-hh, הנגזרת לא.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=2x2−xf(x) = 2x^2 - x. חשבו לפי ההגדרה את f′(1)f'(1).

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(1+h)=2(1+2h+h2)−1−h=1+3h+2h2\begin{aligned}f(1 + h) &= 2(1 + 2h + h^2) - 1 - h \\ &= 1 + 3h + 2h^2\end{aligned}

מציבים 1+h1 + h

f(1)=2−1=1\begin{aligned}f(1) &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

הערך בנקודה

3h+2h2h=3+2h\frac{3h + 2h^2}{h} = 3 + 2h

מחסרים ומחלקים ב-hh

h→0 ⇒ f′(1)=3h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(1) = 3

משאיפים

המלכודת היא −(1+h)-(1 + h): שני האיברים מקבלים מינוס. מי שכותב −1+h-1 + h מקבל 55.

Check the answer on elev

Exercise 4

סדרו את שלבי החישוב של f′(x0)f'(x_0) לפי ההגדרה.

  • מחלקים ב-hh ומפשטים
  • מחסרים את f(x0)f(x_0)
  • מציבים x0+hx_0 + h בפונקציה
  • משאיפים את hh לאפס
Show the answer and the solution

Answer: מציבים x0+hx_0 + h בפונקציה · מחסרים את f(x0)f(x_0) · מחלקים ב-hh ומפשטים · משאיפים את hh לאפס

Worked solution:

f(x0+h)f(x_0 + h)

הצבה

f(x0+h)−f(x0)f(x_0 + h) - f(x_0)

השינוי ב-yy

f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

שיפוע המיתר

lim⁡h→0\lim_{h \to 0}

הגבול — שיפוע המשיק

משאיפים רק בסוף. מי שמציב h=0h = 0 לפני החלוקה מקבל 00\frac{0}{0} ונתקע.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x3f(x) = x^3. לאיזה מספר שואפת המנה f(2+h)−f(2)h\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} כש-h→0h \to 0?

  1. 88
  2. 1212
  3. 66
  4. אין לה ערך, כי מתקבל 00\frac{0}{0}
Show the answer and the solution

Answer: B 1212

Worked solution:

(2+h)3=8+12h+6h2+h3(2 + h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3

פותחים

12h+6h2+h3h=12+6h+h2\frac{12h + 6h^2 + h^3}{h} = 12 + 6h + h^2

מחסרים 88 ומחלקים ב-hh

h→0 ⇒ 12h \to 0 \ \Rightarrow \ 12

הגבול

התשובה הנכונה: 1212. 88 הוא f(2)f(2), גובה ולא שיפוע; 66 בא מ-3⋅23 \cdot 2 בלי החזקה; ו-00\frac{0}{0} מופיע רק למי שמציב h=0h = 0 לפני הפישוט.

Check the answer on elev

Exercise 6

הגרף של הפונקציה f
0133.5-1012345-5-4-3-2-112345xy

לפניכם הגרף של ff. מיינו את הנקודות המסומנות לפי הסימן של f′f' בהן.

  • f′>0f' > 0
  • f′<0f' < 0
  • x=0x = 0
  • x=1x = 1
  • x=3.5x = 3.5
  • x=3x = 3
Show the answer and the solution

Answer: x=0x = 0 — f′>0f' > 0 · x=1x = 1 — f′>0f' > 0 · x=3x = 3 — f′<0f' < 0 · x=3.5x = 3.5 — f′<0f' < 0

Worked solution:

x<2 ⇒ f↗x < 2 \ \Rightarrow \ f \nearrow

משמאל לקדקוד הגרף עולה

x>2 ⇒ f↘x > 2 \ \Rightarrow \ f \searrow

מימין לקדקוד הגרף יורד

בנקודות x=1x = 1 ו-x=3x = 3 הגובה זהה (f=3f = 3), אבל הסימן של הנגזרת הפוך. הנגזרת נקבעת לפי הכיוון, לא לפי הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 7

התאימו לכל תיאור של ff את התיאור של f′f'.

  • ff קבועה
  • ff ישר עולה
  • ff ישר יורד
  • ff פרבולה עם נקודת מינימום ב-x=1x = 1
  • f′(x)=0f'(x) = 0 בכל נקודה
  • f′f' קבועה וחיובית
  • f′f' קבועה ושלילית
  • f′f' שלילית משמאל ל-11 וחיובית מימין
Show the answer and the solution

Answer: ff קבועה — f′(x)=0f'(x) = 0 בכל נקודה · ff ישר עולה — f′f' קבועה וחיובית · ff ישר יורד — f′f' קבועה ושלילית · ff פרבולה עם נקודת מינימום ב-x=1x = 1 — f′f' שלילית משמאל ל-11 וחיובית מימין

Worked solution:

f(x)=mx+b ⇒ f′(x)=m\begin{aligned}f(x) &= mx + b \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= m\end{aligned}

לישר שיפוע אחד בכל נקודה

f′(1)=0f'(1) = 0

בקדקוד המשיק אופקי

בפרבולה עם מינימום הגרף יורד ואז עולה, ולכן f′f' עוברת משלילית לחיובית — ולא «חיובית כי הפרבולה פתוחה למעלה».

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: אם f(2)=0f(2) = 0, אז f′(2)=0f'(2) = 0.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x−2f(x) = x - 2

דוגמה נגדית

f(2)=0f(2) = 0

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=2x = 2

f′(2)=1≠0f'(2) = 1 \neq 0

אבל השיפוע שם 11

הטענה לא נכונה. f(2)=0f(2) = 0 אומר שהגרף עובר בציר ה-xx; f′(2)=0f'(2) = 0 אומר שהמשיק אופקי. אלה שני תנאים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו לפי ההגדרה את שיפוע המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x=−3x = -3.

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

f(−3+h)=9−6h+h2f(-3 + h) = 9 - 6h + h^2

מציבים −3+h-3 + h

9−6h+h2−9h=−6+h\frac{9 - 6h + h^2 - 9}{h} = -6 + h

מחסרים f(−3)=9f(-3) = 9 ומחלקים

h→0 ⇒ −6h \to 0 \ \Rightarrow \ -6

הגבול

הגובה f(−3)=9f(-3) = 9 חיובי, אבל השיפוע −6-6 שלילי: משמאל לקדקוד הפרבולה יורדת. מי שכותב (−3+h)2=9+6h+h2(-3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2 מאבד את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. מצאו לפי ההגדרה את f′(x)f'(x), ובאיזה xx המשיק לגרף אופקי?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f(x+h)−f(x)=2xh+h2−4hf(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 4h

מציבים x+hx + h ומחסרים

2xh+h2−4hh=2x+h−4 → 2x−4\frac{2xh + h^2 - 4h}{h} = 2x + h - 4 \ \to \ 2x - 4

מחלקים ומשאיפים

2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}2x - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי: שיפוע אפס

משיק אופקי פירושו f′(x)=0f'(x) = 0, לא f(x)=0f(x) = 0. מי שפותר x2−4x=0x^2 - 4x = 0 מוצא x=0x = 0 ו-x=4x = 4 — נקודות החיתוך עם הציר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade