Differentiation rules and polynomials

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ביחידה הקודמת חישבנו נגזרות לפי ההגדרה: מציבים, מחסרים, מחלקים, משאיפים. זה עובד, אבל ארוך. כאן נוכיח פעם אחת כמה כללים, ומהם נגזור כל פולינום בשורה אחת.

נגזרת של פונקציה קבועה

הגרף של f(x)=cf(x) = c הוא קו אופקי. לקו אופקי אין שיפוע — וההגדרה אומרת בדיוק את זה:

הוכחה: (c)′=0(c)' = 0

נתונה f(x)=cf(x) = c, כאשר cc מספר קבוע.

f(x+h)−f(x)=c−c=0\begin{aligned}f(x + h) - f(x) &= c - c \\ &= 0\end{aligned}

הפונקציה נותנת cc לכל קלט

0h=0\frac{0}{h} = 0

לכל h≠0h \neq 0

h→0 ⇒ f′(x)=0h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(x) = 0

המנה היא אפס כל הזמן, וגם הגבול

כלל החזקה

לפי ההגדרה כבר מצאנו (x2)′=2x(x^2)' = 2x ו-(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2. ישר y=xy = x שיפועו 11. נסדר את התוצאות בטבלה ונחפש חוקיות:

(x)′=1=1⋅x0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ &= 1 \cdot x^0\end{aligned}

שיפוע הישר

(x2)′=2x1(x^2)' = 2x^1

מההגדרה, (x+h)2−x2h=2x+h\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = 2x + h

(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

מההגדרה, (x+h)3−x3h=3x2+3xh+h2\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2

לפי החוקיות בטבלה, מהי הנגזרת של x4x^4?

Show the answer and the solution

4x34x^3. בפתיחת (x+h)4(x + h)^4 האיבר שיש בו hh בחזקה ראשונה הוא 4x3h4x^3h, וכל שאר האיברים עם hh נעלמים בגבול.

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

החזקה יורדת ומכפילה, והחזקה עצמה קטנה באחד. שני הדברים קורים יחד.

מקדם וסכום

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

מקדם קבוע נשאר ומכפיל את הנגזרת.

(f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'

גוזרים איבר-איבר.

הוכחה: כלל הסכום

נתון s(x)=f(x)+g(x)s(x) = f(x) + g(x), ו-ff ו-gg גזירות.

s(x+h)−s(x)=[f(x+h)−f(x)]+[g(x+h)−g(x)]s(x + h) - s(x) = [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)]

מסדרים מחדש את ארבעת האיברים

s(x+h)−s(x)h=f(x+h)−f(x)h+g(x+h)−g(x)h\frac{s(x + h) - s(x)}{h} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h}

מחלקים כל סוגריים ב-hh

h→0 ⇒ s′(x)=f′(x)+g′(x)h \to 0 \ \Rightarrow \ s'(x) = f'(x) + g'(x)

כל מנה שואפת לנגזרת שלה

באותה דרך בדיוק מוכיחים את כלל המקדם: cf(x+h)−cf(x)h=c⋅f(x+h)−f(x)h→c⋅f′(x)\frac{c f(x+h) - c f(x)}{h} = c \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \to c \cdot f'(x).

גזירה איבר-איבר

גזרו: f(x)=2x3−5x2+4x−7f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7

(2x3)′=2⋅3x2=6x2\begin{aligned}(2x^3)' &= 2 \cdot 3x^2 \\ &= 6x^2\end{aligned}

מקדם כפול כלל החזקה

(−5x2)′=−10x(-5x^2)' = -10x

אותו דבר, עם המינוס

(4x)′=4(4x)' = 4

הנגזרת של xx היא 11

(−7)′=0(-7)' = 0

הקבוע נעלם

f′(x)=6x2−10x+4f'(x) = 6x^2 - 10x + 4

מחברים

מהי הנגזרת של f(x)=100f(x) = 100, ומה עם g(x)=x2+100g(x) = x^2 + 100?

Show the answer and the solution

f′(x)=0f'(x) = 0, ו-g′(x)=2xg'(x) = 2x — בדיוק כמו הנגזרת של x2x^2. הוספת קבוע מזיזה את הגרף למעלה, ולא משנה אף שיפוע.

מה הנגזרת אומרת

f′(a)>0f'(a) > 0

הגרף עולה ב-aa.

f′(a)<0f'(a) < 0

הגרף יורד ב-aa.

f′(a)=0f'(a) = 0

המשיק אופקי ב-aa.

נתון f(x)=x3−6xf(x) = x^3 - 6x. מהו f′(2)f'(2), והאם הגרף עולה או יורד שם?

Show the answer and the solution

f′(x)=3x2−6f'(x) = 3x^2 - 6, ולכן f′(2)=12−6=6f'(2) = 12 - 6 = 6. חיובי — הגרף עולה בנקודה הזאת, אף ש-f(2)=−4f(2) = -4 שלילי.

שתי הטעויות של גזירת פולינום.

(x4+5)′=4x3+5(x^4 + 5)' = 4x^3 + 5
(x4+5)′=4x3(x^4 + 5)' = 4x^3

הקבוע נעלם. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק, והיא עולה נקודות בכל סעיף שממשיך ממנה.

(x3)′=3x3(x^3)' = 3x^3
(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

החזקה יורדת וגם קטנה באחד. מי שעושה רק חצי מהכלל מקבל ביטוי ממעלה שגויה.

Exercises

Exercise 1

גזרו: f(x)=x4−3x2+5f(x) = x^4 - 3x^2 + 5

  1. 4x3−6x4x^3 - 6x
  2. 4x3−3x4x^3 - 3x
  3. 4x3−6x24x^3 - 6x^2
  4. 4x3−6x+54x^3 - 6x + 5
Show the answer and the solution

Answer: A 4x3−6x4x^3 - 6x

Worked solution:

(x4)′=4x3(x^4)' = 4x^3

כלל החזקה

(−3x2)′=−3⋅2x=−6x\begin{aligned}(-3x^2)' &= -3 \cdot 2x \\ &= -6x\end{aligned}

מקדם כפול נגזרת

(5)′=0(5)' = 0

הקבוע נעלם

הנכונה: 4x3−6x4x^3 - 6x. 4x3−6x+54x^3 - 6x + 5 גורר את הקבוע; 4x3−3x4x^3 - 3x שוכח להכפיל במקדם; 4x3−6x24x^3 - 6x^2 לא מוריד את החזקה.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון f(x)=x4−3x2+5f(x) = x^4 - 3x^2 + 5. חשבו את f′(2)f'(2).

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

f′(x)=4x3−6xf'(x) = 4x^3 - 6x

גוזרים

f′(2)=32−12=20\begin{aligned}f'(2) &= 32 - 12 \\ &= 20\end{aligned}

מציבים

קודם גוזרים, ורק אז מציבים. מי שמציב קודם מקבל f(2)=9f(2) = 9 — מספר, ולמספר נגזרת אפס.

Check the answer on elev

Exercise 3

גזרו: f(x)=100f(x) = 100

  1. 11
  2. 100100
  3. 00
  4. 100x100x
Show the answer and the solution

Answer: C 00

Worked solution:

f(x+h)−f(x)=100−100=0\begin{aligned}f(x + h) - f(x) &= 100 - 100 \\ &= 0\end{aligned}

לפי ההגדרה

f′(x)=0f'(x) = 0

קו אופקי

הנכונה: 00. גודל הקבוע לא משנה — הגרף הוא קו אופקי. 11 הוא הנגזרת של xx, לא של מספר.

Check the answer on elev

Exercise 4

גזרו: f(x)=5x4f(x) = 5x^4

  1. 5x35x^3
  2. 20x320x^3
  3. 20x420x^4
  4. 9x39x^3
Show the answer and the solution

Answer: B 20x320x^3

Worked solution:

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

המקדם נשאר

5⋅4x3=20x35 \cdot 4x^3 = 20x^3

וכופל את נגזרת החזקה

הנכונה: 20x320x^3. 20x420x^4 שוכח להקטין את החזקה; 9x39x^3 מחבר את 55 ו-44 במקום לכפול.

Check the answer on elev

Exercise 5

עבור f(x)=x3−6xf(x) = x^3 - 6x, מצאו את הערך החיובי של xx שבו f′(x)=0f'(x) = 0. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.4142

Worked solution:

f′(x)=3x2−6f'(x) = 3x^2 - 6

גוזרים

3x2=6 ⇒ x2=2\begin{aligned}3x^2 &= 6 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2\end{aligned}

משווים לאפס

x=±2  2≈1.41\begin{aligned}x &= \pm\sqrt{2} \ \\ \ \sqrt{2} \approx 1.41\end{aligned}

והפתרון החיובי

המלכודת היא לפתור f(x)=0f(x) = 0 במקום f′(x)=0f'(x) = 0: אז מתקבל 6≈2.45\sqrt{6} \approx 2.45, נקודת חיתוך עם הציר ולא משיק אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 6

גזרו: f(x)=x42+3xf(x) = \frac{x^4}{2} + 3x

  1. 4x3+34x^3 + 3
  2. 2x3+3x2x^3 + 3x
  3. 2x3+32x^3 + 3
  4. x32+3\frac{x^3}{2} + 3
Show the answer and the solution

Answer: C 2x3+32x^3 + 3

Worked solution:

x42=12x4\frac{x^4}{2} = \frac{1}{2}x^4

חלוקה ב-22 היא מקדם 12\frac{1}{2}

12⋅4x3=2x3\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3

כלל המקדם

(3x)′=3(3x)' = 3

והאיבר השני

הנכונה: 2x3+32x^3 + 3. 4x3+34x^3 + 3 זורק את החצי; 2x3+3x2x^3 + 3x לא גוזר את האיבר השני; x32+3\frac{x^3}{2} + 3 מקטין את החזקה בלי להכפיל ב-44. חלוקה במספר היא כפל במקדם.

Check the answer on elev

Exercise 7

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=2x3−4x2+7x−1f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x - 1
(2x3)′=6x2(2x^3)' = 6x^2
(−4x2)′=−8x(-4x^2)' = -8x
(7x)′=7x(7x)' = 7x
f′(x)=6x2−8x+7f'(x) = 6x^2 - 8x + 7
Show the answer and the solution

Answer: (7x)′=7x(7x)' = 7x → (7x)′=7(7x)' = 7

Worked solution:

7x=7x17x = 7x^1

החזקה היא 11

(7x)′=7⋅1⋅x0=7\begin{aligned}(7x)' &= 7 \cdot 1 \cdot x^0 \\ &= 7\end{aligned}

כלל החזקה עם מקדם

הנגזרת של 7x7x היא 77: ישר ששיפועו 77. מי שמשאיר את xx לא הוריד את החזקה מ-11 ל-00.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=ax3−2xf(x) = ax^3 - 2x, כאשר aa פרמטר. ידוע ש-f′(1)=10f'(1) = 10. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f′(x)=3ax2−2f'(x) = 3ax^2 - 2

גוזרים; aa הוא מקדם קבוע

f′(1)=3a−2=10\begin{aligned}f'(1) &= 3a - 2 \\ &= 10\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

a=4a = 4

פותרים

aa הוא מספר, ולכן הוא לא נגזר — הוא נשאר מקדם. מי שמציב x=1x = 1 בפונקציה עצמה פותר a−2=10a - 2 = 10 ומקבל 1212.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון f(x)=x2f(x) = x^2. הוכיחו מתוך הגדרת הנגזרת ש-f′(x)=2xf'(x) = 2x.

  • f(x)=x2f(x) = x^2
  • f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

f′(x)=2xf'(x) = 2x

Show the answer and the solution
  1. f(x+h)=(x+h)2f(x+h) = (x+h)^2 — הצבת x+hx+h בפונקציה
  2. f(x+h)=x2+2xh+h2f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 — פתיחת סוגריים
  3. f(x+h)−f(x)=2xh+h2f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2 — חיסור x2x^2 משני האגפים
  4. f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h — חלוקה ב-hh, המותרת כי h≠0h \neq 0 בתהליך הגבול
  5. f′(x)=2xf'(x) = 2x — השאפת hh לאפס

Worked solution:

f(x+h)=(x+h)2f(x+h) = (x+h)^2

הצבת x+hx+h בפונקציה

f(x+h)=x2+2xh+h2f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2

פתיחת סוגריים

f(x+h)−f(x)=2xh+h2f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2

חיסור x2x^2 משני האגפים

f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h

חלוקה ב-hh, המותרת כי h≠0h \neq 0 בתהליך הגבול

f′(x)=2xf'(x) = 2x

השאפת hh לאפס

המלכודת היא לשכוח את 2xh2xh בפתיחת (x+h)2(x+h)^2 — ואז יוצא f′(x)=0f'(x) = 0. וחלוקה ב-hh מותרת רק כי h≠0h \neq 0 לאורך כל התהליך.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה פונקציה גזירה ff, ו-g(x)=f(x)+cg(x) = f(x) + c עבור קבוע cc. הוכיחו מתוך ההגדרה ש-g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x).

  • g(x)=f(x)+cg(x) = f(x) + c
  • f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x)

Show the answer and the solution
  1. g(x+h)−g(x)=f(x+h)−f(x)g(x+h) - g(x) = f(x+h) - f(x) — הקבוע cc מופיע בשני האיברים ומתקזז
  2. g(x+h)−g(x)h=f(x+h)−f(x)h\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} — חלוקה ב-hh, כאשר h≠0h \neq 0
  3. g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x) — לשתי מנות שוות אותו גבול כש-h→0h \to 0

Worked solution:

g(x+h)−g(x)=f(x+h)−f(x)g(x+h) - g(x) = f(x+h) - f(x)

הקבוע cc מופיע בשני האיברים ומתקזז

g(x+h)−g(x)h=f(x+h)−f(x)h\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

חלוקה ב-hh, כאשר h≠0h \neq 0

g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x)

לשתי מנות שוות אותו גבול כש-h→0h \to 0

הזזה אנכית של גרף לא משנה אף שיפוע. זו גם הסיבה שהקבוע נעלם בגזירה: הוא מזיז את הגרף, ולא מטה אותו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade